Введение в хаотическую динамику
М.Л. Бланк (ВШЭ и ИППИ РАН)

Можно ли отличить детерминированную хаотическую динамику от чисто случайной и имеет ли этот вопрос смысл? Влияет ли необратимость динамики на качественные характеристики процесса? Эргодическая теория изучает эти и другие статистические свойства динамических систем. Интерес к этой проблематике связан с тем, что "типичные"
детерминированные динамические системы (например, дифференциальные
уравнения) демонстрируют хаотическое поведение: их траектории похожи на реализации случайных процессов. Мы начнем с классических результатов Пуанкаре, Биркгофа, Хинчина, Колмогорова и дойдем до современных постановок (в том числе и нерешенных) задач. Курс является вводным и ориентирован на бакалавров 2-4 курса, магистрантов и аспирантов. Предварительных знаний кроме курса мат.
анализа не требуется (хотя они и желательны).


Программа курса:

- Динамические системы: траектории, инвариантные множества, простые и странные аттракторы и их классификация, хаотичность.

- Действие в пространстве мер, понятие трансфер-оператора, инвариантные меры. Сравнение со случайными марковскими процессами.

- Эргодичность, теорема Биркгофа, перемешивание, ЦПТ.
Меры Синая-Боуэна-Рюэлля и естественные/наблюдаемые меры.

- Основные эргодические конструкции: прямые и косые произведения, производное и интегральное отображения, естественное расширение и проблема необратимости.

- Эргодический подход к задачам теории чисел.

- Гиперболические динамические системы и показатели Ляпунова.

- Энтропия: метрический и топологический подходы.

- Операторный формализм. Спектральная теория динамических систем. Банаховы пространства мер, случайные возмущения.

- Многокомпонентные системы: синхронизация и фазовые переходы.

- Математические основания численного моделирования хаотической динамики.


Литература:

- М. Бланк. ``Устойчивость и локализация в хаотической динамике'', МЦНМО, Москва, 2001.
- И.П. Корнфельд, Я.Г. Синай, С.В. Фомин. ``Эргодическая теория'', Наука, Москва, 1980.
- A. Katok, B. Hasselblatt. ``Introduction to the modern theory of dynamical systems'', 1995.