Семинары

Семинар «Динамические системы»

Семинар под руководством Ю. С. Ильяшенко «Динамические системы» работает уже более 40 лет. До сентября 2017 года он проходил еженедельно по пятницам, с 18:25 на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова, аудитория 1414, с 2017 года он переместился на математический факультет НИУ ВШЭ, но время осталось прежним. Все участники НУГ принимали активное участие в работе семинара: выступали с докладами сами и слушали приглашённых докладчиков, обсуждали свои научные результаты и новые задачи.

Семинар НУГ в 2018 году

Осенний семестр

7.12.2018 Д. Филимонов. Группы диффеоморфизмов окружности
Я расскажу об одной задаче, над которой работает уже немаленький (человек 15, не меньше) коллектив авторов. Все началось с вопроса о том, влечет ли минимальность действия его эргодичность. Попытки разобраться с этим вопросом даже в таком, казалось бы, простом случае как диффеоморфизмы окружности, приводят к красивым и интересным результатам. В этот раз я расскажу про уже опубликованные результаты и буду вести рассказ с самого начала. Доклад будет доступен всем, знающим теорему Лагранжа из матана 1 курса =) Но и ее я напомню, если надо.

23.11.2018, 17:00 О. Ромаскевич. Бильярды в замощениях и индукция Рози
Я расскажу о такой динамической системе. Возьмем какое-нибудь замощение плоскости многоугольниками (регулярные решетки - квадратная, шестиугольная, или более сложные замощения - периодические или нет). В ней можно играть в бильярд: точечная частица движется прямолинейно до момента, как она ударится в стенку одной из плиток. После соударения со стенкой, частица переходит в соседнюю плитку и меняет направление своей траектории так, что коэффициент рефракции равен -1. Мотивация к изучению таких бильярдов приходит из физики метаматериалов. Мы посмотрим на то, как ведет себя такой бильярд на периодических треугольных замощениях. Такие бильярды очень сильно отличаются от стандартных бильярдов в многоугольниках. Одно из свойств таких бильярдов в треугольных замощениях - огромное количество устойчивых периодических орбит. Я покажу картинки траекторий, и расскажу, какими методами можно с такими бильярдами работать: от школьной геометрии до индукции Рози.

23.11.2018, 18:30 Д. Новиков. Complex Cellular Structures in vivo.
Вещественные полуалгебраические (а также и вещественно-аналитические) подмногообразия $R^n$ допускают разбиение на клетки - подмножества гомеоморфные кубам, причем гомеоморфизмы треугольного вида. Этот классический результат исключительно полезен в эффективной вещественной алгебраической геометрии и еще много где. Попытки построить комплексный аналог предпринимались, но проваливались грубо говоря потому, что комплексно-аналитическая геометрия конструктивных подмножеств комплексной прямой гораздо богаче вещественного аналога.

Мы придумали как обойти это препятствие, и построили комплексный аналог клеточного разбиения. Более того, в духе идеологии "рост-нули", наши алгебраические (голоморфные) гомеоморфизмы голоморфно продолжаются в существенно большие области, что позволяет контролировать их производные, нули и т.д., и вообще делает всю конструкцию мягкой. Как следствие, мы получили эффективные оценки параметризации Громова-Йомдина (и соответственно доказали старую гипотезу Йомдина о энтропии) и что-то про распределение рациональных точек на разных множествах, в духе результатов Pila-Wilkie и Wilkie conjecture.

16.11.2018 С. Ю. Яковенко. Количественная мера сингулярности линейных дифференциальных уравнений на проективной прямой.
Хорошо известно, насколько плохо себя ведут дифференциальные уравнения с малым коэффициентом при старшей производной. Их решения демонстрируют самые разные свойства (быструю осцилляцию, релаксационные колебания и т.д.). 

Доклад будет посвящён численной мере такой близости для линейных уравнений с рациональными коэффициентами на проективной прямой. Я попытаюсь объяснить, чем эта мера полезна и как её можно явно оценивать в интересных задачах.

9.11.2018 С. Минков. Теорема Такенса.
Теорема Такенса действует примерно так. У нас есть обратимая динамическая система (с дискретным временем), может быть, довольно сложно устроенная, и есть наблюдаемая - функция, описывающая её состояние (скажем, мы смотрим за количеством 100 видов насекомых в лесу, а наша функция - доля одного вида жуков на одном квадратном метре; или наша динамическая система - механическое устройство, а наблюдаемая - угол между сцепленными деталями каждую секунду). Тогда для типичной динамической системы и типичной наблюдаемой достаточно 2*{число степеней свободы системы}+1 наблюдений, чтобы научиться восстанавливать систему по показаниям наблюдаемой. Теорема формально-математическая, но полезна в приложениях, и изначально разработана для понимания турбулентности (но мы туда не пойдём). Все неформальные слова будут определены.
Первой целью доклада будет изложить схему доказательства и представить играющие в нём полезные идеи.
Второй - представить окружающие эту теорему результаты и полезные для большей приложимости дополнительные соображения.

2.11.2018 Serge Troubetzkoy. On the Ehrenfest wind-tree model
I will report on joint work with Alba Malaga Sabogal. In 1912 Paul et Tatyana Ehrenfest proposed the wind-tree model in order to interpret the ergodic hypothesis of Boltzmann. In the Ehrenfest wind-tree model, a point particle (the “wind”) moves freely on the plane and collides with the usual law of geometric optics with irregularly placed identical square scatterers (the “trees”). We show that for generic configurations (in the sense of Baire) the wind-tree model has very nice dynamics in a.e. direction: minimality, ergodicity, and infinite ergodic index.

