3 курс. Функциональный анализ

 Лектор доц. А.Ю.Пирковский, преподаватель проф.С.М.Хорошкин

Программа модуля I

1.1. Нормированные пространства и ограниченные линейные операторы

Нормированные пространства; примеры: конечномерные пространства, пространства последовательностей, пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Ограниченные линейные операторы, их простейшие свойства, эквивалентность ограниченности и непрерывности; примеры: операторы умножения, сдвига, интегральные операторы. Топологические свойства линейных операторов. Мажорирование и эквивалентность норм. Классификация конечномерных нормированных пространств. Факторпространства, l^p-суммы нормированных пространств.

Список литературы

Записки лекций

Лекция 1    Лекция 2    Лекция 3 

Лекция 4    Лекция 5    Лекция 6

Лекция 7

Задачи семинаров

Листок 1    Листок 2    Листок 3

Листок 4     Листок 5 Обновление 09 ноября

Контрольная работа 29.09.2011   

Повторная контрольная работа 13.10.2011

Программа модуля II

2.1. Сопряженное пространство и сопряженный оператор (продолжение)

Теорема Радона-Никодима и пространство, сопряженное к L^p. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Теоремы об отделении выпуклых множеств. Меры Радона. Теорема Рисса-Маркова-Какутани (без доказательства). Функции ограниченной вариации и меры Лебега-Стилтьеса. Теорема Рисса о пространстве, сопряженном к C[a,b].

2.2. Теорема Банаха-Штейнгауза и теорема Банаха об обратном операторе

Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике. Дополняемые подпространства.

Лекция 8    Лекция 9    Лекция 10  

  Лекция 11  Обновление 05.12 Лекция 12   Лекция 13

Листок 6  Раздается с 10 ноября

Листок 7  Раздается с 17 ноября

Листок 8  Раздается с 25 ноября

Листок 9  Раздается с 01 декабря

Вопросы к коллоквиуму

Письменный экзамен 22.12.2011

Программа модуля III

• 3.1. Спектр элемента алгебры. Примеры. Алгебраические свойства спектра. Теорема об отображении спектра для многочленов и рациональных функций. Банаховы алгебры; примеры. Свойства группы обратимых элементов, компактность и непустота спектра. Спектральный радиус. Точечный, непрерывный и остаточный спектры линейного оператора. Спектры и двойственность. Вычисление спектров классических операторов.
• 3.2. Компактные метрические пространства
• Вполне ограниченные метрические пространства. Критерий компактности метрических пространств (эквивалентность компктности, секвенциальной компактности и вполне ограниченности+полноты). Лемма Рисса о почти перпендикуляре. Некомпактность сферы в бесконечномерном нормированном пространстве. Теорема Арцела-Асколи.

• 3.3. Компактные и фредгольмовы операторы

  Компактные операторы. Пространство компактных операторов. Компактность сопряженного оператора. Аппроксимация компактных операторов в гильбертовом пространстве операторами конечного ранга. Примеры компактных операторов. Фредгольмовы операторы. Примеры. Фредгольмовость сопряженного оператора. Индекс. Аддитивность индекса. Теория Рисса-Шаудера операторов "1+компактный". Альтернатива Фредгольма. Свойства спектра компактного оператора. Классические теоремы Фредгольма об интегральных уравнениях. Фредгольмовы операторы: критерий Никольского-Аткинсона. Алгебра Калкина. Открытость множества фредгольмовых операторов и локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Существенный спектр. Операторы Тёплица и геометрическая интерпретация их индекса.

Записки лекций

• Лекция 14
• Лекция 15
• Лекция 16
• Лекция 17
• Лекция 18
• Лекция 19. Обновлено 7 апреля.
• Лекция 20

Задачи семинаров

• Листок 10 (бонусный). Раздается с 19 января.
• Листок 11. Раздается с 19 января.
• Листок 12  Раздается с 26 января
• Листок 13  Раздается со 2 февраля
• Листок 14. Раздается с 16 февраля.
• Листок 15. Раздается с 1 марта.
• Листок 16. Раздается с 15 марта.

 

Контрольные материалы

• Домашняя контрольная: задачи 13.3 (1), 13.5, 13.6, 13.12, 15.4, 15.6, 15.7, 15.8 из листков. Срок сдачи - 15 марта.
• Письменный зачет 27.03.2012

---

Модуль IV

Программа модуля IV

3.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве

Гильбертово сопряженный оператор. C*-алгебры (определение и примеры). Связь между свойствами оператора и его сопряженного. Ортогональные проекторы, изометрии, коизометрии, унитарные, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве. Спектры унитарных и самосопряженых операторов. Спектральный радиус, собственные и инвариантные подпространства самосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве. Теорема Шмидта о компактных операторах в гильбертовом пространстве. Приложение: задача Штурма-Лиувилля.

3.2. Локально выпуклые пространства

Полинормированные пространства. Локально выпуклые пространства (ЛВП) и их "полинормируемость". Примеры: пространства непрерывных, гладких, голоморфных функций, слабые топологии, топологии на пространствах операторов. Критерий непрерывности полунормы; критерий непрерывности линейного оператора между ЛВП. Эквивалентные семейства полунорм. Ограниченные множества в ЛВП. Критерии нормируемости. Достаточность множества непрерывных линейных функционалов на хаусдорфовом ЛВП. Дуальные пары и слабые топологии. Ограниченность слабо ограниченных множеств. Аннуляторы и поляры. Теорема о биполяре и ее следствия. Теорема Банаха-Алаоглу. Слабые топологии и компактные операторы.

3.3. Спектральная теория ограниченных самосопряженных операторов

Непрерывное исчисление от самосопряженного оператора. Теоремы об отображении спектра и о композиции. Связь между операторами и полуторалинейными формами. Борелевское исчисление от самосопряженного оператора. Спектральные меры и представления алгебр C(X). Спектральная теорема. Функциональная модель циклического самосопряженного оператора. Функциональная модель в общем случае.

 

Записки лекций

• Лекция 22

Задачи семинаров

• Листок 17. Раздается с 5 апреля.
• Листок 18. Раздается с 12 апреля.
• Листок 19. Раздается с 26 апреля.
• Листок 20. Раздается с 17 мая.
• Листок 21. Раздается с 31 мая.

Контрольные материалы

• Домашняя контрольная: задачи 17.1 (кроме п. (c)), 17.3, 18.1, 18.2, 18.5, 19.10, 19.11, 19.14, 19.15 (1), 20.1, 20.2, 20.3 из листков. Срок сдачи - 21 июня.

Список литературы