Семинар

Семинар группы проходит на факультете математики НИУ ВШЭ в ауд. 1001 по четвергам с 18.30.


2 февраля
Евгений Статник (ВШЭ)
Геометрическая конструкция пространства модулей стабильных
пучков на проективной плоскости
Из теоремы Бейлинсона следует, что стабильные пучки на
проективной плоскости с фиксированными топологическими
инвариантами можно представить как когомологии монад
определённого вида. С другой стороны, такие монады задают
представления некоторого колчана с соотношениями, имеющего
три вершины и шесть стрелок.

Цель доклада -- рассказать результат Le Potier "A propos
de la construction de l'espace de modules des faisceaux
semi-stables sur le plan projectif" о том, что можно
выбрать условие стабильности для колчана так, чтобы
стабильность для представлений колчанов и для пучков
совпадали.

При этом предварительных знаний о стабильных пучках или о
представлениях колчанов не требуется, но желательно
знакомство с геометрической теорией инвариантов.

Вася Рогов (ВШЭ)
Кэлеровы многообразия с тривиальной симметрической алгеброй
голоморфных дифференциалов односвязны
Как известно из теории Ходжа, размерность пространства голоморфных
дифференциалов на кэлеровом многообразии в два раза меньше его
первого числа Бетти, т.е. ранга абелинизации фундаментальной группы.
Можно задаться следующим вопросом: какую еще информацию о голоморфных
дифференциальных формах на кэлеровом многообразии можно восстановить
по его фундаментальной группе?
Я скажу пару слов об имеющихся результатах в этой области и расскажу
доказательство следующей теоремы (принадлежащей Брюнбарбу и Кампана):
Пусть на кэлеровом многообразии $X$ при любых $k$ и $p$ $H^0(X,
S^k\Omega^p_X) = 0$. Тогда $X$ -- односвязно.


19 января
Дима Пирожков (Columbia)
Стабильные расслоения и морфизм Фробениуса
Я расскажу про одноимённую статью Д. Гизекера, где для
каждого рода g > 1 построена кривая характеристики p и
расслоение ранга 2 на ней, которое перестаёт быть
стабильным при пулбэке относительно морфизма
Фробениуса. Его конструкция вырождает кривую до
конфигурации из проективных прямых и использует факт, что
у такого графа универсальное накрытие является схемой,
пусть и не конечного типа. Желательно понимать слова из
названия доклада.

Костя Толмачёв (MIT)
Геометрическая теория представлений унипотентных групп
Я расскажу, следуя работам Боярченко и Дринфельда, о
геометрическом подходе к теории представлений унипотентных
групп над конечными полями. От слушателей предполагается
только знакомство с базовыми понятиями теории
представлений конечных групп.


12 января
Сергей Галкин (ВШЭ)
Октонионы и проективные плоскости
Я расскажу про естественные конструкции исключительных
групп G2, F4, E6 и решётки E8 в терминах октонионов и
проективной плоскости.

Затем я расскажу кое-что об алгебраической и метрической
геометрии проективных плоскостей над R,C,H,O.

От слушателей желательно умение оперировать эрмитовыми
матрицами 2x2 и 3x3.

Саша Петров (ВШЭ)
Некоммутативная теорема Делиня-Иллюзи по Каледину
Я напомню классическую теорему Делиня-Иллюзи о том, что
для гладкого собственного многообразия X над совершенным
полем k характеристики p, допускающего подъем на W_2(k) и
при достаточно большом p спектральная последовательность
Ходжа-де Рама вырождается. Затем я попробую рассказать о
том, что можно считать некоммутативным аналогом
спектральной последовательности Ходжа-де Рама и намечу
доказательство аналогичной теоремы.


29 декабря
Родион Деев
Об одной теореме Чигера и Кляйнера
Я докажу, что группу Гейзенберга с метрикой
Карно-Каратеодори нельзя билипшицево отобразить в банахово
пространство L^1(\R).

Миша Вербицкий
О примитивности гиперплоского сечения для лагранжевых
расслоений
Пусть M -> B есть лагранжево расслоение на голоморфно
симплектическом многообразии. Д. Мацушита доказал, что
рациональные когомологии B такие же, как у CP^n.
Это позволяет говорить о "классе гиперплоского сечения,"
то есть классе во вторых когомологиях B, порождающем
группу Пикара (по модулю кручения). Прообраз гиперплоского
сечение является примитивным классом когомологий M
(то есть ни на что не делится), это результат, совместный
с Людмилой Каменовой. Я расскажу его доказательство,
и немного скажу про возможные применения.


22 декабря
Лёня Монин (Торонто)
Гипотеза о реализации Нильсена
Для поверхности рода g группа классов отображений
определяется как группа диффеоморфизмов с точностью до
изотопии. Гипотеза о реализации Нильсена, доказанная
Стивеном Керкгофом в 1980 году, утверждает, что любая
конечная подгруппа группы классов отображений может быть
реализована как группа изометрий некоторой гиперболической
метрики на поверхности. В докладе я определю пространство
Тейхмюллера и группу классов, расскажу про некоторые с
ними связанные геометрические структуры используемые в
доказательстве, и закончу самим доказательством гипотезы о
реализации.

Гриша Папаянов (Northwestern)
О суперсвязностях


15 декабря
Алексей Горинов (ВШЭ)
Представления Концевича
Я хочу прорекламировать одну старую задачу в теории групп
классов отображений поверхностей, а именно, линейны ли они
над полем характеристики 0. Я расскажу, что известно на
эту тему, и построю одно представление, которое
гипотетически линейно. Все необходимые сведения будут
рассказаны во время доклада.

Никон Курносов (ВШЭ)
О инварианте монодромии
Расскажу о лагранжевых расслояниях обобщённого
многообразия Куммера и их связи с инвариантом монодромии
по недавней работе Винека
(arxiv.org/pdf/1606.09010.pdf). В своё время инвариант
монодромии изучал Маркман для схем Гильберта на K3.


8 декабря
Денис Терёшкин
Cтабильность представлений
Для бесконечного набора хорошо согласованных друг с другом
представлений разных групп, индексированных натуральными числами
(симметрических, сплетений симметрических с конечными группами, GL(n,
k) и других) часто наблюдается феномен стабильности - этот набор
оказывается конечно представленным в некоторой категории функторов, а
естественные отображения задают вложения в циклические
подпространства. Примерами являются гомологии конфигурационных
пространств, гомологии модулей стабильных кривых, группы автоморфизмов
свободных групп и другие объекты похожей природы.
Я расскажу про гомологическую интерпретацию этих явлений.

Семён Абрамян
О связи умножений Уайтхеда, Самельсона и Понтрягина
Будет рассказано о существовании изоморфизма
$\pi_n(X) \to \pi_{n-1}(\Omega X)$, переводящего
умножение Уайтхеда в умножение Самельсона, такого
что образ его композиции с гомоморфизмом Гуревича
лежит в коммутаторе алгебры Понтрягина.

2 декабря
Саша Кузнецова (ВШЭ)
Поверхности с сюръективным эндоморфизмом
Я расскажу, какими бывают поверхности с нетривиальным
сюръективным эндоморфизмом. Таких поверхностей очень
немного --- либо они конечно этально накрываются абелевыми
поверхностями, либо торические и еще какое-то количество
случаев. Я постараюсь объяснить, почему наличие
сюръктивного эндоморфизма в самом деле дает такие
ограничения, и наоборот покажу что на каждой поверхности
из этой классификации такой эндоморфизм
имеется. Рассказывать буду по статьям Фуджимото и Нобору
Накаямы.

Николай Коновалов (ВШЭ)
Классы зацепления и отображение орбиты
Многие интересные алгебраические многообразия получаются
как множества нулей сечений эквивариантных векторных
расслоений на проективных многообразиях. Примерами
являются гиперповерхности и полные пересечения в
проективных пространствах. Я расскажу о том, как во многих
случаях можно доказать два связанных друг с другом
результата: 1. рациональные когомологии пространства
модулей таких многообразий распадаются в тензорное
произведение когомологий пространства сечений и
когомологий группы, которая естественным образом на них
действует; 2. порядок группы автоморфизмов каждого такого
многообразия делит некоторое число, которое выражается
через (вообще говоря, эквивариантные) классы Черна
расслоения. Основная идея приходит из маломерной
топологии: используя коэффициенты зацеплений, можно
строить явные представители классов, которые имеют почти
правильный, но неправильный вес. Большую часть времени мы
будем рассматривать многообразия над $\mathbb{C}$, хотя
почти все результаты с некоторыми модификациями верны над
произвольными алгебраически замкнутыми полями. Доклад
основан на совместной работе с А. Гориновым.


24 ноября
Сева Петрущенко (ВШЭ)
Локальная индикабельность и гипотеза Уайтхеда об
асферичности.
На пути поиска контрпримера к гипотезе Уайтхеда возникает
потребность в построении бесконечной последовательности
вложенных друг в друга неасферичных 2-комплексов, таких
что каждое вложение индуцирует нулевой гомоморфизм на
уровне $\pi_2$. Внезапно оказывается, что для построения
подобной цепочки 2-комплексов нет никаких методов. В
частности, неизвестен пример такой цепочки длины 3. Я
расскажу о том, как здесь возникает локальная
индикабельность и как она может помочь при построении
подобных последовательностей 2-комплексов.


14 ноября
Марат Гизатуллин
Специальные функции (тригонометрические, гиперболические,
эллиптические) и ассоциированные с ними преобразования
(аффинные, проективные, бирациональные)
Тригонометрические функции естественным образом связаны с
вращениями плоскости, формулы сложения аргументов (теоремы
синусов, косинусов) -- с групповым законом композиции
вращений. Аналогичная связь существует между
гиперболическими функциями и движениями плоскости
Лобачевского, некоторыми проективными
преобразованиями. Имеются подобные связи между
эллиптическими функциями бирациональными преобразованиями
плоскости. Главная цель лектора -- описание последних
объектов и их взаимосвязей.


10 ноября
Ренат Абугалиев (ВШЭ)
Проблема Люрота
Многообразие X называется унирациональным, если существует
доминантый рациональный морфизм P^n ---> X. Проблема
Люрота звучит следующим образом: верно ли, что все
унирациональные многообразия рациональны. В своём обзорном
докладе я расскажу об истории решения этого вопроса,
начиная с классических результатов, и заканчивая работами
современных математиков.

Дмитрий Коршунов (ВШЭ)
Аппроксимативные подгруппы
Аппроксимативная подгруппа -- это обобщение понятия подгруппы. Это
подмножество, не обязательно замкнутое относительно групповой
операции, которое при умножении на себя увеличивается некоторым
контролируемым образом.
Это понятие возникло в процессе развития аддитивной комбинаторики,
когда Тао заметил, что многие теоремы аддитивной комбинаторики на
самом деле можно формулировать (и доказывать) в любых группах.
Хрушовский с помощью конструкции ультрапроизведения и решения пятой
проблемы Гильберта выявил связь между аппроксимативными подгруппами и
группами Ли, после чего Брейар, Грин и Тао в серии статей прояснили
устройство аппроксимативных подгрупп.
Я сформулирую структурную теорему Брейяра-Грина-Тао (называемую
некоммутативной теоремой Фреймана), которая показывает, что конечные
аппроксимативные подгруппы (в некотором точном смысле) соизмеримы с
нильпрогрессиями -- естественными аналогами конечных арифметических
прогрессий в некоммутативных группах. Следствием этой теоремы, в
частности, являются новые доказательства теоремы Громова о группах
полиномиального роста и обобщенной леммы Маргулиса Каповича-Вилкинга.


