18:10 Семинар Международной лаборатории кластерной геометрии: Георгий Игоревич Шарыгин (МГУ)

Полная симметрическая система Тоды --- это наивное обобщение классической открытой цепочки Тоды. Её проще всего определить как систему Лаксова вида:
 $$ \dot L=[M(L),L], $$
где переменная матрица $L$ это вещественная симметрическая матрица размера $n\times n$, а $M(L)=L_+-L_-$ --- её "наивная" антисимметризация (матрица, составленная из верхнетреугольной части $L_+$ матрицы $L$ с прежним знаком и её нижнетреугольной части $L_-$ с обращённым знаком). У этой системы масса замечательных свойств: она является гамильтоновой системой, интегрируемой по Лиувиллю, также она некоммутативно интегрируема (в смысле Нехорошева), её особые точки и траектории упорядочены в соответствии с порядком Брюа на группе перестановок. Аналогичные свойства имеются и у её обобщений на другие полупростые группы Ли. В своем рассказе я дам набросок доказательств некоторых из этих утверждений и расскажу о том, как можно строить симметрии такой системы. Из приведённой конструкции симметрий, в частности, будет следовать, что система Тоды интегрируема в смысле теоремы Ли-Бьянки (то есть имеет разрешимую алгебру симметрий максимальной размерности). Доклад основан на серии совместных работ с Ю.Черняковым, Д.Талалевым и А.Сориным