26.10.2018 С. Минков. Приложения теорем о вложениях
Доклад будет посвящен обсуждению знаменитых результатов Уитни о вложении абстрактного многообразия в R^n. Разные ключевые идеи, возникающие в этой области, используются при доказательстве некоторых теорем Нэша, критериев планарности графов и теоремы Смейла о бордизмах, которая в высших размерностях является аналогом гипотезы Пуанкаре/теоремы Перельмана. Слабая версия теоремы Уитни полезна для понимания теоремы Такенса о вложении аттракторов.

12.10.2018 А. Клименко. Уравнение Джозефсона: асимптотическое поведение языков Арнольда
Доклад будет рассчитан в основном на младших слушателей семинара: я сделаю небольшой обзор имеющихся результатов связанных с уравнением Джозефсона и остановлюсь на одном результате об асимптотическом поведении языков Арнольда для него (совм. с О. Ромаскевич, MMJ, 2014)

Уравнениеcx'=cos(x)+a+bcos(t) возникает при описании некоторого эффекта в сверхпроводниках (а именно, в контурах с джозефсоновским контактом). Если считать x и t меняющимися на окружности, это уравнение задаёт векторное поле на двумерном торе, и при фиксированных параметрах a,b,c определено его число вращения. Поведение числа вращения в пространстве параметров (a,b) (при фиксированном c>0) достаточно неожиданно: множества уровня числа вращения имеют непустую внутренность лишь для целых его значений. Эти множества, называемыми языками Арнольда, имеют достаточно интересную структуру: на них есть "перемычки": некоторые прямые b=const пересекают язык лишь в одной точке. Результат, на котором я остановлюсь подробно, описывает поведение границ языка при больших значениях b: границы языка как функции a=a(b) асимптотически ведут себя как функции Бесселя. В частности, отсюда следует, что каждый язык имеет счётное число перемычек.

5.10.2018 А.М. Леонтович (совм. с. И. А Сидоровым). Как происходит процесс окруживания для градиентных правил перемещения вершин в случае замкнутых ломаных с числом вращения 0.
В работах И.И. Пятецкого-Шапиро, А.М. Леонтовича, О.Н. Ставской, Г. Гальперина была рассмотрена так называемая задача окруживания -- интересная динамическая система (в случае дискретного времени -- преобразование), в которой происходит движение замкнутых ломаных на плоскости под воздействием локальных однородных правил перемещения вершин ломаных. В этих работах рассматривались "геометрические" правила перемещения вершин ломаных. Ю.С. Ильяшенко рассмотрел случай динамических систем с "градиентными" правилами перемещения. Для них перемещение вершин определяется исходя из некоторого потенциала (потенциальной функции), являющегося суммой двух потенциалов: один -- сумма потенциалов от длин звеньев ломаной, другой -- сумма потенциалов от углов между звеньями ломаной. Ю.С. Ильяшенко доказал (почти), что при некоторых естественных предположениях о выпуклости этих потенциалов от длин звеньев и от углов между звеньями в процессе окруживания происходит сходимость к правильным замкнутым ломаным -- таким ломаным, у которых длины всех звеньев одинаковы и углы между звеньями одинаковы. Но это было сделано только для замкнутых ломаных с числом вращения, отличным от 0. Для ломаных с числом вращения 0 таких правильных ломаных не существует, и этот случай не был Ю.С. Ильяшенко рассмотрен. В настоящей работе рассмотрен именно этот случай замкнутых ломаных с числом вращения 0. Было обнаружено, что для них существуют разные устойчивые неподвижные замкнутые ломаные. Все они симметричны, но у разных из них разные группы симметрии. В работе при получении результатов использовались как теоретические соображения (существование инвариантных подмногообразий, отвечающих замкнутым ломаным с разными группами симметрии), так и результаты моделирования. Моделирование также показало некоторую необычность поведения этой динамической системы. А именно, оказалось, что процесс окруживания может происходить фантастически долго, даже если мы изначально находимся в некоторой небольшой окрестности неподвижной замкнутой ломаной; движение ломаной происходит очень медленно, и окончательная сходимость к неподвижной замкнутой ломаной происходит после миллионов тактов движения! Это говорит о том, что максимальное собственное число у соответствующего линейного преобразования -- линеаризации преобразования, отвечающего нашей динамической системе, -- очень близко к 1.

28.01.2018 В. С. Самовол. О решениях уравнения Риккати
В докладе рассматривается скалярное уравнение Риккати. Обсуждаются вопросы представления решений этого уравнения в виде рядов. Используются методы степенной геометрии.