3 ноября
Антон Зорич (Institut Mathématiques de Jussieu)
Поверхности в клеточку: равнораспределенность, подсчет
объемов пространств модулей, асимптотическая геометрия для
большого рода
(совместная работа с Вансаном Делакруа, Элиз Гужар, и Петей Зографом)
Поверхность в клеточку - это накрытие тора с ветвлениями в
единственной точке тора. Склеив тор из единичного
квадрата, мы получаем замощение поверхности
крадратиками. У поверхностей в клеточку достаточно богатая
геометрия и комбинаторика.

Любая поверхность в клеточку наделена естественной
комплексной структурой и голоморфной 1-формой. Я начну с
абсолютно элементарного рассказа о том, почему поверхности
в клеточку задают ``целые точки'' в пространстве модулей
голоморфных 1-форм, и как подсчет таких ``целых точек''
позволил Саше Эскину и Андрею Окунькову посчитать объемы
пространств модулей голоморфных 1-форм.

Потом, используя версию теоремы Ратнер, я докажу, что
поверхности в клеточку фиксированного геометрического типа
не могут накапливаться в каких-то отдельных областях
пространства модулей, а обязаны быть одинаково
распределены повсюду.

Используя комбинаторную интерпретацию поверхностей в
клеточку, формулу Фробениуса и ее следствие, полученное
Загиром, мы посчитаем число поверхностей, склеенных из
единственного цилиндра подходящим отождествлением отрезков
границы. В качестве приложения равнораспределенности и
простой формулы для числа одноцилиндровых поверхностей в
клеточку, мы численно посчитаем приближенные значения
объемов пространств модулей.

В конце доклада я расскажу о гипотезах и экспериментальных
результатах описывающих геометрию поверхностей в клеточку
большого рода. Для больших родов возникают удивительные
эффекты асимптотической универсальности. Одну из наших
гипотез (об асимптотике объемов пространств модулей
абелевых дифференциалов) совсем недавно доказали Мартин
Мёллер, Давей Чен, и Дон Загир.

Я надеюсь сделать доклад доступным для второкурсников и
старше. Пугающие термины вроде ``разветвленного
накрытия'', ``пространсва модулей'', ``теоремы Ратнер''
будут использованы в простом контексте и описаны
неформально.


27 октября
Никон Курносов (ВШЭ)
О гиперболичности общих гиперповерхностей
В докладе мы рассмотрим результат Бротбека о
том, что общая гиперповерхность достаточно большой степени
гиперболична. Для этого нам понадобятся струевые
дифференциальные уравнения.


20 октября
Денис Терёшкин (ВШЭ)
Гомотопические группы алгебраических многообразий, модели Квиллена и их друзья
Можно поверить в то, что любые разумные рациональные инварианты
комплексных алгебраических многообразий принимают значения в категории
смешанных структур Ходжа - например, рациональный гомотопический тип.
Веря в это, мы явно построим на таких объектах подходящие MHS и
попытаемся понять, какие последствия имеет их наличие. Если останется
время, я немного расскажу (но вряд ли докажу), какие ограничения на
топологию накладывают другие геометрические структуры, и почему
кэлерово многообразие никогда не бывает букетом двух неодносвязных
пространств, но почти всегда напоминает букет набора односвязных.

Алексей Иванов (ВШЭ)
Неприводимые компоненты пространства модулей полустабильных пучков
В докладе будет дано описание известных неприводимых
компонент пространства модулей полустабильных пучков
ранга 2 на CP^3 с классами Черна с_1=0, с_2=3, с_3=0.


13 октября
Ксения Сырцева (ВШЭ)
Изоморфность и деформационная эквивалентность
симплектических форм на К3-поверхности.
Трюк Мозера показывает, что для произвольного компактного
многообразия две симплектические формы изотопны, когда
имеется деформация из одной в другую с постоянным классом
когомологий. Оказывается, условие постоянства класса
когомологий на всем пути можно опустить для рациональных и
линейчатых четырехмерных многообразий, заменив его
условием равенства класса когомологий для двух данных
симплектических форм. Однако, как было показано МакДафф, в
общем случае этого будет недостаточно. В докладе будет
рассмотрен случай К3-поверхностей?

Я расскажу доказательство трюка Мозера и доказательство
существования изотопии когомологичных кэлеровых форм на
К3-поверхности при условии их деформационной
эквивалентности в классе кэлеровых форм, используя теорему
Калаби-Яу о существовании гиперкэлеровых метрик на
К3-поверхности и общие факты о К3-поверхностях.

Костя Логинов (ВШЭ)
p-элементарные подгруппы двумерный группы Кремоны
Следуя работе Бовиля, я расскажу, какие бывают p-элементарные
подгруппы в группе бирациональных автоморфизмов двумерного
проективного пространства, и какие рациональные поверхности допускают
их регулярное
действие.


6 октября
Андрей Рябичев (ВШЭ)
Исчисление Кирби
Известно, что любое замкнутое ориентируемое 3-многообразие
получается из S^3 перестройкой по некоторому оснащённому
зацеплению. При перестройках по разным зацеплениям
полученные многообразия могут оказаться диффеоморфны;
теорема Кирби говорит, что это равносильно тому, что
зацепления получаются друг из друга последовательностью
некоторых перестроек заданного вида. Бруно Мартелли
доказал, что их можно свести к конечному числу локальных
перестроек. я попробую рассказать доказательства этих
утверждений. никаких предварительных знаний о трёхмерных
многообразиях не требуется.

Владимир Гавран (ВШЭ)
Пространство деформаций касательного расслоения схемы Гильберта точек.
Я расскажу доказательство жесткости касательного
расслоения на схеме Гильберта двух точек К3
поверхности. Изложение будет элементарным. Затем расскажу
о имеющихся на текущий момент продвижениях для схем
Гильберта больших размерностей, а также схожие вопросы и
возможные обобщения для других многообразий.

29 сентября
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Числовые поля и комплексные многообразия
По каждому числовому полю с ненулевым числом
комплексных и вещественных вложений можно построить
некэлерово комплексное многообразие, которое называется
"Многообразие Олеклауса-Тома". В размерности два
таким образом получаются поверхности Инуэ.
Я расскажу об этой конструкции, опишу свойства
этих многообразий, и расскажу про классификацию
некэлеровых поверхностей. Во второй половине
я расскажу об обобщении таких многообразий, придуманных
недавно, где роль числовых полей выполняют структуры
Ходжа. Содержание доклада должна быть понятно
студентам, знакомым с основами теории чисел,
топологии и основами комплексного анализа.


22 сентября
Никон Курносов (ВШЭ)
О лагранжевых расслоениях на четырёхмерных гиперкэлеровых
многообразиях
Я расскажу по статье Оу о том, как могут быть устроены
лагранжевы расслоения над произвольными четырёхмерными
многообразиями.

Николай Коновалов (ВШЭ)
EHP спектральная последовательность
Я аккуратно покажу существование этой последовательности
(как и её аналогов в p-локальной категории) и построю из
длинных точных последовательностей гомотопических групп
классическую спектральную последовательность EHP. После
чего мы посчитаем еще что-нибудь интересное в
гомотопических группах сфер.


15 сентября

15 сентября исполняется 90 лет Жан-Пьеру Серру. Семинар
отпразднует день рождения великого математика специальными
докладами.

Саша Петров (ВШЭ)
Пример Серра негомеоморфных Галуа-сопряженных многообразий
Я расскажу о примере Серра многообразия X,
определенного над конечным расширением поля рациональных
чисел K, таком, что для разных вложений поля K в поле
комплексных чисел соответствующие X комплексные
многообразия имеют разные фундаментальные группы. Пример
основан на теории комплексного умножения эллиптических
кривых. Таким образом, алгебраическая структура
многообразия не "видит" гомотопический тип
многообразия. Если останется время, я расскажу о том, что
алгебраическая структура все же видит часть
фундаментальной группы, что приведет к понятию этальной
фундаментальной группы и этальных когомологий.

Николай Коновалов (ВШЭ)
Третья стабильная гомотопическая группа сфер
Мы окунемся в атмосферу топологии 50-х, когда были
вычислены первые и вторые стабильные гомотопические группы
сфер с помощью спектральных последовательностей Лере, а
для третьей гомотопической группы возникла проблема
расширения. Я расскажу пару способов как её можно решить.


8 сентября
Василий Рогов (ВШЭ)
Количество концов у кэлеровой группы
Я расскажу доказательство теоремы о том, что фундаментальная группа
кэлерова многообразия имеет не больше одного конца, то есть, иными
словами, либо она конечна, либо ее граф Кэли связен на бесконечности.
Из этого, например, следует, что подобные группы не расщепляются в
свободные произведения. В доказательстве применяются $l^2$ --
когомологии и другая полезная и красивая техника. Все необходимые
определения будут даны.

Миша Вербицкий (ВШЭ)
Тензорная категория полустабильных расслоений на
К3-поверхности и торе
Пусть C есть (таннакиева) категория полустабильных расслоений
на K3 поверхности или комплексном торе размерности 2,
все стабильные подфакторы которых имеют нулевой c_1
(для общих неалгебраических поверхностей это категория
всех полустабильных расслоений).

Я расскажу, как доказать, что эта категория не
зависит от выбора К3-поверхности или тора. Связанная
с C по теореме Делиня-Танаки группа играет для
полустабильных расслоений ту же роль, что фундаментальная
группа для категории плоских расслоений.

Я расскажу про таннакиевы категории, теорему
Делиня-Таннаки и стабильность расслоений, но для понимания
остального понадобится знание основ алгебраической геометрии
(кэлеровы многообразия, голоморфные расслоения, эрмитовы
метрики, кривизна).


1 сентября
Ренат Абугалиев (ВШЭ)
Конструкция Куга-Сатаке
Конструкция Куга-Сатаке позволяет построить нам по структуре Ходжа веса 2 структуру Ходжа веса 1. Например, из вторых когомологий поверхности мы можем получить комплексный тор. Я собираюсь напомнить определение чистой структуры Ходжа, пересказать саму конструкцию и привести несколько интересных примеров.

Гриша Папаянов (ВШЭ)
Деформации замкнутых форм на многообразии
Задача о деформации замкнутых форм на многообразии включает в себя, в числе прочих, задачи о деформациях многообразий Калаби-Яу и метрик с голономией G_2. Рюши Гото придумал общий способ описания таких деформаций, позволяющий в определенных случаях показать, что препятствий к деформациям не существует. Я хочу рассказать про объяснение уравнений Гото с помощью гомологической алгебры.

