Семинар «Комбинаторика инвариантов Васильева»

Архив семинара

 



24 мая 2018  
E.Krasilnikov
«Hopf algebras of combinatorial objects and integrable hierarchies»
In a 2018 paper by S.Chmutov, M.Kazarian, and S.Lando, a solution to the Kadomtsev-Petviashvili integrable hierarchy of partial differential equations has been constructed from the Hopf algebra of graphs. A natural question arises: whether this construction has an analogue for similar Hopf algebras of combinatorial objects. I will give evidence that the answer is negative for the Hopf algebras of weighted graphs, chord diagrams, $3$-regular hypergraphs, and binary delta-matroids. However, sample computations show that a similar statement is valid for the Hopf algebra of framed graphs.

17 мая 2018  
M.Zhozhikashvili
«Инцидентностная алгера Хопфа графов»
Алгебра графов – это коммутативная градуированная связная инцидентностная алгебра Хопфа, базисные элементы которой соответствуют конечным простым графам, а произведения и копроизведения Хопфа допускают простые комбинаторные описания.
Я опишу новую формулу для антипода в алгебре графов в терминах ациклических ориентаций. Она содержит меньше членов, чем более общая формула Шмитта для антипода в алгебре Хопфа.

10 мая 2018  
M.Popov
«Поверхности состояния зацеплений»
Работа основана на статье Евстратии Калфаджианни. Я дам основные определения в начале доклада, опишу алгоритм Зейферта построения поверхности состояния. Далее мы проанализируем некоторые топологические свойства этой поверхности. В конце доклада мы обсудим связь поверхности состояния и многочленов Джонса.

26 апреля 2018  
M.Dudina (SkolTech)
«An Extension of Stanley’s Chromatic symmetric function to binary delta-matroids»
We provide an analogue of  Stanley’s chromatic symmetric function for the Hopf algebra of binary delta-matroids. The function appears to satisfy the recently-introduced four-term relation in this Hopf algebra. This a report on a joint work with Slava Zhukov in progress.

12 апреля 2018 
V.Tsepelev
«On applicability of topological recursion to symmetric chromatic polynomial of graphs»
It was proved recently (arXiv:1803.09800v1) that the generating function for the symmetric chromatic polynomial of all connected graphs satisfies the Kadomtsev-Petviashvili integrable hierarchy. Taking into account already known connection between tau-function of the Korteweg-de Vries integrable hierarchy and topological recursion on the Airy curve and other known relations between spectral curve topological recursion and integrable systems, we will consider a natural question, `does the sequence of coefficients of the symmetric chromatic polynomial satisfy the topological recursion?’. We will derive a system of equations which determines a necessary condition on whether a sequence of numbers satisfies topological recursion. Some knowledge of spectral curve topological recursion theory and integrable hierarchies of mathematical physics will be useful as prerequisities, but all necessary definitions and examples will also be given along the way.

5 апреля 2018
Problem's session
Certain problems for seminar's participants will be discussed.

22 марта 2018
S.Lando
«Hopf algebras and combinatorial objects»
The Hopf algebra of graphs produces a τ-function to the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy of partial differential equations, which is a linear combination of one-part Schur polynomials. Generating functions for polynomial graph invariants arising from similar Hopf algebras of combinatorial nature, however, do not demonstrate visible integrability properties. One can try to replace one-part Schur functions for them with a different sequence of quasihomogeneous polynomials. We are going to discuss whether it is possible to construct such a sequence and generalize it to a basis in the space of quasihomogeneous polynomials enumerated by partitions.

1 марта 2018
Iain Moffatt (Royal Holloway, University of London)
«Ribbon graphs and the graphs of knots»
There is a well-known way to describe a knot diagram as a signed graph in the plane, that is called its Tait graph. This concept was recently extended by Dasbach et al. to give a way to  associate a set of graphs drawn on surfaces to each knot diagram. While every plane graph arises as a Tait graph of a unique link diagram, not every embedded graph represents a link diagram. Furthermore, although a Tait graph describes a unique link diagram, the same embedded graph can represent many different link diagrams.  
One is then led to ask which embedded graphs represent link diagrams, and how link diagrams presented by the same embedded graphs are related to one another. 
In this talk I'll offer an answer to these questions. I'll start with an overview of how graphs in surfaces can be described as ribbon graphs, how they describe knots and links, and how the knot theory has influenced the topological graph theory. I'll go on to give characterisations of the class of ribbon graphs that arise from knot and link diagrams, and answer our questions above.