21.01.2018 А. Глуцюк. О двумерных полиномиально интегрируемых бильярдах на поверхностях постоянной кривизны
Знаменитая гипотеза Бирхгофа относится к ограниченным выпуклым плоским бильярдам с гладкой границей. Напомним, что кривая C называется каустикой бильярда, если всякая касательная прямая к C отражается от границы бильярда в касательную к C. Бильярд называется каустично интегрируемым по Бирхгофу, если внутренняя часть окрестности его границы расслаивается на замкнутые каустики, стремящиеся к границе. Гипотеза Бирхгофа утверждает, что всякий интегрируемый бильярд является эллипсом. Интегрируемость по Бирхгофу эквивалентна интегрируемости бильярдного геодезического потока по Лиувиллю на касательном расслоении: наличию первого интеграла, независимого с квадратом модуля скорости. Гипотеза Бирхгофа и её алгебраическая версия были исследованы Г.Порицким, Э.Амираном, С.В.Болотиным, М.Бялым, А.Е.Мироновым, В.Ю.Калошиным, А.Соррентино и другими. В докладе будет дан обзор гипотезы Бирхгофа и представлено решение её алгебраической версии для полиномиально интегрируемых бильярдов: имеющих первый интеграл, полиномиально зависящий от скорости и непостоянный на поверхности единичного уровня модуля скорости. А именно, получена полная классификация полиномиально интегрируемых бильярдов с кусочно C^2-гладкой границей на поверхностях постоянной кривизны: Евклидовой плоскости, сфере и плоскости Лобачевского. Из нее следует, что всякий полиномиально интегрируемый выпуклый ограниченный плоский бильярд есть эллипс. Это – совместный результат М.Бялого, А.Е.Миронова и докладчика. Доказательство состоит из двух частей: 1) две совместные статьи Бялого и Миронова, сводящие результат к алгебро-геометрической задаче, частично исследованной ими; 2) полное решение вышеупомянутой алгебро-геометрической задачи, полученное докладчиком.

14.01.2018 Ю. С. Ильяшенко. Обзор задач семинара

Весенний семестр

18.05.2018 Д. Гайдашев. Ренормализация Эно-подобных отображений.
Отображение Эно — одно из самых простых двумерных нелинейных отображений, которое, тем не менее, стало объектом пристального изучения в динамике. К числу самых интересных вопросов об инвариантных множествах эти отображений относятся существование регулярных сопряжений на этих множествах (жёсткость) и универсальность геометрии этих множеств.
Один из подходов к этим вопросам, широко используемый в последнее время — это ренормализация. Мы представим введение в теорию ренормализации для этих отображений, как диссипативных, так и консервативных, и опишем как ренормализация может быть использована для доказательства наличия или отсутствия жесткости и для изучения геометрии этих отображений.

27.04.2018 О. Ромаскевич. Исключительные траектории бильярдов в треугольных замощениях.
Мы смотрим на очень простое периодическое замощение плоскости треугольниками одной и той же формы (замощение параллелограммами с нарисованной фиксированной диагональю). Бильярд однако определяется довольно необычным образом (траектории не обязательно ограничены !). Точка в бильярде движется по прямой линии, пока не ударится об стенку сторону треугольника. После этого она отскакивает от стенки в соседний треугольник так, что коэффициент преломления равен -1.
Оказывается, что любая траектория такого бильярда несамопересекающаяся. Более того, почти все траектории такого бильярда или периодические, или уходят на бесконечность (незамкнуты), при этом оставаясь на ограниченном расстоянии от некоторой фиксированной прямой. Однако, есть и исключительные траектории с "фрактальным" поведением.
В декабре прошлого года я уже рассказывала про эту систему и объяснила, почему большинство траекторий имеют "интегрируемое" поведение (замкнуты или линейно убегают на бесконечность). В этот раз я объясню, откуда берутся исключительные траектории с фрактальным поведением. Оказывается, что чтобы получить такую траекторию бильярдной частички, нужно обязательно метить в центр описанной окружности треугольника, в котором стартует траектория. Я сформулирую строго этот факт и дам его доказательство (по сути, комбинаторное).
Техника, которую мы используем, чтобы работать с этой системой, приходит из перекладываний отрезков -это индукция Рози. Оказывается, что такие бильярды в замощениях напрямую связаны с перекладываниями отрезков (flipped interval exchange transformations, отрезки могут менять ориентацию на противоположную).
Доклад основан на результатах работы с Паскалем Юбером (arxiv preprint). Предварительных знаний не требуется, однако, если вы знаете, что такое индукция Рози, вам будет проще.

13.04.2018 Д. Филимонов. Одномерная частичная теорема включения для седлоузловых отображений
В последнее время, в связи с бурным развитием в нашем семинаре теории глобальных бифуркаций вопрос о седлоузловых семействах стал особенно актуален они естественно получаются как отображение последования для негиперболичного предельного цикла. На семинаре мы разберем классический однопараметрический вариант теоремы вместе с ее доказательством.

6.04.2018 И. Щуров. Эффект Джозефсона и тайна загадочного паркета.
Я расскажу о применении теории быстро-медленных систем к изучению уравнения на торе, моделирующем динамику контура с джозефсоновским контактом, о котором недавно рассказывал Алексей Глуцюк. При этом доклад будет совершенно независимым. Никаких специальных предварительных знаний требоваться не будет.

30.03.2018 А. Дуков. Хорошее раздутие и топологически достаточные струи особых точек векторных полей.
Раздутием называется процесс перехода от векторного поля, заданного в окрестности изолированной особой точки, к новому полю, определённому на некой более сложной поверхности. Это позволяет уменьшить кратность особой точки (т.е. упростить её), жертвуя при этом многообразием. Определение кратности особой точки будет дано на семинаре. Результатом работ целого ряда математиков стало доказательство существования хорошего раздутия для особой точки конечной кратности. Они показали, что за конечное число шагов раздутия можно получить поле на неком многообразии лишь с элементарными особыми точками. На данный момент механизм раздутия является основным инструментом локальной теории.
В основе доклада лежит статья Клебана 1995 года "Order of topologically sufficient jet of smooth vector field on the real plane at a singular point of finite multiplicity". В этой статье Клебан не только улучшает оценку на число шагов, необходимое для достижения хорошего раздутия, но и оценивает для таких точек длину топологически достаточной струи (струя называется топологически достаточной, если из совпадения этой струи у двух полей следует орбитальная топологическая эквивалентность этих полей в некой окрестности особой точки).
Все упомянутые выше результаты приводятся лишь для бесконечно гладких полей. На последней Летней Школе Юлий Сергеевич поставил вопрос: какой должна быть гладкость векторного поля, чтобы существовало хорошее раздутие для особой точки с заданной кратностью? Полученная оценка будет приведена на семинаре.

