Направления исследований

Основными интересами научной группы являются комбинаторные структуры, связанные с инвариантами конечного порядка узлов. Начиная с работы Виктора Анатольевича Васильева (1990), известно, что инварианты конечного порядка связаны с хордовыми диаграммами, рассматриваемыми по модулю так называемых четырехчленных соотношений (4-соотношений). Соответствующее фактор-пространство наделено естественной структурой градуированной алгебры Хопфа,  введенной М. Концевичем. Функции на хордовых диаграммах, удовлетворяющие 4-соотношению, известны как весовые системы. Концевич и Бар Натан описали конструкцию весовых систем по алгебрам Ли, которая объединяет все классические полиномиальные инварианты узлов.

Работа С.К. Ландо (2000) связывает инварианты графов с весовыми системами и поднимает большое число вопросов об этой связи. В частности, в статье Кулаковой, Ландо, Мухутдиновой и Рыбникова в 2014 году было показано, что, по крайней мере, часть весовой системы, построенной по алгебре Ли sl2, - простейшей нетривиальной алгебре Ли, может быть продолжена до инварианта графов, удовлетворяющего 4-соотношению для графов. 

Цель исследовательского проекта - продолжить изучение этой связи и проанализировать возможность продолжения на графы всей весовой системы sl2. Известно, что инвариант продолжается на графы с не более чем 6 вершинами, планируются компьютерные эксперименты по продолжению весовой системы на графы с 7 и 8 вершинами.

Так же планируется изучение потенциального соотношения между весовыми системами и инвариантами дельта-матроидов, которые ассоциируются с вложенными в поверхность графами аналогично тому, как матроиды ассоциируются с обычными графами. Дельта-матроиды и связанные с ними инварианты подробно изучаются многими научными группами по всему миру. Известна связь инвариантов дельта-матроидов типа Татта с инвариантами узлов. Рассмотрение дельта-матроидов в контексте изучения весовых систем может помочь как в изучении инвариантов Васильева зацеплений, так и при анализе инвариантов, удовлетворяющих 4-соотношению, для оснащенных графов и графов, вложенных в неориентируемые поверхности.