Барак Вайс: обзорные лекции по однородной динамике

Расписание мини-курса лекций «Однородная динамика» профессора Тель-Авивского Университета, Барака Вейса:

20.08.2018

15:00 – 17:00 – 1 лекция (ауд. 212)

21.08.2018

15:00 – 17:00 – 2 лекция (ауд. 212)

22.08.2018

15:00 – 17:00 – 3 лекция (ауд. 212)

23.08.2018

15:00 – 17:00 – 4 лекция (ауд. 212)

A panorama of homogeneous dynamics.

Abstract: Homogeneous spaces are quotients G/Gamma where G is a Lie  group and Gamma is a discrete subgroup of G with finite covolume. On  this space G and any of its subgroups act, preserving the volume, and  the study of the ergodic properties of this action is known as  homogeneous dynamics, and is of great importance for many problems in  number theory and geometry. The basic example is the space of  unimodular lattices SL(n,R)/SL(n,Z) where the study of dynamics of  certain groups is of importance in number theory, having led to  resolutions of Oppenheim's conjecture (Margulis), Sprindzhuk's  conjecture (Kleinbock-Margulis) and advances in understanding  Littlewood's conjecture (Einsiedler-Katok-Lindenstrauss). The main  theme in these proofs is that these systems are so nicely behaved and  structured that their dynamics can be described in much greater detail  than is usual in ergodic theory.

  In these four lectures I will survey the main results and methods of  homogeneous dynamics, beginning with ergodicity and mixing (Howe-Moore  theorem) which describe the behavior of almost every point, the  quantitative strengthenings of mixing using results from  representation theory, and continuing with results which sometimes  make it possible to understand every orbit (work of Ratner,  Dani-Margulis, Einsiedler-Katok-Lindenstrauss, and Benoist-Quint). The  lectures are planned for a broad audience.

Обзорные лекции по однородной динамике

Аннотация: Однородное пространство - это факторпространство группы Ли G по ее дискретной подгруппе конечного объема. На таком пространстве сама группа G и любая из ее подгрупп действует с сохранением объема, а изучение эргодических свойств таких действий составляет предмет исследований в однородной динамике и принесло много пользы в разных задачах теории чисел и геометрии. Простой пример - это пространство унимодулярных решеток SL(n,R)/SL(n,Z), для которого изучение динамики некоторых групп привело к доказательству очень важных утверждений в теории чисел, включая гипотезу Оппенхайма (доказана Маргулисом), гипотезу Спринджука (результат Клейнбока - Маргулиса) и продвижения в понимании подходов к гипотезе Литтлвуда (Айнзидлер - Каток - Линденштраусс). Основная идея всех этих доказательств очень простая - динамические системы в эргодической теории настолько симпатичные, что их эргодические свойства могут быть поняты и описаны намного более точно и подробно, чем в обычно в динамике.

В своих 4 лекциях я расскажу про основные результаты и подходы в однородной динамике, начиная с эргодичности и перемешивания (теорема Сова - Мура), которые описывают поведение нашей динамической системы в почти каждой точке. Затем мы поговорим про усиления этих результатов -  с помощью теории представлений можно улучшить константы, и про возможные результаты для всех, а не почти всех, точек, принадлежащие Ратнер, Дани - Маргулису, Айнзидлеру - Катку - Линденштрауссу и Бенуа - Кэну. Лекции рассчитаны на широкую аудиторию.