16.03.2018 А. Глуцюк. О зонах захвата в модели эффекта Джозефсона и уравнениях Гойна.
Эффект Джозефсона в сверхпроводимости относится к паре сверхпроводников, разделенных достаточно узкой прослойкой из диэлектрика. В начале 1960-х Б.Джозефсон предсказал, что при присоединении источника питания к такому контакту сквозь диэлектрик потечет сверхпроводящий ток и вывел описывающее его дифференциальное уравнение. В специальной сильношунтированной модели все описывается двупараметрическим семейством обыкновенных дифференциальных уравнений на двумерном торе. Для физических применений интересно изучать число вращения системы на торе как функцию от параметров и геометрию зон фазового захвата: множеств уровня функции числа вращения, имеющих непустую внутренность. Известно, что каждая зона захвата есть гирлянда из бесконечного числа компонент, разделенных точками-перемычками. Есть серия гипотез о расположении границ зон захвата и их специальных точек, включая перемычки. Рассматриваемое семейство систем на торе эквивалентно семейству линейных дифференциальных уравнений второго порядка: уравнений Гойна. В докладе будет рассказано о связи вышеупомянутых гипотез с линейными уравнениями и дан обзор геометрических результатов, которые удалось получить комплексными методами с помощью исследования линейных уравнений.

9.03.2018 Х. Мамаюсупов. Rational Newton maps of entire functions.
The Newton map of an entire function f is the meromorphic function defined by $N_f=id-f/f'$. For polynomials, the Newton map is a rational function. The Newton map is also rational for entire functions of the form $p exp(q)$ where p and q are polynomials. In the talk, we state a combinatorial classification of postcritically finite Newton maps of polynomials of degree at least $3$.
In the class of Newton maps of $p exp(q)$, we introduce a notion of Postcritical Minimality, which is an analogous notion to Postcritical Finiteness. These two classes of rational maps are related to each other via holomorphic surgeries (by P. Haissinsky and by G. Cui) in a natural way. We outline the proof of this bijectivity.

2.03.2018 И. Шилин. Мелькающие сепаратрисные петли на поверхностях с ручками.
Пусть у векторного поля на ориентируемой двумерной поверхности есть диссипативное (сумма собственных значений меньше нуля) гиперболическое седло с сепаратрисной петлей. Если эта петля нестягиваема, может случиться, что не задействованная в ней неустойчивая сепаратриса того же седла проходит в монодромную полуокрестность петли и наматывается на петлю. Тогда при размыкании петли в типичном однопараметрическом семействе при сколь угодно близких к нулю значениях параметра будут возникать новые сепаратрисные петли. Оказывается, что замыкание множества значений параметра, при которых возникают петли, является канторовым множеством. Модифицируя исходное поле, можно добиться того, чтобы в интервалах дополнения к этому множеству появились точки бифуркационной диаграммы, отвечающие другим бифуркациям. Таким образом можно построить бесконечное число неэквивалентных бифуркационных диаграмм для однопараметрических семейств.
Это явление также наблюдается на неориентируемых поверхностях с ручками (т.е. рода 3 или больше). Там имеются дополнительные возможности, о которых мы тоже поговорим.

16.02.2018 Д. Зубов Предельная теорема для неустойчивых многообразий диффеоморфизмов Аносова.
Рассмотрим диффеоморфизм Аносова на компактном многообразии, выберем случайно точку на многообразии и возьмём единичный шар в растущем из неё неустойчивом слое. Спрашивается, как будет расти его объём при итерациях диффеоморфизма?
На неустойчивых слоях диффеоморфизма Аносова есть положительная мера, обладающая свойством равномерного растяжения под действием диффеоморфизма. Если диффеоморфизм обладает свойством топологического перемешивания, то такая мера единственна (мы будем называть её мерой Маргулиса), и оказывается, что асимптотически скорость роста объёма управляется этой мерой.
Зададимся таким вопросом: каково отклонение лебеговского объёма от главного члена асимптотики, задаваемого мерой Маргулиса? Для ответа на этот вопрос мы обобщим ещё одно свойство меры Маргулиса -инвариантность относительно голономии вдоль устойчивого слоения: мы построим конечномерное (под)пространство потоков де Рама, индуцирующих на неустойчивых многообразиях голономно-инвариантные обобщённые функции -конечно-аддитивные меры, которые и будут задавать следующие члены асимптотики.
Доклад основан на совместной работе с Александром Буфетовым и Себастьяном Гуэзелем.

