Предзащита Эдуарда Бальзина

Данная диссертация посвящена изучению семейств категорий, оснащённых гомотопической структурой. Диссертация состоит из трёх основных результатов: Обобщение модельной структуры Риди, построенное в данной работе для сечений семейства категорий, индексированного категорией Риди. В отличие от предыдущих работ (например, статьи Симпсона-Хиршховица), требования, налагаемые нами на семейство, минимальны, а потому наш результат применим в ситуациях, когда функторы перехода в семействе нелинейны. Расширение формализма Сигала для гомотопических алгебраических структур на произвольные моноидальные категории, с применением операторных категорий в смысле Барвика. Наш подход основан на описании моноидальных структур как расслоений Гротендика, и мы вводим понятие производных сечений этих расслоений, используя симплициальные замены Бусфильда-Кана. Наш первый результат касательно модельных структур даёт нам средства для работы с производными сечениями. Доказательство результата типа “гомотопический спуск”, который даёт достаточные условия для того, чтобы функтор обратного образа между категориями производных сечений являлся эквивалентностью категорий. Мы доказываем этот результат для функторов, которые удовлетворяют условиям типа “Теорема А Квиллена”, и которые мы называем разрешениями. Один пример такого функтора-разрешения даётся функтором из категории планарных маркированных деревьев Концевича-Сойбельмана в стратифицированный фундаментальный группоид пространства Рана 2-диска. Применение результата гомологического спуска в этом случае даёт новое доказательство гипотезы Делиня, что даёт, таким образом, альтернативу подходам, использующим формализм операд.