25 августа
Никон Курносов (ВШЭ)
О минимальных моделях нильмногообразий
В докладе я коротко расскажу про минимальные модели для нильмногообразий и критерий формальности Q-минимальной модели.

Гриша Папаянов (ВШЭ)
Некоторые наблюдения о нильпотентных алгебрах Ли над Q
Комплекс Шевалле нильпотентной алгебры Ли является минимальной сулливановской алгеброй, значит, их можно пытаться изучать с точки зрения рациональной теории гомотопий и вообще гомологической алгебры. Рассматривая вместо алгебры Шевалле квазиизоморфную ей А-бесконечность алгебру её когомологий, можно получить очень простое описание нижних центральных факторов нашей алгебры Ли. Комбинируя это описание с некоторыми фактами об унипотентном пополнении, можно получить новое доказательство (рационального варианта) теоремы Столлингса о том, что если отображение групп индуцирует изоморфизм на H^1 и вложение на H^2, то оно индуцирует изоморфизм унипотентных пополнений. Вообще всё это придумалось с надеждой на применение к гипотезам, утверждающим что наличие разнообразных геометрических структур на алгебре Ли влечет за собой ограничение на длину нижнего центрального ряда, но пока результатов в этом направлении маловато. Для понимания доклада достаточно знать, что такое алгебра Ли и что такое когомологии комплекса, обо всем остальном я расскажу про ходу доклада.

18 августа
Дима Каледин (МИРАН, ВШЭ)
Модельные категории и гомологическая алгебра
Я начну с некоторого ликбеза про модельные категории (хотя многие этот материал знают, может быть полезно его повторить). Потом расскажу, как получать триангулированные категории из модельных, и как это помогает склеивать триангулированные категории (в том числе в ситуациях, когда обычные DG-методы не работают вообще или работают плохо).


11 августа
Сергей Галкин (ВШЭ) 
Гомоморфизм Зайделя
Я расскажу про гомоморфизм Зайделя из фундаментальной группы от группы симплектоморфизмов в мультипликативную группу квантовых когомологий.

Никон Курносов (ВШЭ) 
Торические гиперкэлеровы многообразия
Я расскажу о торических гиперкэлеровых многообразиях, которые являются гиперкэлеровыми факторами кватернионных векторных пространств относительно действия тора. В работах Конно, Хойзеля, Штурмфельса рассказано про устройство кольца когомологий, числа Бетти торических гиперкэлеровых орбифолдов


30 июня
Ляля Гусева (ВШЭ)
О характеристическом слоении на гладкой гиперповерхности в четырёхмерном голоморфно-симплектическом многообразии
Пусть Х -- четырёхмерное неприводимое голоморфно-симплектическое многообразие, D -- гладкий неприводимый дивизор на Х, и F -- слоение на D, заданное ядром ограничения 2-формы. Предположим, что общий лист F не является компактным, но существует рациональное расслоение p: D -> B дивизора на поверхности такое, что любой лист F содержится в замыкании некоторого слоя p. Оказывается, что при таких условиях замыканием общего слоя p может быть только лагранжев тор, из чего по недавно доказанной гипотезе Бовиля следует, что p продолжается до расслоения всего Х. Я попробую рассказать доказательство этого факта.

Миша Вербицкий (ВШЭ)
Усреднение
Пусть V есть представление редуктивной группы G. Поскольку категория представлений G полупроста, существует и единственна G-инвариантная проекция V на пространство V_{inv} G-инвариантных векторов. Эта операция называется усреднением. Если G компактна, это операция переводит v в среднее gv по всем g\in G, но если G некомпактна, у нее нет такого простого описания. В частности, усреднение v не всегда лежит в выпуклой оболочке орбиты Gv. Я расскажу геометрическое доказательство следующего факта: если усреднение v не лежит в в выпуклой оболочке орбиты Gv, то стабилизатор v в G компактен. Доказательство основано на существовании канонической финслеровой метрики на выпуклых подмножествах проективного пространства, которая называется "метрика Гильберта"; она является вещественном аналогом метрики Кобаяши, известной из комплексной геометрии. Доказательство не требует никаких дополнительных знаний и должно быть понятно студентам, знакомым с определением группы Ли и многообразия.

23 июня
Никон Курносов (ВШЭ)
Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий
В своём докладе я расскажу про ограничения на числа Бетти шестимерных гиперкэлеровых многообразий, получающиеся обобщением результатов Гуана. Во второй части доклада будет рассказано про абсолютно трианалитические многообразия. Ранее Вербицкий и Солдатенков показали, что в многообразиях О'Грэди нет абсолютно трианалитических торов, более того в многообразии О'Грэди размерности десять вообще нет трианалитических подмногообразий известного типа. Я расскажу, почему нет абсолютно трианалитических торов и в случае обобщённых многообразий Куммера.

Василий Рогов (ВШЭ)
Гомотопические типы компактных кэлеровых и комплексных проективных многообразий
В комплексных размерностях 1 и 2 с топологической точки зрения нет разницы между компактными кэлеровыми многообразиями и проективными многообразиями (в размерности 2 это следует из теоремы Кодаиры, утверждающей, что любая компактная кэлерова поверхность деформационно эквивалентна проективной). Оказывается, что в больших размерностях разница существенна. В 2003 году Вуазен построила серию примеров компактных кэлеровых многообразий гомотопически не эквивалентных никакому проективному многообразию во всех размерностях, начиная с 4.
Я расскажу про то, как строить примеры Вуазен.

 Семинар Геом.структуры 230616 (DOC, 27 Кб)

 

16 июня
Родион Деев (ВШЭ)
Эллиптические слоения на K3-поверхностях и числа Салема максимальной степени
Я расскажу, почему у суперсингулярной K3-поверхности над полем нечётной характеристики всегда есть автоморфизм, энтропия которого --- логарифм числа Салема степени 22.

Артём Калмыков (ВШЭ)
Зеркальная симметрия для якобианов гиперэллиптических кривых
По Гивенталю зеркальная симметрия для nef полных пересечений в торических многообразиях может быть сформулирована как равенство двух формальных функций, одна из которых (J-функция) связана с инвариантами Громова-Виттена, а другая (I-функция) задана явно и гипотетически содержит в себе решения уравнений Пикара-Фукса зеркального семейства. Я расскажу, как с помощью абелева/неабелева соответствия можно явно вычислять J-функцию для чуть более широкого класса многообразий, в частности для Якобианов гиперэллиптических кривых, для которых интерпретирую ее коэффициенты как решения уравнений Пикара-Фукса определенного семейства абелевых многообразий. Затем я расскажу, почему это семейство может считаться зеркальным.

 Семинар Геом.структуры 160616 (DOC, 27 Кб)

 

9 июня
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Теория деформаций для векторных расслоений
Я расскажу, как строится теория деформаций для стабильных векторных расслоений на кэлеровых многообразиях, каким образом она связана с уравнением Маурера-Картана в дифференциальной градуированной алгебре форм с коэффициентами в расслоении, и как строить деформации на гиперкэлеровом многообразии, когда она формальна. Если хватит времени, я расскажу два сюжета, связанных с теорией деформаций: как строятся обобщенные произведения Масси на дифференциальной градуированной алгебре (Бабенко, Тайманов), и как их выразить через уравнение Маурера-Картана, и интерпретацию Маурера-Картана в терминах бесконечномерных супермногообразий, предложенную Концевичем.
От слушателей будет нужно знакомство с основами дифференциальной геометрии: связности, расслоения, кэлеровы метрики, алгебра де Рама, вот это все.

 Семинар Геом.структуры 090616 (DOC, 28 Кб)

 

2 июня
Дима Каледин (МИАН)
Коммутативные и некоммутативные вектора Витта
Я расскажу про классическую конструкцию p-типических векторов Витта коммутативного кольца, причем постараюсь сделать это способом совершенно элементаным, но таким, который легко обобщается на некоммутативные кольца. Затем я расскажу про это самое обобщение. Я не буду преполагать известным практически ничего -- потребуются только элементарные свойства циклических групп порядка p^n.

 Семинар Геом.структуры 020616 (DOC, 23 Кб)

 

12 мая
Арина Архипова (ВШЭ)
Знаки старших коэффициентов результанта
Конструкция поляризации устанавливает взаимно однозначное соответствие между полиномиальными и мультилинейными формами над полями характеристики 0. Важный частный пример -- построение по различным мерам выпуклых тел смешанных мер наборов таких тел. Таким образом, в частности, получается понятие смешанного объема, играющее важную роль в алгебраической геометрии. Мы строим аналог смешанного объема целочисленных многогранников, принимающий значения в поле из двух элементов. Этот 2-смешанный объем интересен тем, что, с одной стороны, не может быть получен стандартной конструкцией поляризации, а с другой -- столь же естественен, как и классический смешанный объем -- в частности, также играет важную роль в алгебраической геометрии. Для иллюстрации этой роли, мы получаем в терминах 2-смешанного объема замкнутую формулу для знаков старших коэффициентов смешанных разреженных результантов, которые ранее были явно вычислены только в некоторых частных случаях.
P.S. От слушателей никаких предварительных знаний не требуется -- все необходимые определения будут даны в ходе доклада. Ещё будет много картинок и примеров. Приходите и приводите друзей <(^_^<)

Миша Вербицкий (ВШЭ)
Алгебраическая гиперболичность и негиперболичность
Комплексное многообразие M называется гиперболичным по Кобаяши, если любое голоморфное отображение из C в M тривиально. Демайи придумал алгебраическую версию этого определения, и доказал, что она следует из гиперболичности по Кобаяши (*). Есть гипотеза, что алгебраическая гиперболичность для проективных многообразий равносильна гиперболичности по Кобаяши.
Кэлерово многообразие называется алгебраически гиперболическим, если любая комплексная кривая C в нем удовлетворяет g(C)/Vol(C) > A, для какой-то константы A>0. В этой формуле g(C) есть род кривой, а Vol(C) ее риманов объем (степень, если наше многообразие проективно). Я расскажу доказательство того, что проективные гиперкэлеровы многообразия не гиперболичны, следуя нашей работе с Людмилой Каменовой. Если хватит времени, я напомню формулировку и доказательство леммы Броди, и расскажу, как из леммы Броди вытекает теорема Демайи (*).
Для понимания выступления будет достаточно знать основы комплексной алгебраической геометрии (кэлеровы многообразия, кэлеров конус, вот это все).

 Семинар Геом.структуры 120516 (DOC, 28 Кб)

 

28 апреля
Андрей Коновалов (ВШЭ)
Рациональные кривые на К3
На K3 поверхностях (в характеристике ноль и на несуперсингулярных K3 поверхностях в характеристике p) не бывает одномерных семейств рациональных кривых. Тем не менее есть гипотеза о том, что рациональных кривых на K3 поверхностях все же бесконечно много. Эта гипотеза доказана в ряде случаев; мы обсудим результаты, полученные к настоящему времени, и докажем гипотезу в случае нечетного ранга группы Пикара (в частности, в случае ранга 1).