9.02.2018 А. В. Клименко, Пространственные предельные теоремы для потоков на плоских поверхностях и для перекладываний отрезков.
Это продолжение доклада 2 февраля. Я закончу обсуждение предельной теоремы для потоков переноса на плоских поверхностях, доказанной А.И. Буфетовым, а также расскажу моё обобщение этого результата на случай перекладываний отрезков. В последнем случае не удаётся применить технику А.И. Буфетова напрямую, поскольку в отличие от потоков на плоских поверхностях, где ренормализация просто линейно масштабирует скорость потока, для перекладываний ренормализация (индукция Рози) даёт отображение первого возвращения с разным временем возвращения для разных точек. Поэтому связь эргодических средних для исходной и ренормализованной системы не столь проста, как для потоков, однако дополнительные соображения позволяют обойти эту сложность.Излагаемый материал будет использован в последующих докладах: докладе Д. Зубова и второй части моего доклада.

2.02.2018 А. В. Клименко, Пространственная предельная теорема для потоков на плоских поверхностях.
Доклад будет посвящён изложению предельной теоремы для потоков переноса на плоских поверхностях, доказанной А.И. Буфетовым.
Имея динамическую систему с инвариантной мерой m и интегрируемую функцию f(x), рассмотрим её эргодические интегралы I_t(f)(x). Если x --случайная точка с распределением m, то I_t(f) --случайная величина. Что можно сказать о сходимости по распределению этих случайных величин после подходящей нормировки? Результаты, отвечающие на этот вопрос, называют пространственными предельными теоремами (для данного класса ДС).
Для гиперболических систем ситуация достаточно проста: для них, как и для марковских цепей, есть сходимость к нормальному распределению, т. е. ЦПТ. Для параболических систем ситуация значительно сложнее. Как утверждает теорема Буфетова, для потоков переноса на плоских поверхностях распределения величин I_t(f) имеют не предел, а только предельные точки, связанные с ренормализационной динамикой потока Тейхмюллера.
Предварительных знаний не требуется. Излагаемый материал будет использован в последующих докладах: докладе Д. Зубова и второй части моего доклада.

26.01.2018 Н. Солодовников, Бифуркации на плоскости в коразмерности два.
Бифуркации векторных полей коразмерности два на двумерной сфере кажется удобным изучать перебором. Среди таких вырожденных полей значительная часть составлена из пары вырождений коразмерности один: например, две седловых связки могут составить полицикл. Поскольку типичных вырождений коразмерности 1 всего шесть, желание перебрать поля приводит к таблице составных вырождений "6 на 6" (точнее: 3*7). В некоторых клетках такой таблицы содержится много элементов; так, в разделе "две седловых связки" оказываются все полициклы с парой седел.
Полезно понять, во-первых, какие вырождения в таблицу не входят. Во-вторых, перечислить все элементы таблицы. Отметить, какие из вырождений в ней еще не разобраны.
Доклад будет попыткой такого обзора.

19.01.2018 Ю. Ильяшенко, Задачи.

12.01.2018 Ю. Л. Сачков, Геометрическая теория управления, субриманова геометрия и их приложения.
Управляемая система на гладком многообразии M есть семейство векторных полей f_u на M, параметризованное управляющим параметром u. Зафикcируем начальное состояние q_0 \in M. Если для любой конечной точки q_1 существует такое управление u(t), что соответствующая траектория управляемой системы соединяет q_0 и q_1, то система называется вполне управляемой из точки q_0. Геометрическая теория управления доставляет эффективные методы решения задачи управляемости в терминах алгебры Ли, порожденной векторными полями f_u.

Предположим, что система вполне управлема. Тогда естественно возникает задача оптимального управления, т.е. задача выбора оптимальной траектории q(t), соединяющей точки q_0 и q_1, в смысле некоторого функционала J. Геометрическая теория управления дает методы решения такой задачи.

Субриманова структура на гладком многообразии M есть векторное распределение на M вместе со скалярным произведением в этом распределении. В последние десятилетия в рамках геометрической теории управления получен ряд важных результатов для исследования основных объектов, связанных с субримановыми структурами:
геодезические и кратчайшие,
сферы и волновые фронты,
расстояние Карно-Каратеодори.
Субримановы структуры находят приложения в механике (качение твердых тел, конфигурации упругих стержней), робототехнике (мобильные роботы с прицепами), и обработке изображений (антропоморфное восстановление изображений).

Семинар НУГ в 2017 году

Весенний семестр

В весеннем семестре 2016-17 учебного года семинар проходил по пятницам, в главном здании МГУ.

17.02.2017 Ю. Ильяшенко, Задачи.

03.03.2017 Сергей Трифонов. Цикличность нерезонанных треугольников из зоопарка Котовой.
Цикличность треугольников из зоопарка Котовой, состоящих из нерезонансных сёдел, не превосходит 1, 2 или 3. Эти результаты технически являются самыми сложными из всех оценок цикличности полициклов из зоопарка. Для их получения потребовалась не только стандартная техника "деление/дифференцирование", но и применение аппарата диаграмм Ньютона. Я расскажу, как это делается, а также постараюсь объяснить принцип работы формализма "типа бесконечно малых", в терминах которого удобно получать оценки цикличности, а также решать другие задачи анализа бифуркационных диаграмм элементарных полициклов. Это по-видимому может оказаться полезным в контексте глобальных бифуркаций.

10.03.2017 Ю. Ильяшенко, Н. А. Солодовников. Классификация глобальных бифуркаций на сфере в типичных однопараметрических семействах с петлей сепаратрисы или параболическим циклом
В докладе представлена полная классификация «диких» глобальных бифуркаций в однопараметрических семействах на двумерной сфере, при которых возникают мелькающие сепаратрисные связки. Оказывается, она существенно различается для случая параболического цикла и петли сепаратрисы.

