Паспорт проекта

В рамках конкурса Научного фонда НИУ ВШЭ создана научно-учебная группа теории представлений, цель которой — работа над проектом "Теория представлений в геометрии и математической физике".

Проект является результатом работы семинара "Теория представлений" под руководством Б.Л.Фейгина и Л.Г.Рыбникова, в течение 2010-2011 уч.г. собравшего группу заинтересованных и научно мотивированных студентов и магистрантов факультета математики.

Основной научной задачей проекта является задача описания интересных (с точки зрения геометрических и физических приложений) представлений квантовой алгебры бесконечных матриц (алгебры Динга-Иохары) и тороидальных квантовых групп. Информационная база по этой проблеме весьма обширна: работы японской школы Мивы-Джимбо, Шираиши, Накаджимы касающиеся фермионных формул, работы Вассеро-Шиффмана о бесконечных сферических алгебрах Гекке, и Маулика-Окунькова о симплектических разрешениях, а также работы Б.Л. Фейгина в соавторстве с участниками данного проекта. Значительная часть статей по данной тематике имеется в виде препринтов за последние 1-2 года.

Проект имеет также и образовательную цель: глубокое изучение и освоение студентами техники теории представлений квантовых групп и вертекс-операторных алгебр, в том числе, в приложениях к задачам геометрии и интегрируемых систем. Для этого продолжает работу НИС "Теория представлений" под руководством Б.Л. Фейгина и Л.Г. Рыбникова, а также ряд спецкурсов, читаемых на факультете математики старшими участниками проекта.

Мы также рассчитываем, что старшие участники и студенты будут вести и самостоятельные научные исследования, формально не связанные с тематикой проекта. Это полезно в качестве свежего взгляда на основные задачи проекта.

Краткое описание имеющегося у коллектива научного задела по предлагаемому проекту

Красткий список достижений старших участников по направлениям предлагаемого проекта:

Б.Л.Фейгин и Л.Г.Рыбников заложили основы изучения критического центра двойной алгебры токов в связи с методом анзаца Бете. М.В.Финкельберг, в соавторстве с И.Мирковичем, А.Кузнецовым, А.Браверманом и Д.Гайцгори, за последние 10 лет произвел всеобъемлющее исследование геометрии компактификаций пространств модулей главных расслоений и флагов расслоений на гладких кривых и поверхностях. В частности, их локальные и глобальные когомологии Горески-Макферсона описаны в терминах представлений простых и аффинных алгебр Ли. Совместно с Р.Безрукавниковым, М.В.Финкельберг описал алгебру эквивариантных (К-)гомологий аффинных грассманнианов в терминах интегрируемой системы квантовой (разностной) цепочки Тоды. В частности, классическая (одномерная) геометрическая эквивалентность Сатаке поднята до эквивариантного уровня. Б.Л.Фейгин, М.В.Финкельберг и Л.Г.Рыбников, вместе с И.Френкелем и А.Негутом, заложили основы вычисления квантовых когомологий (аффинных) пространств Ломона в терминах алгебры сдвига аргумента, приведя геометрическую реализацию тороидальной квантовой группы при помощи пространств Ломона. В частности, геометрически построен базис Гельфанда-Цетлина в представлениях алгебры токов типа А.

М.В.Финкельберг и Л.Г.Рыбников описали (пользуясь действием циклической группы на многообразии Гизекера) пространства Ломона как колчанные многообразия, и применили это к задаче квантования пуассоновой структуры (построенной в классической работе Финкельберга-Кузнецова-Мирковича-Маркаряна) на пространствах Ломона. В частности, оказалось, что некоммутативная деформация пространств Ломона и их аффинных аналогов есть некоторый естественный подфактор аффинного янгиана. Б.Л.Фейгин, М.В.Финкельберг и Л.Г.Рыбников, вместе с А. Браверманом, доказали конечную версию гипотезы AGT при помощи техники сдвинутых янгианов Брандана-Клещева.

Е.Б.Фейгин, в соавторстве с М.В.Финкельбергом, П.Литтельманном и другими разработал технику ПБВ-вырождений многообразий флагов и связал ПБВ-вырожденные многообразия флагов с колчанными грассманианами. Е.Ю.Смирнов, в соавторстве с В.А.Кириченко и В.А.Тимориным, описал когомологии пространств флагов в терминах комбинаторики многогранника Гельфанда-Цетлина.

Ожидаемые результаты исследований

В течение 2012 года планируется получение следующих результатов:

• Описание представлений тороидальных квантовых групп при помощи квантовой алгебры бесконечных матриц (алгебры Динга--Иохары).
• Изучение ПБВ вырожденных представлений простых и аффинных алгебр Ли: описание соотношений, построение базисов, вычисление градуированных характеров.
• Описание умножения в кольце когомологий многообразия полных флагов для GL(V) в терминах кольца Пухликова-Хованского многогранника Гельфанда-Цетлина.
• Описание пуассоновой структуры многообразий Гизекера в терминах колчанов, квантование и установление связи с янгианами. Колчанное и пуассоново описание компактификаций Уленбек для типов BCD.