Ренат Абугалиев (ВШЭ)
Гипотеза Блоха
В 69-ом году Мамфорд доказал следующую теорему: если у гладкой комплексной проективной поверхности есть ненулевая голоморфная 2-форма, то её группа Чжоу 0-циклов бесконечномерна. Спустя несколько лет Блох предположил, что обратное тоже верно. Также он доказал это для поверхностей необщего типа (для поверхностей общего типа эта гипотеза доказана лишь в нескольких частных случаях). Я собираюсь пересказать это доказательство. От слушателей достаточно каких-то знаний о геометрии поверхностей.

 Семинар Геом.структуры 280416 (DOC, 26 Кб)

 

21 апреля
Александр Кузнецов (МИАН)
Гиперкэлерова структура на схеме Гильберта прямых на четырехмерной кубике
В 1985 году Бовиль и Донаги показали, что схема Гильберта прямых на четырехмерной кубической гиперповерхности обладает гиперкэлеровой структурой. Я расскажу доказательство этого факта и его интерпретацию через производные категории. Кроме того, мы обсудим как связана схема прямых на кубике со схемами Гильберта К3 поверхностей для некоторых классов специальных кубик. Если хватит времени, я расскажу про другие гиперкэлеровы многообразия, связанные с четырехмерной кубикой.


14 апреля
Николай Коновалов (ВШЭ)
Гомотопический тип группы диффеоморфизмов поверхностей
Теорема Эрла-Илса утверждает, что связная компонента группы диффеоморфизмов почти любой римановой поверхности стягиваема. Существует два доказательства этой теоремы: одно, оригинальное, аналитическое и другое, чуть более позднее, топологическое. После небольшой спекуляций про группы диффеоморфизмов я собираюсь рассказать второе доказательство.

 Семинар Геом.структуры 140416 (DOC, 24 Кб)

 

31 марта
Александр Калмынин (ВШЭ)
Неравенство Гротендика
Неравенство Гротендика-- это факт, нетривиальным способом связывающий гильбертово пространство (L^2) с двумя фундаментальными банаховыми пространствами (L^1 и L^\infty). В своем докладе я расскажу о разных формах этого неравенства, а также зачем оно нужно и какова его связь с нормами на тензорных произведениях банаховых пространств. Кроме того, я собираюсь рассказать о том, как получаются явные оценки для констант Гротендика и поговорить об обобщениях.

Миша Вербицкий (ВШЭ)
Обобщение формы Богомолова-Бовилля-Фуджики
Форма Богомолова-Бовилля-Фуджики (BBF) есть канонически определенное спаривание на вторых когомологиях гиперкэлерова многообразия M. Ее можно определить как единственную (с точностью до константы) билинейную форму, совместимую с разложением Ходжа для любой из деформаций гиперкэлеровой структуры на M. Я расскажу, как определить форму, совместимую со всеми разложениями Ходжа, для любых четномерных когомологий; такая форма обобщает спаривание BBF. Это результат, полученный совместно с Никоном Курносовым.

 Семинар Геом.структуры 310316 (DOC, 28 Кб)

 

24 марта
Роман Гонин (ВШЭ)
Симплектическая редукция по группе диффеоморфизмов
Симплектическая редукция и гиперкелерова редукция имеют бесконечномерный аналог. Про пример такой конструкции в этом году рассказывал Миша Вербицкий (для случая калибровочной группы, действующей на пространстве связностей). Следуя работе S. K. Donaldson "Moment Maps and Diffeomorphisms" я расскажу о других интересных примерах следующего типа. На пространстве каких-то отображений из многообразия S в X действует подгруппа диффеоморфизмов S (например, на вложениях из специального лагранжева подмногообразия S в симплектическое многообразие M действует группа диффеоморфизмов S, сохраняющих ограничение голоморфной формы объёма). В некоторых из этих примеров мы вычислим размерность симплектичекого фактора и проанализируем условия стабильности.

Родион Деев (ВШЭ)
Действия групп и некэлеровы многообразия
Я расскажу про некоторые новые конструкции некэлеровых многообразий, а именно про комплексные структуры на тотальных пространствах главных расслоений над комплексным многообразием, на которых действует максимальная компактная подгруппа комплексной редуктивной группы Ли.

 Семинар Геом.структуры 240316 (DOC, 26 Кб)

17 марта
Лев Суханов (ВШЭ)
Многомерные системы ортогнальных полиномов
Я планирую рассказать о многомерных обобщениях систем ортогональных полиномов, собственных относительно оператора второго порядка. Эта весьма любопытная наука, развитая Домиником Бакри, использует много идей из алгебраической геометрии и теории инвариантов.
В докладе будет про классификацию этих систем в размерности 2 (и то, почему для максимальной степени системы оператор - лапласиан относительно метрики постоянной кривизны), большой список интересных многомерных примеров, а также я, вероятно, задам какие-то вопросы непосредственно относящиеся к алгебраической геометрии.

 Семинар Геом.структуры 170316 (DOC, 27 Кб)

10 марта

Миша Вербицкий (ВШЭ)
Алгебраическая размерность нильмногообразия
Комплексное нильмногообразие есть фактор нильпотентной группы Ли, снабженной левоинвариантной комплексной структурой, по дискретной, кокомпактной подгруппе. Нильмногообразия (кроме тора) никогда не кэлеровы и не алгебраичны. Я расскажу, как выразить алгебраическую размерность нильмногообразия в терминах его алгебры Ли. Среди прочего, оказывается, что любая мероморфная функция на M поднимается с некоторой явно заданной проекции из M в комплексный тор. Это совместная работа с Анной Фино и Гео Гранчаровым. Лекция будет понятна студентам, которые знают основы комплексной алгебраической геометрии (алгебру де Рама, разложение Ходжа, рациональные отображения).

Юрий Элияшев (ВШЭ)
Амёбы и их геометрия
Амёбой алгебраического многообразия $V\subset(\mathbb{C}^*)^n$ называется его образ при логарифмическом отображении $\log(z_1,\dots,z_n)=(\log |z_1|,\dots,\log |z_n|).$ Оказывается геометрия амёбы устроена довольно разумным образом: с одной стороны она кодируется геометрией алгебраического многообразия $V$, с другой стороны она тесно связана с геометрией тропических многообразий, которые можно рассматривать как пределы амёб при подходящих деформациях $V.$ В докладе я дам обзор основных фактов о геометрии амёб и, если успею, расскажу о их связи с тропической геометрией.

 Семинар Геом.структуры 100316 (DOC, 26 Кб)

3 марта
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Лемма Броди и потоки Альфорса
Кривая Броди есть голоморфное отображение из \C в комплексное эрмитово многообразие, производная которого ограничена: |df| \leq 1. Метрика Кобаяши на комплексном многообразии M есть максимальная псевдометрика d на М такая, что любое голоморфное отображение из диска с метрикой Пуанкаре в (M,d) сжимающее. Многообразие называется гиперболическим по Кобаяши, если метрика Кобаяши невырожденна. Я докажу лемму Броди, которая утверждает, что на любом компактном многообразии, которое не гиперболично по Кобаяши, найдется кривая Броди, и свяжу с ней поток интегрирования, который называется потоком Альфорса. Если M кэлерово, поток Альфорса задает нетривиальный элемент во вторых гомологиях, аналогичный потоку интегрирования по кривой. Слушателям нужно знать начала комплексной геометрии: что такое голоморфное отображение, комплексное многообразие, эрмитова метрика, дифференциальная форма.

Алексей Голота (ВШЭ)
Потоки Альфорса и голоморфные кривые на комплексных многообразиях
Целая кривая на комплексном многообразии X это непостоянное голоморфное отображение f : \mathbb{C} --> X. Такой кривой можно сопоставить замкнутый положительный поток T_f, который называется потоком Альфорса (или Альфорса-Неванлинны). Эти потоки очень полезны для изучения кривых на комплексных многообразиях, не гиперболичных в смысле Броуди. В докладе я расскажу, как строить потоки Альфорса, и докажу обобщение леммы Броуди о репараметризации, следуя статье Ж. Дюваля.

 Семинар Геом.структуры 30316 (DOC, 27 Кб)

 

25 февраля
Александра Кузнецова (ВШЭ)
Многообразия Энриквеса
Я расскажу про обобщение понятия энриквесовых поверхностей в старшие размерности по статье Oguiso, Schroer (Enriques manifolds). Потом я построю несколько примеров таких многообразий с помощью действия группы перестановок на схеме Гильберта Hilb^n(S).

Богдан Завьялов (ВШЭ)
Кристаллические когомологии и обобщение квази-изоморфизма Делиня--Иллюзи
В 70ых годах Гротендик, пытаясь построить аналог этальных когомологий для l=p, придумал кристаллические когомологии. Сначала я подробно объясню что это такое, объяснив все мотивации к такому определению. Я расскажу основные свойства, а также способы подсчёта этих когомологий. В качестве примера приложения я докажу аналог квази-изоморфизма Делиня--Иллюзи для (формально) гладких (формальных) схем над $p$-адической базой. Доклад будет понятен продвинутым второкурсникам.

 Семинар Геом.структуры 250216 (DOC, 25 Кб)

18 февраля
Александр Ефимов (ВШЭ, МИРАН)
DG категорная система Хитчина
Я покажу, как интегрируемая система Хитчина для GL_n получается из производной категории когерентных пучков на кривой (воспринимаемой как DG категория). При этом гамильтонианы Хитчина окажутся когомологиями Хохшильда высшего порядка от этой DG категории.

Nick Howell (Oregon)
Introduction to 1-motives
Deligne introduced a suitable candidate for an abelian category of mixed motives of dimension <= 1, called 1-motives. I will give an overview of the state of this theory and relate it to Voevodsky's triangulated category of motives. Given time, I will explain a joint result with Vadim Vologodsky: the appropriate quotient of the limit of Hodge structures of a semistable degeneration has a 1-motivic lift.

 Семинар Геом.структуры 180216 (DOC, 25 Кб)

11 февраля
Василий Рогов (ВШЭ)
Теорема Чигера-Громолла о разложении
Теорема Чигера-Громолла утверждает, что если в полное связное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи изометрически геодезически вложена прямая, то это многообразие раскладывается в произведение прямой на какое-то подмногообразие. Я расскажу доказательство теоремы Чигера-Громолла и, если останется время, скажу про следующие из нее ограничения на топологию компактных многообразий неотрицательной кривизны Риччи.
Для понимания доклада достаточно знать, что такое риманово многообразие, все остальные необходимые определения я дам.

Денис Терёшкин (ВШЭ)
Проблема реализации Нильсена
Довольно часто последовательность Diff(S) \to Diff_0(S) \to Map(S) для поверхности S не расщепляется, причём сечение не получается построить даже для небольших подгрупп Map. Вопрос о том, когда именно это случается, называется проблемой реализации Нильсена. Я расскажу о методах её решения с применением разных методов -- когомологических, геометрических и комбинаторных. По пути нам встретится неравенство Милнора-Вуда, которое я докажу и немного поговорю о его обобщениях.
Слушателям пригодится знакомство с характеристическими классами.