17.03.2017 Ю. С. Ильяшенко, Д. А. Филимонов. Теорема о большом носителе: начало.
Это первый из серии докладов о больших носителях бифуркаций. Большой носитель — это множество в фазовом пространстве, отвечающее на вопрос «кто бифурцирует». Если две системы орбитально топологически эквивалентны при бифуркационном значении параметра и их возмущения, ограниченные на окрестность большого носителя, умеренно эквивалентны, то соответствующие семейства разумно эквивалентны. Это утверждение можно рассматривать как определение большого носителя. Теоремой тогда будет утверждение о том, что некоторое множество, образованное элементами фазового портрета (сепаратрисными связками, вырожденными циклами и др.) будет являться большим носителем. Эта теорема (совместная Ю. С. Ильяшенко и Н. Гончарук) и представлена в докладе. Понятие большого носителя позволяет ограничить задачу исследования бифуркации на некоторое подмножество в фазовом пространстве и является ключевым для теории глобальных бифуркаций.

7.04.2017 Д. Филимонов. Теорема о большом носителе: продолжение.

14.04.2017 Д. Филимонов. Теорема о большом носителе: окончание.

21.04.2017 Мини-конференция: доклады младших участников семинара. Из участников НУГ выступили В. Старичкова и Б. Шлейфман.

19.05.2017 Б. Шлейфман. Параболические ростки и комплексная теорема Ньюхауса — Палиса — Такенса.
В докладе представлены последние результаты по комплексному аналогу теоремы Ньюхауса—Палиса—Такенса.

Осенний семестр

Осенью семинар «Динамические системы» переместился на математический факультет НИУ ВШЭ и объединился с семиром НУГ.

15.09.2017 Ю. С. Ильяшенко. Задачи семинара.

29.09.2017 А. В. Клименко. Эргодические теоремы для групповых действий — 1
В докладе рассказано об обобщении классических эргодических теорем Биркгофа и фон Неймана для одного отображения на случай действия групп. Естественно, свойства группы здесь будут играть ключевую роль; в докладе речь идёт о на действиях так называемых марковских групп (в частности, таковы гиперболические в смысле Громова группы, наиболее простой из которых является свободная группа). Поскольку для таких групп «сфера» составляет ненулевую долю «шара», разумный способ построения последовательности эргодических средних состоит здесь в усреднении по Чезаро последовательности средних по сферам. Рассказаны основные результаты в этой области и главные инструменты — марковские операторы и ассоциированные с ними пространства траекторий — применяемые для их доказательства.

16.10.2017 Я. Наприенко. О расположении нулей целых функций.
Целые функции конечного порядка роста в каком-то смысле самые «хорошие» функции после многочленов, поэтому естественно ожидать от них похожего поведения. В докладе представлены классические результаты в теории целых функций о разложении функции на множители по её нулям и связи коэффициентов разложения Тейлора с симметрическими выражениями от нулей. Также будет обсуждается о количестве нулей целой функции, их расположении для функций с вещественными коэффициентами, а также вопрос факторизации – представление целой функции в виде произведения по её нулям.

13.10.2017 А.В. Клименко. Эргодические теоремы для групповых действий — 2.
Как и в первой части, мы рассматриваем сохраняющее вероятностную меру действие группы на вероятностном пространстве. В этот раз речь пойдёт о сходимости самих сферических средних, а не их усреднений по Чезаро. Для свободной группы с равномерной мерой на образующих этот результат был получен Нево и Штейном, а для более широкого класса групп и весов на образующих — Буфетовым. Подход последней работы основан на обобщении метода alternierende Verfahren Роты. Он требует, в переводе на язык марковской цепи, порождающей группу, существование инволюции на множестве состояний, переводящей марковскую цепь в ту же цепь, но с инвертированным временем. Отметим, что это условие типа равенства. Недавно удалось получить сходимость в L^1 для случая, когда марковская цепь удовлетворяет лишь условиями типа неравенства (Боуэн, Буфетов, Ромаскевич, 2015). Однако вопросы поточечной сходимости и идентификации предела для таких общих действий по-прежнему открыты.

20.10.2017 В.А. Побережный. Обратные задачи монодромии: проблема Римана—Гильберта.
Речь идёт о системах комплексных линейных дифференциальных уравнений первого порядка. В окрестности неособой точки все такие системы (фиксированной размерности) и пространства их решений "устроены одинаково" — соответствующие поля выпрямляются. В окрестности же особых точек их устройство может быть существенно различным. Два важнейших в этом отношении аспекта локального поведения это асимптотические свойства решений и монодромия, то есть, ветвление при аналитическом продолжении вокруг особой точки. Несложно показать, что для фуксовых систем, то есть, систем, коэффициенты которых имеют во всех особых точках полюса не выше первого порядка все возможные асимптотики полиномиальны. Классическая проблема Римана-Гильберта состоит в построении или хотя бы, в выяснении вопроса о существовании на сфере Римана фуксовой системы комплексных линейных дифференциальных уравнений с заданными особыми точками и представлением монодромии. Отрицательное в общем случае решение проблемы было получено А.А.Болибрухом использовавшим геометрический подход — технику, рассматривающую системы линейных дифференциальных уравнений в терминах связностей и расслоений. Рассматриваемый сюжет оказался имеющим интересные обобщения, приложения, и неожиданные связи с различными вопросами современной математики и теоретической физики. В докладе рассказно об основных конструкциях, результатах и обобщениях связанных с классической проблемой Римана-Гильберта.