22 февраля 2018
Marina Dudina (Skoltech)
«Combinatorial Hopf Algebras Of Simplicial Complexes» (after Caroli Benedetti, Joshua Hallam, John Machacek)
Авторы определяют алгебру Хопфа симплициальных комплексов. Затем они определяют семейство характеров на этой алгебре, таким образом вводится семейство соответствующих комбинаторных алгебр Хопфа. Характерам таких комбинаторных алгебр Хопфа сопоставляются симметрические функции, кодирующие информацию о раскрасках и f-векторах симплициальных комплексов.


15 февраля 2018
 Софья Алешина
«Полиномиальный вариант задачи сумм-произведений»
Пусть А - конечное непустое множество элементов кольца. Рассмотрим множество  A+A (попарные суммы) и  A*A (попарные произведения)  элементов из A.  Очевидно, мощность таких множеств как минимум |A|. Гипотеза Erdős–Szemerédi  говорит, что max(|A+A|,|A*A|) ≫ C|A|^(2-ɛ), где ɛ и C - положительные константы. Что означает, что либо  A+A, либо A*A довольно большое. Я расскажу о теореме Erdős–Szemerédi  и других результатах в Fp, связанных с ней. Обобщением задачи сумм-произведений является задача оценки мощности множества значений однородного многочлена от двух переменных из Fp*. В конце я расскажу о приложениях, связанных с задачей сумм-произведений.  

8 февраля 2018
 Polina Filippova
«Chromatic Quasisymmetric Functions» (after J.Shareshian and M.L.Wachs, arxiv.org/pdf/1405.4629.pdf)

The chromatic quasisymmetric function XG(x,t) is a quasisymmetric refinement of Stanley’s chromatic symmetric function XG(x) which was discussed earlier at the seminar. This refinement was introduced in order to study the conjecture of Stanley and Stembridge: Let G be the incomparability graph of a (3 + 1)-free poset. Then XG(x) is e-positive. In the talk, some necessary definitions and facts from the theory of symmetric and quasisymmetric functions will be given. Then we will describe a general class of graphs for which XG(x,t) is symmetric, not only quasisymmetric. (The problem of describing all graphs for which XG(x,t) is symmetric, is still open). After that, we will discuss – without proofs, but with examples – some other properties of XG(x,t).

1 февраля 2018
Roman Nesterov
«The algebra of 3-graphs»
I will tell about the space of 3-graphs, describe edge multiplication and prove that it`s welldefined.Then I will prove some main lemmas (about insertions). After all, I will tell about connection between Four Colour Theorem and 3-graphs, show some ideas and lemmas.

25 января 2018
Evgenii Krasilnikov
«Поиск решений иерархии Кадомцева-Петвиашвили»  (продолжение) Иерархия КП – бесконечная система уравнений в частных производных на функции от бесконечного набора переменных. Нас будут интересовать некоторые её решения – функции, удовлетворяющие всем уравнениям иерархии. Кроме того, мы обозначим возможность для поиска таких решений. В оставшееся время мы постараемся кратко описать пространство решений иерархии КП, то есть механизм, позволяющий генерировать все решения иерархии КП.

18 января 2018
Evgenii Krasilnikov
«Поиск решений иерархии Кадомцева-Петвиашвили»
Иерархия КП – бесконечная система уравнений в частных производных на функции от бесконечного набора переменных. Нас будут интересовать некоторые её решения – функции, удовлетворяющие всем уравнениям иерархии. Кроме того, мы обозначим возможность для поиска таких решений. В оставшееся время мы постараемся кратко описать пространство решений иерархии КП, то есть механизм, позволяющий генерировать все решения иерархии КП.