4 февраля
Р⚇ма Гонин (ВШЭ) 
Непрерывные когомологии групп Ли и гомоморфизм Черна-Вейля
Классы Черна векторных расслоений могут быть определены как обратный образ когомологий $BGL_n (C)$. А могут и через конструкцию Черна-Вейля (рассмотреть некоторую связность на расслоения и взять инвариантный полином от кривизны). Оба эти подхода можно обобщить для произвольной структурной группы Ли G (с различным успехом в зависимости от G). Гомоморфизм Черна-Вейля связывает результаты двух этих конструкций.
Я буду следовать классической работа Ботта "On the Chern-Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups". Я опишу этот гомоморфизм в чисто топологических терминах и, в частности, покажу, что он является изоморфизмом для компактных групп. Основные технические инструменты приходят из симплициальной науки (возникают даже производные от неабелевых функторов).
Доклад предполагается очень простым и нацеленным на младшекурсников. Все необходимые понятия будут определены.

Миша Вербицкий (ВШЭ)
Гиперкэлерова структура на пространстве модулей плоских расслоений
Я расскажу о симплектической редукции и её гиперкэлеровом аналоге, построенном в [HKLR] (Hitchin, Karlhede, Lindstrom, Rocek, Hyperkahler metrics and supersymmetry, Comm. Math. Phys. 108, (1987) 535-589).
В качестве применения, я расскажу, как доказать, что пространство плоских расслоений на комплексной кривой гиперкэлерово. Слушателям понадобится знание основ дифференциальной геометрии (симплектические формы, группы Ли, комплексные многообразия).

 Семинар Геом.структуры 040216 (DOC, 29 Кб)

 

28 января
Родион Деев (ВШЭ)
Твисторы для обобщённых кватернионных многообразий
Твисторное пространство какого-либо многообразия, грубо говоря, является пространством, параметризующим комплексные структуры на этом многообразии, согласованные с имеющимися на нём геометрическими структурами. Я расскажу сначала про "обобщённую геометрию'' в смысле Хитчина и Гвалтьери (обобщённые комплексные, кэлеровы, кватернионные структуры), а потом про связанные с ней твисторные пространства.

Саша Петров (ВШЭ)
p-адическое интегрирование на алгебраических многообразиях
Будет рассказано про теорему Кольмеза. Пусть X -- гладкое многообразие над p-адическим полем K. Тогда на множестве точек X(K) можно ввести p-адическую топологию и пучок локально аналитических функций, ровно так же, как на многообразиях над комплексными числами. Однако имеется разительное отличие от комплексной ситуации -- любая замкнутая 1-форма на открытом по Зарисскому подмножестве равна дифференциалу от локально аналитической функции. Доказательство проводится сведением к абелевым многообразиям с помощью отображения Альбанезе, а для абелевых многообразий доказывается с помощью элементарной топологии.


21 января
Богдан Завьялов (ВШЭ)
Группа Гриффитса трёхмерного абелева многообразия
i-ая группа Гриффитса Gr^i(X) гладкого проективного многообразия X есть группа гомологичных нулю циклов коразмерности i с точностью до алгебраической эквивалентности. Многие люди, не исключая и самого Гриффитса, строили примеры многообразий с бесконечным рангом группы Gr^2. Я расскажу пример, принадлежащий Нори: вторая группа Гриффитса общего трёхмерного абелева многообразия имеет бесконечный ранг.

Дмитрий Кубрак (MIT)
Спуск некоторых классов группы Брауэра для некоторых разрешений
По пучку алгебр дифференциальных операторов на гладком многообразии в характеристике р и дифференциальной форме на нем можно построить алгебру Адзумаи. Я расскажу о том когда для разрешения особенностей соответствующий класс в группе Брауэра спускается на базу разрешения. Этот вопрос имеет отношение к построению экзотических t-структур на производных категориях когерентных пучков симплектических разрешений.

 Семинар Геом.структуры 210116 (DOC, 26 Кб)

 

14 января
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Дифференциальные формы и комплексные структуры
Пусть на многообразии M задана замкнутая комплекснозначная дифференциальная форма W такая, что ее ядро A (то есть множество векторов, на которых W зануляется) равно Т^{0,1}M для почти комплексной структуры I (собственным пространством для собственного значения -i). В такой ситуации, I интегрируемая (то есть комплексная структура, а не только почти комплексная). Хитчин пользовался этим механизмом для того, чтобы описать комплексные структуры на трехмерном многообразии Калаби-Яу. Я вкратце изложу конструкцию Хитчина и определю "поток Хитчина" на 3-формах на 6-мерном многообразии.
Также это рассуждение применяется для того, чтобы строить деформации комплексной структуры на голоморфном симплектическом многообразии, деформируя голоморфную симплектическую форму с сохранением ранга. Например, если W голоморфно симплектическая форма, а w замкнутая (1,1)-форма половинного ранга, зануляющаяся на лагранжевом слоении, то W+w - голоморфно симплектическая форма деформированной комплексной структуры. Если w получается как пуллбэк кэлеровой формы на базе лагранжевого слоения, соответствующая деформация называется деформацией Шафаревича-Тэйта, или же вырожденной твисторной деформацией. Я расскажу, как построить эту деформацию, опишу ее основные свойства, и сформулирую несколько открытых вопросов.
Слушателям понадобится знание базовых понятий дифференциальной геометрии: комплексные структуры, кэлеровы формы, разложение Ходжа.

 Семинар Геом.структуры 140116 (DOC, 28 Кб)

 

2015 год

31 декабря
Сергей Галкин (ВШЭ)
Теорема Арнольда-Максвелла и многообразия Огизо-Шрёера
Я расскажу про аналогию и связь между теоремой Sym^n RP^2 = RP^{2n}, приписываемой в [2] Арнольдом Максвеллу, и конструкцией многообразий Калаби-Яу по поверхностям Энриквеса, предложенной Oguiso и Shroeer в [3]. Также обсудим интересные открытые вопросы про эти многообразия. Всё необходимое определю.

[1] Kuiper N.: The quotient space of CP(2) by complex conjugation is the 4-sphere. Math. Ann. 208 (1974), 175-177
[2] Arnold, V. I. The branched covering CP2-S4, hyperbolicity and projective topology. Sibirsk. Mat. Zh. 29 (1988), no. 5, 36--47, 237.
[3] Oguiso K., Shroeer S. Enriques manifolds. J. Reine Angew. Math. 661 (2011), 215-235.

 Семинар Геом.структуры 311215 (DOC, 25 Кб)

 

24 декабря
Родион Деев (ВШЭ)
Неравенства Громова и Бузера
Неравенства Громова и Бузера позволяют оценить сверху число собственных чисел оператора Лапласа, не превышающих данной величины, в терминах геометрических характеристик многообразия. Оригинальные доказательства этих неравенств опирались на изощрённые вариационные методы. Я расскажу весьма простые их доказательства, полученные недавно Асмой
Хассаннежад, Герасимом Кокаревым и Иосифом Полтеровичем. Перед этим я напомню все необходимые факты из анализа и римановой геометрии.

Дима Пирожков (Columbia University)
Generic vanishing theorem и производные категории
Теорема Кодаиры о занулении говорит, что для обильного линейного расслоения L у K+L нет когомологий, кроме нулевых. Generic vanishing theorem --- это наблюдение о том, что происходит, если вместо обильного расслоения брать различные L из Pic^0. Я расскажу её доказательство, придуманное Hacon'ом.

 Семинар Геом.структуры 241215 (DOC, 26 Кб)

 

17 декабря
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Классификация движений гиперболического пространства и автоморфизмы комплексных многообразий
Элементы SL(2,R), как многим известно, допускают простую классификацию: матрица 2x2 называется эллиптической, если ее след лежит в интервале ]-2, 2[, параболической, если он равен 2 или -2, и гиперболической в противном случае. Аналогичная классификация имеет место для группы движений пространства Лобачевского (нелишне напомнить, что PSL(2,R) есть группа движений плоскости Лобачевского). Оказывается, что эта классификация имеет много применений в науке об автоморфизмах комплексных многообразий. Для кэлеровых поверхностей и для гиперкэлеровых многообразий автоморфизмы тоже делятся на гиперболические, параболические и эллиптические,
и их геометрия досконально описывается в терминах этой классификации. Я определю пространство Лобачевского, расскажу, как классифицировать его автоморфизмы, и объясню, каким геометрическим явлениям голоморфной динамики отвечает эта классификация. Для первой половины доклада не нужно ничего (понадобится определение многообразия и римановой метрики разве что), во второй половине я буду пользоваться некоторыми понятиями комплексной геометрии (кэлеровы многообразия, проективные многообразия, разложение Ходжа).

Алексей Голота (ВШЭ)
Группа бимероморфных автоморфизмов непроективного гиперкэлерова многообразия
Следуя статье Keiji Oguiso, я расскажу о том, как устроена группа бимероморфных автоморфизмов компактного гиперкэлерова многообразия, не являющегося проективным. Основной результат, который я докажу, такой: эта группа есть расширение свободной абелевой группы конечного ранга и конечной группы. Если останется время, я расскажу о некоторых следствиях этой теоремы.

 Семинар Геом.структуры 171215 (DOC, 27 Кб)

 

10 декабря
Григорий Кондырев (ВШЭ)
Теория Галуа, конструкция Гротендика, н-типы, когомологии
Я постараюсь рассказать о категорном обобщении теории Галуа, его связях с пространствами, старшими категориями и когомологиями. Предварительных знаний не требуется.

Богдан Завьялов (ВШЭ)
Альтерации де Йонга (продолжение)
Этот доклад будет продолжением доклада, состоявшегося 3 декабря. Слушателям желательно посмотреть определение стэка.

 Семинар Геом.структуры 101215 (DOC, 27 Кб)

 

3 декабря
Пётр Пушкарь (ВШЭ)
Теорема типа Чеканова для сферизации кокасательного расслоения
Я попробую рассказать про симплектическую и контактные редукции, поднятие изотопий и теорему типа теоремы Чеканова для сферизации кокасательного расслоения. Для понимания стоит знать что такое симплектическая и контактная структуры, лагранжево и лежандрово многообразие.

Богдан Завьялов (ВШЭ)
Альтерации Де Йонга
Известно, что любое многообразие над полем характеристики 0 бирационально изоморфно гладкому. Это очень сложный результат 1964 года, принадлежащий Хиронаке. В конечной характеристике это открытый вопрос уже в размерности 4. Следуя статьям Де Йонга, я расскажу другой подход к разрешению особенностей, работающий в любой характеристике. Теорема Де Йонга говорит, что для любого многообразия X над полем k существует регулярное многообразие X' и альтерация X' ---> X. В отличии от результата Хиронаки --- эта теорема очень простая. Я расскажу её доказательство и, если останется время и силы, её арифметический или относительный случай. Все необходимые определения и результаты, в частности, определение альтерации, я буду пытаться формулировать по ходу доклада.