3.11.2017 Loic Teyssier. Аналитическая классификация и нормальные формы комплексных седлоузловых бифуркаций.
Доклад посвящен седлоузловым бифуркациям в семействах коразмерности k голоморфных векторных полей на плоскости, в которых имеется сохраняющееся инвариантное центральное многообразие. Эта ситуация в основном соответствует слиянию (k+1)-й неподвижной точки в одну кратную точку.

10.11.2017 С. Минков. Гомоклинические классы.
Динамические системы мало что могут сказать по вопросу разграничения добра и зла, но зато могут многое сказать о разделении хаоса и порядка. Одним из инструментов исследования являются гомоклинические классы — множества точек, которые являются замыканиями классов эквивалентности сёдел диффеоморфизма. Существует несколько определений «классов хаотических точек», и все они в типичном случае совпадают с гомоклиническими классами. Это явление не только техническое, но и мировоззренческое, показывающее, что для типичного диффеоморфизма некоторые точки обладают законопослушным, регулярным и хорошо понятным поведением, в то время как другие точки ведут себя «в высшей степени» хаотически. В типичном случае нет никакого промежуточного, нейтрального поведения. Гомоклинические классы позволяют разделить пространство диффеоморфизмов на хорошую и плохую область. В "доброй" области "ручных" диффеоморфизмов, у которых конечное число классов, динамика довольно хорошо описана. В "злой" области для "диких" диффеоморфизмов, напротив, обнаружены области, где творятся чудеса и леший бродит. В докладе будут обсуждаться метрические свойства систем. Гомоклинические классы играют важную роль предохранителя от излишнего оптимизма, особенно для исследователя типичных свойств. Это, так сказать, дракон при входе в подземелье, преодолеть которого придётся, кажется, в любом случае разве что кто-то обнаружит обходные пути.

15.11.2017 А.В. Дуков Сепаратрисы голоморфных слоений.
В 1982 году математиками Камачо и Садом был доказан следующий результат: любая изолированная особая точка голоморфного векторного поля на плоскости имеет комплексную сепаратрису. В докладе предсотавлено доказательство этой теоремы, а точнее, его модификация, полученная Кано в 1997 году.

24.11.2017 Ю. С. Ильяшенко, Н. А. Солодовников, И. С. Шилин. О некоторых новых сюжетах в глобальных бифуркациях. В докладе рассказано о некоторых бифуркациях коразмерности 2 на плоскости (яблоко, лунка, петля седлоузла, параболический цикл + седлоузел и т.д.), а также про мелькающие сепаратрисные петли для одного седла на поверхностях положительного рода (а также бутылках Клейна и проективных плоскостях с положительным числом ручек).

1.12.2017 Ю. С. Ильяшенко. Неразрешимость проблемы Римана—Гильберта (по Болибруху).
В докладе представлено аналитическое доказательство неразрешимости проблемы Римана—Гильберта.

8.12.2017 В. А. Побережный. Проблема Римана — Гильберта и её обобщения.
Доклад продолжает серию докладов по проблеме Римана — Гильберт. Он посвящен обобщениям этой проблемы.

15.12.2017 О. Л. Ромаскевич. Бильярды в замощениях, перекладывания отрезков и фракталы.
В докладе речь идёт о специальном виде бильярдов, в которых отраженеи происходит по привычному закону «угол падения равен углу отражения», но «сквозь» стенку.

Семинар НУГ в 2016 году

В дополнение к «большому» пятничному семинару, весной 2016 года в рамках НУГ был организован «малый» семинар, проходивший по средам с 17:00 на математическом факультете НИУ ВШЭ, примерно раз в три недели. На нём обсуждался текущий прогресс в решении задач, стоящих перед участниками НУГ. Речь идёт в первую очередь о тематике, связанной с глобальными бифуркациями. В осеннем семестре  2016 года семинар НУГ проходил объединенно с «большим» пятничным семинаром.

Заседания семинара НУГ

25.11.2016 Илья Щуров. Континуум бифуркационных диаграмм в квазитипичных семействах коразмерности два. Мы построим континуум квазитипичных (с одним дополнительным вырождением) семейств коразмерности два с попарно тополоически неэквивалентными бифуркационными диаграммами.

18.11.2016 Илья Щуров. Счётное число бифуркационных диаграмм в коразмерности два. Мы построим счётное число типичных двупараметрических семейств с топологически неэквивалентными бифуркационными диаграммами.

29.10.2016 Борис Шлейфман. Параболические ростки. Известно, что любые два типичных параболических ростка топологически эквивалентны. Основной вопрос, которому посвящен доклад: пусть есть две аналитические однопараметрические деформации параболических ростков, сильно топологически эквивалентные друг другу. Что в таком случае можно сказать про сопряжение при критическом значении параметра, т.е. про сопряжение самих параболических ростков? В этом случае оказывается, что сопряжение должно быть аналитическим вне одной точки и почти полностью определяется генераторами двух параболических ростков. Это теорема Ньюхауса — Палиса — Такенса в случае вещественных ростков и новый результат для комплексных.