 Семинар Геом.структуры 031215 (DOC, 26 Кб)

 

26 ноября
Григорий Папаянов (ВШЭ)
Деформации коммутативных алгебр и формальность многообразий не очень большой размерности
Я хочу рассказать, следуя Низендорферу и Миллеру, о том, почему k-связные многообразия размерности 4k+2 формальны, и ещё немного о том, что можно сказать про формальность в размерности 4k+3.

Лев Суханов (ВШЭ)
2-аналог уравнения коммутативности
"Уравнение коммутативности" - версия WDVV, которой удовлетворяют производящие функции числа орбит, проходящих через заданный набор циклов для $\mathbb{C}^{\ast}$, действующего на проективном многообразии $X$. Я объясню, как решать это уравнение для $X = P^n$, и предъявлю его (гипотетический) аналог для действия $(\mathbb{C}^{\ast})^2$. Этот доклад можно считать продолжением доклада, который состоится 23 числа на аспирантском семинаре, однако все необходимые определения будут даны заново.

 Семинар Геом.структуры 261115 (DOC, 25 Кб)

 

19 ноября
Дмитрий Каледин (МИРАН, ВШЭ)
Деформации пуассоновых многообразий
По просьбам публики, я расскажу про деформации пуассоновых алгебр и пуассоновых многообразий (в основном по моей старой статье с В. Гинзбургом, где в приложении был записан набросок этой теории). Я постараюсь рассказывать максимально конкретно, а так же разобрать конкретные примеры, которые в основном происходят из теории симплектических особенностей. Что такое пуассоново многообразие, и зачем они нужны, я тоже объясню.

 Семинар Геом.структуры 191115 (DOC, 23 Кб)

 

12 ноября
Родион Деев (ВШЭ)
Голоморфно энгелевы многообразия
На четырёхмерном многообразии энгелева структура -- это двумерное подрасслоение с некоторым специальным условием на его неинтегрируемость. С поиском геодезических на таких многообразиях знаком всякий, кто наблюдал процесс парковки машины. Я расскажу про энгелевы структуры на проективных алгебраических многообразиях и про то, какие они дают ограничения на их алгебраическую геометрию (например, что все энгелевы многообразия, за исключением одного случая, являются унилинейчатыми).

Андрей Коновалов (ВШЭ)
Контрпример к гипотезе Каваматы и теорема Анеля-Тоэна
Производная категория проективного многообразия содержит значительную информацию о многообразии, а иногда (в случае обильного канонического расслоения) даже определяет его однозначно с точностью до изоморфизма. Естественный вопрос: как много существует гладких проективных многообразий с производной категорией, эквивалентной данной. Я построю пример Lesieutre счетного числа неизоморфных многообразий с эквивалентными производными категориями и освещу идеи, стоящие за доказательством Анеля-Тоэна теоремы о не более чем счетности числа гладких проективных комплексных многообразий с заданной производной категорией.

 Семинар Геом.структуры 121115 (DOC, 26 Кб)

 

5 ноября
Константин Толмачёв (MIT)
Теорема Габбера и топология собственных алгебраических отображений
Пусть f: X \to Y -- собственное отображение комплексных алгебраических многообразий. Теорема (Бейлинсона-Бернштейна-Делиня-Габбера) о разложении описывает прямой образ IC-пучка на X при отображении f. Я расскажу, следуя курсу лекций де Катальдо, о предшествущих теоремах Делиня для случая, когда f - гладкое отображение, и о самой теореме Габбера. Никаких предварительных знаний об IC-пучках от слушателей не потребуется.

 Семинар Геом.структуры 051115 (DOC, 23 Кб)

 

29 октября
Иван Яковлев (ВШЭ)
Теорема Таубса
Построенный Зайбергом и Виттеном инвариант позволил ответить на многие вопросы по маломерной топологии, не поддававшиеся теории Дональдсона. Так, для четырехмерного многообразия каждый спинорной структуре может быть сопоставлено число. В кэллеровом случае пространство спинорных структур отождествляется со вторыми когомологиями, что даёт много данных об инвариантах Зайберга-Виттена. Позднее Таубс перенес эти результаты на симплектический случай и получил следующий результат: инварианты Зайберга-Виттена совпадают с инвариантами Громова-Виттена как функции на вторых когомологиях для симплектического многообразия. В своём докладе я определю инварианты Зайберга-Виттена и постараюсь объяснить теорему Таубса.


22 октября
Миша Вербицкий (ВШЭ)
2-формы на 4-многообразиях (по Дональдсону)
Я расскажу о статье Дональдсона "Two-forms on four-manifolds and elliptic equations" http://arxiv.org/abs/math/0607083 Дональдсон предложил программу, которая позволит (если удастся ее довести до завершения) решить большую часть доселе нерешенных задач 4-мерной топологии и симплектической геометрии. Я расскажу об основных предположениях и выводах этой программы. Выступление должно быть понятно студентам, знающим, что такое дифференциальные формы и римановы многообразия.

Лев Суханов (ВШЭ)
Квантовые когомологии орбифолдов
Я попробую рассказать о возникающей при изучении инвариантов Громова-Виттена орбифолдов интересной теории когомологий, впервые построенной Ченом и Руаном. Рассказ будет в основном следовать курсу лекций Дэна Абрамовича.

 Семинар Геом.структуры 221015 (DOC, 26 Кб)

 

15 октября
Николай Коновалов (ВШЭ)
Препятствие конечности Уолла
Пусть X -- конечно доминируемое пространство, то есть ретракт конечного CW-комплекса в гомотопической категории. Тогда существует класс в K(Z[pi_1(X)]), зануляющийся тогда и только тогда, когда X гомотопически эквивалентен конечному CW-комплексу. Я расскажу про конструкцию и основные свойства этого класса. Кроме того, если позволит время, будет упомянут класс Своуна, который является частью проблемы нахождения конечных групп, свободно действующих на сферах.

Никон Курносов (ВШЭ)
Об автоморфизмах гиперкэлеровых многообразий
В докладе я немного расскажу о результатах об автоморфизмах гиперкэлеровых многообразий, тривиальных на вторых когомологиях. Эта подгруппа тривиальна для схем Гильберта от K3 (доказал ещё Бовилль), но нетривиальна для обобщённых Куммеровых поверхностей и многообразия О'Грэди размерности шесть. Последнее недавно доказали Монгарди и Вандель (http://arxiv.org/pdf/1411.0759.pdf). Этот доклад продолжает тематику мини-курса Манфреда Лена.

 Семинар Геом.структуры 151015 (DOC, 28 Кб)

 

8 октября
Serge Cantat (Rennes)
p-adic methods for groups of polynomial automorphisms
I shall describe several methods to study groups of polynomial transformations of the affine space which are generated by a finite number of transformations. This includes technics of reduction modulo a prime p, as well as methods from p-adic dynamics; we shall describe these technics, and combine them with ideas coming from geometric group theory.


1 октября
Manfred Lehn (Mainz)
Symplectic manifolds and moduli of rational curves
In this lecture series, I will try to explain how to use moduli of rational curves to construct holomorphic symplectic (or hyperkahler) manifolds. We will start with a brief introduction to symplectic manifolds and a survey of existing construction methods. We will then have a closer look into Grassmannians, Quot schemes and Hilbert schemes and their use in constructing examples. In particular, I will discuss in some detail the theorems of Beauville and Donagi and of my joint work with N.Addington, C.Lehn, Sorger and van Straten, Depending on the interest of the audience I would also like to discuss the interpretation of some results from the perspective of matrix factorisations and of Kuznetsov's semiorthogonal decomposition of the derived category of cubic fourfolds.

 Семинар Геом.структуры 011015 (DOC, 27 Кб)

 

24 сентября
Manfred Lehn (Mainz)
Symplectic manifolds and moduli of rational curves
In this lecture series, I will try to explain how to use moduli of rational curves to construct holomorphic symplectic (or hyperkahler) manifolds. We will start with a brief introduction to symplectic manifolds and a survey of existing construction methods. We will then have a closer look into Grassmannians, Quot schemes and Hilbert schemes and their use in constructing examples. In particular, I will discuss in some detail the theorems of Beauville and Donagi and of my joint work with N.Addington, C.Lehn, Sorger and van Straten, Depending on the interest of the audience I would also like to discuss the interpretation of some results from the perspective of matrix factorisations and of Kuznetsov's semiorthogonal decomposition of the derived category of cubic fourfolds.

 Семинар Геом.структуры 240915 (DOC, 24 Кб)

 

17 сентябя
Григорий Папаянов (ВШЭ)
О кэлеровых многообразиях, диффеоморфных CP^n
Я расскажу доказательство теоремы Яу о том, что Кэлерово многообразие диффеоморфное CP^n, изоморфно ему.

Миша Вербицкий (ВШЭ)
Теорема Калаби-Яу: локальная версия (голоморфные ёмкости и неравенство Бедфорда-Тэйлора)
Теорема Калаби-Яу утверждает, что любое многообразие Калаби-Яу допускает метрику, которая тривиальна на каноническом расслоении (такие метрики называются Риччи-плоскими). Она выводится из более общего утверждения о существовании и единственности решений уравнения Монжа-Ампера: для заданной формы объема V на многообразии, существует и единственна метрика в любом заданном кэлеровом классе, такая, что ее форма объема пропорциональна V. Теорема Калаби-Яу есть одна из самых трудных теорем комплексной геометрии, но у нее есть локальная версия, которая выводится из неравенства Бедфорда-Тейлора (простого и удивительно красивого неравенства, позволяющем сравнивать функции, если известен их функционал Монжа-Ампера). Я расскажу схему доказательства Калаби и Яу для глобального случая, затем докажу неравенство Бедфорда-Тэйлора, и выведу из него локальную версию теоремы Калаби-Яу. Выступление будет доступно студентам, знакомым с основами комплексного анализа (плюрисубгармонические функции) и кэлеровой геометрии (разложение Ходжа, кэлеровы метрики).

 Семинар Геом.структуры 170915 (DOC, 25 Кб)

 

3 сентября
Сергей Галкин (ВШЭ)
Гамма-функция в симплектической топологии
Гамма-гипотеза это "квадратный корень" из теоремы об индексе, извлекающийся для
симплектических многообразий: роль топологического индекса играет гамма-класс (класс Хирцебруха, построенный по разложению в ряд гамма-функции), а аналитическая составляющая происходит из асимптотик решений квантового дифференциального уравнения в нерегулярной точке. С одной стороны, она является обобщением гипотез Дубровина об исключительных наборах и квантовых когомологиях, с другой стороны, выявляет топологическое происхождения у удивительных приближений Апери к значениям дзета-функции Римана, также гипотеза во многом мотивирована зеркальной симметрией. Я расскажу точную формулировку этой гипотезы, объясню когда она заведомо верна, и какие есть подходы для ее окончательного доказательства. Доклад основан на совместной работе http://arxiv.org/abs/1404.6407 с Василием Голышевым и Хироши Иритани.

 Семинар Геом.структуры 030915 (DOC, 25 Кб)

 

25 июня
Ренат Абугалиев (ВШЭ)
Группа Чжоу К3-поверхности
Группа Чжоу многообразия является обобщением группы Пикара в большой коразмерности, но в отличие от Пикара, группа Чжоу устроена весьма загадочно и непонятно. В своём докладе я попробую рассказать несколько фактов о ней в случае К3-поверхности.

Светлана Макарова (ВШЭ)
Исключительный набор на пространстве модулей представлений колчана
Я собираюсь рассказать об одном многообразии, которое получается как пространство модулей представлений некоторого колчана, и предъявлю исключительный набор из тринадцати объектов на нём, предположительно полный. Начну с контекста и основных определений (представления колчанов, пространство их модулей, производная категория -- потрачу на объяснение не более пяти минут, ислкючительный набор, функтор Шура). Затем перейду к геометрическому описанию пространства модулей. После этого я объясню, почему естественно ожидать, что есть полный исключительный набор. Завершу доклад я предъявлением набора и наброском доказательства его исключительности. Следует ожидать использования разных вычислительных техник и выписывания большого числа точных последовательностей.

 Семинар Геом.структуры 250615 (DOC, 25 Кб)

 

18 июня
Тимофей Шабалин (ВШЭ)
О поверхностях, накрываемых бидиском
Я расскажу следующий результат Катанезе и Франчиози: на компактной комплексной поверхности с $K_X^2>0$ есть "полуспециальный тензор", т.е. сечение пучка $S^2 \Omega_X^1(-K_X) \otimes \eta$, где $\eta$ --- обратимый пучок с $\eta^2 \cong \mathcal{O}$, тогда и только тогда, когда $X$ есть либо $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$, либо универсальное накрытие $X$ --- бидиск $\mathbb{H} \times \mathbb{H}$. По статье F. Catanese, M. Franciosi, A characterization of surfaces whose universal cover is the bidisk, arXiv:0803.3008. Доклад будет очень элементарным.

Константин Толмачёв (MIT)
Ассоциаторы Дринфельда и проунипотентная группа Гротендика-Тейхмюллера
В этот раз я расскажу о проунипотентной версии группы Гротендика-Тейхмюллера и её действии на пространстве моноидальных структур ("ассоциаторов Дринфельда") в категориях модулей над некоторым общим классом алгебр.

 Семинар Геом.структуры 180615 (DOC, 27 Кб)

 

11 июня
Константин Толмачёв (MIT)
Геометрическое действие абсолютной группы Галуа
Пусть X - алгебраическое многообразие над Q, и пусть x \in X(Q) - его рациональная точка. Тогда абсолютная группа Галуа поля Q действует на алгебраической фундаментальной группе (X(C), x) автоморфизмами. Если X - проективная кривая без точек 0, 1, \infty, то, по теореме Белого, группа Галуа инъективно отображается в группу автоморфизмов проконечного пополнения свободной группы на двух образующих. Можно попытаться описать образ этого отображения. Чудесным образом оказывается, что соотношения, которые получается написать, выглядят точно так же, как соотношения в группе Гротендика-Тейхмюллера, определённой Дринфельдом и действующей на пространстве (braided) моноидальных структур в некоторых очень общих категориях модулей. Я попытаюсь рассказать о некоторых аспектах этой истории, не предполагая никаких предварительных знаний об алгебраических фундаментальных группах, теореме Белого и т.д.

Павел Соломатин (Universiteit Leiden)
О числе классов идеалов квадратичных полей
Я расскажу о связи геометрии различных модулярных поверхностей(и кривых) с числом классов идеалов квадратичных полей.

 Семинар Геом.структуры 110615 (DOC, 26 Кб)

 

4 июня
Родион Деев (ВШЭ)
Лиувиллевы накрытия
Лиувиллево многообразие -- это риманово многообразие, на котором все ограниченные гармонические функции постоянны. Я попробую рассказать, при каких условиях на группу Галуа подобные свойства наследуются при накрытиях.

Дмитрий Пирожков (ВШЭ)
Стягивание наборов непересекающихся дивизоров
Если на собственном нормальном многообразии задан счетный набор попарно непересекающихся связных дивизоров, то это многообразие можно отобразить в кривую так, чтобы все, кроме конечного числа дивизоров из набора были слоями этого отображения. Я расскажу доказательство этого факта, следуя статье Ф. Богомолова и А. Силберштейна http://arxiv.org/abs/1504.05534

 Семинар Геом.структуры 040615 (DOC, 25 Кб)

 

28 мая
Богдан Завьялов (ВШЭ)
Вырождение спектральной последовательности Ходжа-де Рама с помощью редукции в характеристику $p$
Цель моего доклада -- дать чисто алгебраическое доказательство вырождения спектральной последовательности Ходжа-де Рама. Первая часть доклада будет посвящена напоминанию свойств морфизмов Фробениуса, комплекса де Рама в положительной характеристике, векторов Витта и обсуждению изоморфизма Картье. Во второй части доклада я расскажу метод Делиня -- Иллюзи доказательства этого вырождения, который основан на редукции в характеристику $p$.

Родион Деев (ВШЭ)
(Ко-)КР-кватернионные многообразия и их твисторы
КР-многообразия -- это геометрическая структура, аксиоматизирующая свойства вещественных гиперповерхностей в комплексных многообразиях. Я пойду немного дальше и попытаюсь рассказать про КР- и ко-КР-кватернионные многообразия (напомнив предварительно все линейно-алгебраические и дифференциально-геометрические определения), а также про связанную с этим твисторную геометрию.

 Семинар Геом.структуры 280515 (DOC, 25 Кб)

 

21 мая
Александра Скрипченко (ВШЭ)
Броуновское движение на римановых многообразиях
Я расскажу о том, что такое броуновское движение и как оно связано с гармоническим анализом. Мы обсудим простейшие свойства броуновского движения как случайного процесса. В заключении мы определим броуновское движение на римановых многообразиях и обсудим, как это может применяться в задачах динамики и комплексного анализа.

Миша Вербицкий (ВШЭ)
Теорема об униформизации по Симпсону и вариации структур Ходжа
Расслоение Хиггса есть голоморфное расслоение с $c_1=0$, снабженное голоморфной 1-формой с коэффициентами в его эндоморфизмах (полем Хиггса), квадрат которой равен нулю. Подпучок такого расслоения называется дестабилизирующим, если он сохраняется полем Хиггса (то есть эндоморфизмами, которые служат коэффициентами соответствующей 1-формы), а его степень неотрицательна. Расслоение Хиггса стабильно, если у него нет дестабилизирующих подпучков. Хитчин и Симпсон доказали, что любое стабильное расслоение Хиггса имеет плоскую связность, а если, кроме того, поле Хиггса нильпотентно, то эта связность согласована с вариацией структур Ходжа. Я подробно расскажу обо всех перечисленных объектах, и кратко опишу логику доказательства Симпсона. В качестве приложения, я расскажу доказательство Симпсона теоремы об униформизации комплексных кривых, основанное на вариациях структур Ходжа. От слушателей требуется знакомство с базовыми понятиями дифференциальной геометрии (дифференциальные формы, связности, кривизна).

 Семинар Геом.структуры 210515 (DOC, 26 Кб)

 

14 мая
Елизавета Аржакова (ВШЭ)
Теорема Э. Хопфа об эргодичности и феномен Маутнера
Я расскажу формулировку и доказательство аргумента Хопфа, который является удобным методом для проверки эргодичности преобразований. С помощью аргумента Хопфа будет проведено геометрическое доказательство эргодичности геодезического потока на компактной римановой поверхности постоянной отрицательной кривизны. Потом я расскажу формулировку и доказательство результата Маутнера, который является основой эргодической теории на однородных пространствах.

Арина Архипова (ВШЭ)
Теорема Бернштейна-Кушниренко
Будет рассказно доказательство теоремы Бернштейна-Кушниренко. Теорема Бернштейна-Кушниренко утверждает, что число нулей системы из n полиномов Лорана от n неизвестных равно смешанному объему полиэдров Ньютона этих полиномов.

 Семинар Геом.структуры 140515 (DOC, 25 Кб)

 

30 апреля
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Теорема де Рама
Я расскажу несколько теорем дифференциальной геометрии, полезных для понимания лекции Алексея Голоты о многообразиях с неотрицательной кривизной Риччи. Я определю группу голономий и сформулирую теорему де Рама о разложении римановых многообразий с приводимой группой голономии в произведение. Затем я сформулирую теорему Берже о классификации групп голономий римановых многообразий. Наконец, я определю кривизну Риччи и перечислю несколько фактов о ней, а затем докажу теорему Чигера-Громолла о том, что полное, односвязное многообразие с неотрицательной кривизной Риччи компактно либо изометрично произведению прямой на многообразие меньшей размерности. Для понимания можно обойтись без специальных знаний, но полезно освоить базовые вещи из дифференциальной геометрии: связность, кривизну, риманову метрику, геодезические.

Алексей Голота (ВШЭ)
Компактные кэлеровы многообразия с неотрицательной кривизной Риччи
Следуя статье F. Campana, J.-P. Demailly, T. Peternell, "Rationally connected manifolds and semipositivity of Ricci curvature", я расскажу о том, как связаны дифференциальная и бирациональная геометрии гладких комплексных проективных многообразий. В качестве основного результата, я докажу теорему о классификации компактных кэлеровых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи. 

 Семинар Геом.структуры 300415 (DOC, 26 Кб)

 

23 апреля
Александра Викторова (ВШЭ)
Кэлеровы структуры на нильмногообразиях
Нильмногообразием называется компактное многообразие с транзитивным действием нильпотентной группы Ли. В своём докладе я докажу теорему о том, что любое кэлерово нильмногообразие диффеоморфно тору.

Александра Кузнецова (ВШЭ)
Теорема Райдера
Я хочу доказать теорему Райдера. Эта теорема накладывает некоторые условия на линейное расслоение L на поверхности, при выполнении которых расслоение K_S + L глобально порождено или очень обильно. Одно из следствий --- гипотеза Фуджиты в двумерном случае. А в доказательстве теоремы используются важные понятия конструкции Серра и нестабильности по Богомолову. Литература: [Rdr] I. Reider, Vector bundles of rank 2 and linear systems on algebraic surfaces, Ann. Math. 127 (1988), 309-316. Robert Lazarsfeld Lectures on Linear Serieshttp://arxiv.org/abs/alg-geom/9408011

 Семинар Геом.структуры 230415 (DOC, 26 Кб)

 

16 апреля
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Симплектическая энергия и норма Хофера
Метрика Хофера есть би-инвариантная финслерова метрика на группе гамильтоновых диффеоморфизмов симплектического многообразия, которая в касательном пространстве к нулю, отождествленному с пространством гладких гамильтонианов, равна супремуму гамильтониана. Хофер доказал, что эта метрика невырождена на R^n, используя сложный аналитический аргумент. Я расскажу простое доказательство теоремы Хофера, принадлежащее Лалонду и МакДафф. Они доказали эту теорему для любого симплектического многообразия, выведя ее из теоремы Громова о симплектической несжимаемости. Никаких специальных знаний, кроме общего представления о симплектических многообразиях, не потребуется. Подробности: Francois Lalonde, Dusa McDuff, The geometry of symplectic energy.