7.10.2016. Никита Солодовников. Дикие бифуркации в типичных однопараметрических семействах на двумерной сфере На предыдущем докладе обсуждался следующий результат: пусть два поля орбитально топологически эквивалентны. Тогда типичные семейства, которые проходят через данные поля, слабо топологически эквивалентны. Оказывается, это неверно уже в типичных однопараметрических семействах на сфере. Надо только от «ручных» бифуркаций перейти к «диким», то есть к мелькающим сепаратрисным связкам с неограниченной длиной усеченной (при построении графа Майеры) сепаратрисы. В докладе будет объяснено, почему класс орбитально-топологической эквивалентности (бифурцирующего) векторного поля не классифицирует типичные однопараметрические семейства, проходящие через него. Простейший пример: параболический цикл, на который изнутри и снаружи наматываются по две сепаратрисы седел. Для доказательства используются графы Майера и теорема Ильяшенко-Яковенко о вложении отображения Пуанкаре для параболического цикла в поток.

30.09.2016. Валерия Старичкова. Ручные бифуркации в типичных однопараметрических семействах на двумерной сфере Свести задачу о классификации типичных семейств к классификации векторных полей можно, если доказать следующий факт: Пусть поля v и w орбитально топологически эквивалентны. Тогда типичные семейства, проходящие через данные поля, слабо топологически эквивалентны. Оказывается, что в случае, когда v, w квазитипичные векторные поля с вырождением типа седлоузел, гомоклиническая орбита седлоузла, Андронов — Хопф или седловая связка, этот факт верен. На докладе мы разберем его доказательство, используя конструкцию графов Майора.

16.09.2016 и 23.09.2016. Алексей Окунев. Сингулярность стационарной меры для действий фуксовых групп на окружности. Фуксова группа это группа симметрий замощения плоскости Лобачевского равными «многоугольниками». Этот многоугольник называется фундаментальной областью, он может быть компактным (не пересекать абсолют) или некомпактным. Каждый элемент фуксовой группы действует на плоскости Лобаческого, и потому на абсолюте. В модели плоскости Лобачевского в диске абсолют — окружность. Поэтому фуксова группа действует на окружности. В докладе разобран результат Vaibhav Gadre, Joseph Maher, Giulio Tiozzo: если фундаментальная область некомпактна, но имеет конечный объем, то стационарная мера для действия этой группы на окружности сингулярна относительно меры Лебега.

15.06.2016. Наталия Гончарук и Юлий Сергеевич Ильяшенко. Большие носители бифуркаций. Если в семействе v_ε векторных полей на сфере происходит бифуркация, естественно спросить, на каком подмножестве сферы она происходит. Это совсем неформальное определение носителя бифуркации. Формальное определение предложил В. Арнольд, но его носитель бифуркации «не видит», например, места возникновения мелькающих сепаратрисных связок. Нашей целью было дать такое определение большого носителя бифуркации, чтобы был верен такой результат: Теорема. Если два семейства v_ε, w_ε векторных полей на сфере эквивалентны в окрестности больших носителей, и v_0, w_0 орбитально топологически эквивалентны на всей сфере, то семейства слабо эквивалентны. В докладе представлено подходящее определение большого носителя, правильное определение слов «эквивалентно в окрестности больших носителей» (разумная эквивалентность) и основные идеи доказательства теоремы.

18.05.2016. Борис Шлейфман. Сага о параболических ростках. В докладе обсуждается комплексный аналог теоремы Ильяшенко—Яковенко о вложении семейства параболических ростков в поток и её связь с комплексным аналогом теоремы Ньюхауса — Палиса — Такенса.

29.04.2016. Валерия Старичкова. О бифуркациях в типичных однопараметрических семействах и статье Сотомайора. (В рамках мини-конференции «большого» семинара.)

27.04.2016. Дмитрий Зубов. Конечно-аддитивные меры на инвариантных слоениях диффеоморфизмов Аносова. В докладе обсуждается, как с помощью конструкции конечно-аддитивных мер можно получить улучшенную асимптотику для распределения итерированных неустойчивых дисков для диффеоморфизма Аносова.

6.04.2016. Никита Солодовников. Мелькающие сепаратрисные связки: параболический цикл. В докладе предложена классификация типичных однопараметрических семейств векторных полей, в которых происходит бифуркация параболического цикла с мелькающими сепаратрисными связками (обобщенение бифуркации Мальта — Палиса). Оказывается, в этом случае неверно, что если векторные поля двух семейств совпадают при нулевых значениях параметра, то семейства (слабо топологически) эквивалентны при достаточно малых значениях параметра в окрестности носителя бифуркации.

16.03.2016. Юлий Сергеевич Ильяшенко и Юрий Георгиевич Кудряшов. Континуум бифуркационных диаграмм.
Рассмотрим семейство векторных полей на сфере. Отметим в пространстве параметров множество значений, соответствующих структурно неустойчивым векторным полям. Это множество называется бифуркационной диаграммой семейства. В докладе предложена конструкция, позволяющая построить континуум различных ростков бифуркационных диаграмм.

26.02.2016. Юлий Сергеевич Ильяшенко. Задачи. (Совместно с «большим» семинаром.)

24.02.2016. Никита Солодовников. Мелькающие сепаратрисные связки: петля сепаратрис. Рассмотрим типичные однопараметрические семейства векторных полей на плоскости. Если на петлю сепаратрисы седла наматывается сепаратриса другого седла, то при разрушении петли возникают «мелькающие» связки сепаратрис. Утверждается, что бифуркация «мелькающие связки при разрушении петли» не может быть слишком сложной. А именно, если векторные поля двух семейств совпадают при нулевых значениях параметра, то семейства (слабо топологически) эквивалентны при достаточно малых значениях параметра в окрестности носителя бифуркации.