Дмитрий Тонконог (HSE and Cambridge)
Elliptic relation for Floer cohomology
For any symplectomorphism of a symplectic manifold, one defines a graded vector space called its Floer cohomology. Two commuting symplectomorphisms give rise to actions on Floer cohomologies of each other, and the elliptic relation says that the supertraces of these two actions are equal. I will explain a sketch proof of the elliptic relation, and its application to the study of symplectic Dehn twists.

 Семинар Геом.структуры 160415 (DOC, 26 Кб)

 

9 апреля
Ренат Абугалиев (ВШЭ)
Бирациональная геометрия симплектических многообразий
Компактное кэлерово многообразие X называется голоморфно-симплектическим, если оно односвязно и пространство его глобальных голоморфных 2-форм порождено симплектичекой формой \sigma. Я расскажу о бирациональных морфизмах между симплектическими многообразиями: построю флоп Мукаи и разберу подробнее случай dim X =4.

Павел Соломатин (Leiden University)
Теория полей классов и кривые с большим числом точек над конечными полями
Граница Вейля (гипотеза Римана для глобальных функциональных полей) доставляет частичный ответ на вопрос о числе точек на кривой над конечным полем. Вопрос о том как улучшить эту оценку оказывается невероятно сложным. Более того, даже для небольшого улучшения этой границы в некоторых частных случаях требуется привлечение большого количества продвинутой техники. Я расскажу как подойти к этой задаче при помощи теории полей классов.

 Семинар Геом.структуры 090415 (DOC, 28 Кб)

 

2 апреля
Александр Гайфуллин (МИАН, МГУ)
Аналитическое продолжение функции объёма симплекса и гипотеза о кузненых мехах в пространствах Лобачевского
Стандартным объектом гиперболической геометрии является функция, вычисляющая объём $n$-мерного симплекса в пространстве Лобачевского по набору его двугранных углов. Другая функция, тесно связанная с предыдущей, вычисляет объём $n$-мерного симплекса по набору гиперболических косинусов длин его рёбер. В 1977 году Аомото показал, что эта функция продолжается до многозначной аналитической функции $\Phi$ на $\mathbb{C}^{n(n+1)/2}$ и описал её множество ветвления. В докладе будет доказано следующее свойство многозначной аналитической функции $\Phi$. Пусть $C_n\subset\mathbb{C}^{n(n+1)/2}$ - множество всех векторов гиперболических косинусов длин рёбер ограниченных невырожденных $n$-мерных симплексов в пространстве Лобачевского. Мы покажем, что если $n$ чётно, то любая ветвь многозначной функции $\Phi$ принимает на множестве $C_n$ вещественные значения, а если $n$ нечётно, то для любых двух ветвей многозначной функции $\Phi$ либо их разность, либо их сумма принимает на множестве $C_n$ чисто мнимые значения. В качестве следствия этого результата мы докажем гипотезу о кузнечных мехах в нечётномерных пространствах Лобачевского, которая утверждает, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания.

 Семинар Геом.структуры 020415 (DOC, 29 Кб)

 

26 марта
Александр Кузнецов (МИАН)
Полуортогональные разложения
Я расскажу о полуортогональных разложениях производных категорий когерентных пучков и других триангулированных категорий. Приведу основные примеры стандартных разложений. Постараюсь объяснить, когда можно ожидать наличие полуортогонального разложения, а когда нельзя. Ну и попробую рассказать, какая от них польза.

Григорий Папаянов (ВШЭ)
Теорема Бондала-Орлова и Посицельского о реконструкции многообразия по производной категории
Я собираюсь рассказать про то, как восстановить гладкое многообразие с обильным или антиобильным каноническим классом по его производной категории когерентных пучков.

 Семинар Геом.структуры 260315 (DOC, 25 Кб)

 

19 марта
Всеволод Шевчишин (ВШЭ)
Характеристические классы и комбинаторная теория групп
Я расскажу, как строить характеристические классы различного рода (квази)расслоений (типа обычных локально тривиальных расслоений, пучков Лефшеца, и т.п.), исходя из структурной группы расслоения, и как использовать эту конструкцию в классификации расслоений. 

 Семинар Геом.структуры 190315 (DOC, 23 Кб)

 

12 марта
Павел Осипов (ВШЭ) 
Существование плоской связности расслоения над поверхностью
На векторном расслоении над поверхностью существует плоская связность тогда и только тогда, когда индекс Кронекера класса Эйлера меньше рода поверхности. Я расскажу доказательство этого утверждения, следуя статье Милнора "On the existence of a connection with curvature zero".

Миша Вербицкий (ВШЭ) 
Кэлерова гиперболичность по Громову
Кэлерово многообразие называется гиперболическим по Громову, если кэлерова форма на его накрытии точна и равна дифференциалу от ограниченной формы. Это свойство следует из обычной (вещественной) гиперболичности, и влечет гиперболичность по Кобаяши (отсутствие целых кривых). Я расскажу про работу Громова "Kahler hyperbolicity and L2-Hodge theory", где из кэлеровой гиперболичности выводятся разные интересные свойства, в частности, зануление L^2-когомологий. Доклад будет понятен для студентов, знакомых с определением и базовыми свойствами кэлеровых многообразий, все вещи, которые понадобятся, я буду определять по ходу дела.

 Семинар Геом.структуры 120315 (DOC, 26 Кб)

 

5 марта
Сергей Галкин (ВШЭ) 
Про дзета-функцию категорий
Дзета-функция Капранова от алгебраического многообразия определяется как производящая функция от классов симметрических степеней многообразия в кольце Гротендика многообразий. Для совершенных dg-категорий Гантер и Капранов предложили конструкцию симметрических степеней, и можно рассмотреть их классы в кольце Гротендика от совершенных категорий. Совместность двух определений формулируется не совсем очевидно, и ее удается доказать пока лишь в тех случаях, когда известны хорошие разрешения особенностей для симметрических степеней (в размерностях 1,2, а также для симметрических квадратов). Про это я и расскажу, а также про известную компактификацию конфигурационных пространств (Фултона-Макферсона-Аксельрода-Зингера).

 Семинар Геом.структуры 050315 (DOC, 24 Кб)

 

26 февраля
Миша Вербицкий (ВШЭ) 
Локализация дифференциальных операторов и теория Морса
Я расскажу о методе локализации дифференциальных операторов, которым воспользовался Виттен для получения аналитического доказательства неравенств Морса. Я буду следовать статье Демайи "Holomorphic Morse inequalities", где аргумент Виттена использовался для получения голоморфной версии неравенств Морса, с помощью которой Демайи доказал много важных результатов алгебраической геометрии, но я не планирую рассказывать про голоморфную версию.

Никон Курносов (ВШЭ) 
Об инвариантах Розанского-Виттена для гиперкэлеровых многообразий
Доклад будет посвящён инвариантам узлов, построенным Розанским и Виттеном на основе гиперкэлеровых многообразий. Но в виду "физичности" их определения, я буду исходить из определения Сейвона и Хитчина. Будут рассмотрены примеры наиболее простых графов и вычислений для них, что сделали Сейвон и Хитчин, а также использование инвариантов Розанского-Виттена для получения результатов по топологии гиперкэлеровых многообразий.

 Семинар Геом.структуры 260215 (DOC, 33 Кб)

 

19 февраля
Александр Эстеров (ВШЭ) 
Тропические многообразия с полиномиальными весами (joint session with Algebraic structures in convex geometry conference)
Я напомню понятие тропического многообразия и примеры его приложений в выпуклой и перечислительной геометрии. Затем я расскажу про тропические многообразия с полиномиальными весами и продемонстрирую, как они естественным образом возникают в задачах выпуклой и перечислительной геометрии.

 Семинар Геом.структуры 190215 (DOC, 12 Кб)

 

12 февраля
Родион Деев (ВШЭ) 
Комплексная структура на группе Вирасоро
Группа Вирасоро есть центральное расширение группы диффеоморфизмов окружности. Она естественным образом является комплексным многообразием; я расскажу про то, как устроена эта комплексная структура, и про соответствующую геометрическую структуру на группе диффеоморфизмов окружности.

Григорий Папаянов (ВШЭ)
Теория деформаций геометрических структур Рюши Гото
Я собираюсь рассказывать про принадлежащий Рюши Гото унифицированный подход к теории деформаций гиперкэлеровых, G_2-, Spin(7)-многообразий и многообразий Калаби-Яу, в общем, ко всем геометрическим структурам, которые задаются каким-то набором замкнутых дифференциальных форм. Я покажу, как получать утверждения о том, что во всех вышеприведенных случаях деформации не имеют препятствий (то есть, каждая касательная деформация продолжается до настоящей).

 Семинар Геом.структуры 120215 (DOC, 26 Кб)

 

5 февраля
Александр Бердников (ВШЭ) 
Спектральная геометрия
Спектральная геометрия изучает связь геометрических свойств многообразия со спектром и собственными функциями оператора Лапласа. Мы познакомимся с классическими результатами и посмотрим, как различные (дифгемовские, функанские и топологические) рассуждения сожительствуют в этой науке.

Алексей Голота (ВШЭ)
Non-Kaehler counterexamples to Abundance and Iitaka conjectures
Abundance conjecture is one of the most important open questions in birational geometry. The generalized version of this conjecture says that the Kodaira dimension of a compact Kaehler manifold equals its numerical dimension. In fact the statement makes sense for any compact complex manifold but it turns out to be false for non-Kaehler ones. In this talk I will briefly recall the statements of the conjectures; then I will describe the counterexamples constructed by G.Magnusson.

 Семинар Геом.структуры 050215 (DOC, 28 Кб)

 

29 января
Миша Вербицкий (ВШЭ) 
Пространство модулей симплектических структур
Пространство Тейхмюллера симплектических структур определяется как фактор бесконечномерного многообразия всех симплектических структур по изотопиям. Мозер доказал, что это всегда гладкое многообразие (возможно, нехаусдорфово). Я воспроизведу его доказательство, опишу геометрические структуры, естественно возникающие на пространстве Тейхмюллера симплектических структур, и (если хватит времени) расскажу о нашей работе с Катей Америк, в которой получено явное описание пространства Тейхмюллера симплектических структур на гиперкэлеровом многообразии.

 Семинар Геом.структуры 290115 (DOC, 28 Кб)

 

22 января
Владимир Жгун (ВШЭ) 
Симплектические многообразия с инвариантными лагранжевыми подмногообразиями (по совместным работам с Д.А.Тимашевым)
Основным объектом исследований является симплектическое алгебраическое многообразие с действием редуктивной группы, содержащее лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно действия этой группы. Мы будем также считать, что оно снабжено отображением моментов. Типичным примером таких многообразий является кокасательное расслоение к многообразию с действием редуктивной группы (нулевое сечение будет инвариантным лагранжевым). Оказывается рассматриваемые симплектические многообразия обладают многими свойствами аналогичным свойствам кокасательных расслоений, хотя таковыми не являются. Мы обсудим соответствующие результаты для кокасательных расслоений и то, как они обобщаются на данный класс многообразий.

 Семинар Геом.структуры 220115 (DOC, 33 Кб)