Архив семинара за 2017 год

14 декабря 2017
Alexandra Zhukova (HSE)
«A symmetric function generalization of the chromatic polynomial of a graph»
Richard Stanley introduced symmetrized Tutte polynomial of a graph in 1995. This polynomial is one of possible generalization of chromatic polynomial of a graph. In this talk I'll give original definition following Stanley and will prove some properties of this invariant.

7 декабря 2017
Dmitry Chebasov (HSE)
«Categorification of the symmetrized chromatic polynomial »
Symmetrized chromatic polynomial is a generalization of the ordinary chromatic polynomial on graphs. We shall construct its categorification using Khovanov's methods. The result of the categorification is a chain complex of graded modules with graded Euler characteristic equal to the symmetrized chromatic polynomial. We'll also prove some homological properties of this complex that correspond to known facts about the polynomial.

30 ноября 2017
Vladimir Tsepelev (HSE)
«Matroids and their Polynomial Invariants»
Matroid is an important combinatorial structure that generalizes the notion of linear independence in vector spaces. We will take a closer look at matroids that arise from graph theory and discuss their polynomial invariants such as characteristic and Tutte polynomials. No prerequisities are required, all necessary definitions and examples will be given along the way.


23 ноября 2017
M. Khovanov (Columbia University)
«Функториальные инварианты связок (Functorial invariants of tangles)»
В докладе будет объяснено как расширить категорификацию полинома Джоунса до гомологического инварианта связок (узлов с границей). Инвариантом связки становится комплекс модулей или бимодулей над определёнными алгебрами, в гомотопической категории, а инвариантом кобордизма связок - гомоморфизм комплексов. В результате получается 2-функтор из 2-категории кобордизмов связок в 2-категорию комплексов бимодулей.
We'll explain how to extend categorification of the Jones polynomial to a homological invariant of tangles (links with boundary). Invariant of tangle is a complex of modules or bimodules over certain algebras, in the homotopy category. To a tangle cobordism this construction associates a homomorphism of complexes. The result is a 2-functor from the 2-category of tangle cobordisms to the algebraic 2-category of  bimodule complexes.

16 ноября 2017
Elizaveta Shuvaeva (HSE)
«Polynomials of ribbon graphs» (continuation)
А ribbon graph is a compact surface with boundary, decomposed into closed discs of two types: vertices and edges. We will introduce several polynomials of ribbon graphs and show some connections between them. The talk is based on the 2017 paper by S. Chmutov.

9 ноября 2017
Elizaveta Shuvaeva (HSE)
«Polynomials of ribbon graphs»
А ribbon graph is a compact surface with boundary, decomposed into closed discs of two types: vertices and edges. We will introduce several polynomials of ribbon graphs and show some connections between them. The talk is based on the 2017 paper by S. Chmutov.

2 ноября 2017
Niek Lamoree (University of Amsterdam and HSE)
«A categorification for the chromatic polynomial»
Motivated by Khovanov’s categorification of the Jones polynomial of knots in 2000, we construct graded cohomology groups for graphs, whose Euler characteristic is the chromatic polynomial of the graph. There is a long exact sequence for this cohomology whose Euler characteristic is the deletion-contraction rule. We will discuss this theory in the light of the example of the 3-cyclic graph. This talk is based on the 2005 paper by L. Helme-Guizon and Y. Rong.

19 октября 2017
А. Дунайкин
«Legendrian knots» (продолжение)
A Legendrian knot is a smooth knot that is tangent to the special distribution of planes in the ambient 3-manifold. We will study the case of 3-space R3 and will introduce basic invariants of Legendrian knots.

12 октября 2017
А. Дунайкин
«Legendrian knots»
A Legendrian knot is a smooth knot that is tangent to the special distribution of planes in the ambient 3-manifold. We will study the case of 3-space R3 and will introduce basic invariants of Legendrian knots.

5 октября 2017
М. Э. Казарян
«Иерархия КП и ее решения»
Теория уравнений интегрируемой иерархии КП (Кадомцева-Петвиашвили) - большой и развитый раздел математики, имеющий долгую и богатую историю. В докладе мы представим сознательно сокращенную и урезанную версию этой теории, достаточную для понимания того, откуда она берется и как строить ее решения, в частности те, которые имеют комбинаторную природу.

21 сентября 2017
С. К. Ландо
Задачи для участников семинара
На заседании будут предложены задачи и статьи для изучения и рассказа на семинаре.

7 сентября 2017
С.К. Ландо 
«Хроматический многочлен и интегрируемые системы»
В этом году планируется приблизить тематику семинара к тематике второго семинара с теми же руководителями. С этой целью будет рассказан свежий результат, объясняющий, как строить решения интегрируемой иерархии с помощью хроматического многочлена и других инвариантов графов (в том числе, задающих инварианты Васильева узлов). Как обычно, на первом заседании в семестре будут предложены задачи и статьи для изучения и рассказа на семинаре. 18 мая 2017
A. Kalmykov
«Topological Quantum Field Theories out of triangulations»
In this talk we present one of the possible approaches to topolofical quantum field theories using triangulations and certain combinatorial data associated to them and show how it works in dimension 2 and 3.

11 мая 2017
М. Темкин
«Mutant knots and intersection graphs»  (продолжение) We're going to finish proving that universal weight system associated to sl(2) depends only on the intersection graph of a chord diagram. All necessary statements will be recalled, so nothing is expected from the audience except for the awareness of the definitions of the notions mentioned in the previous sentence.

27 апреля 2017
П. Ковалев
«Mutant knots and intersection graphs»
We prove that if a finite order knot invariant does not distinguish mutant knots, then the corresponding weight system depends on the intersection graph of a chord diagram rather than on the diagram itself.

20 апреля 2017
A. Arkhipova
«Real Algebraic Knots of Low Degree»
We will discuss rational real algebraic knots in RP^3. We will see that two real algebraic knots of degree <=5 are rigidly isotopic if and only if their degrees and encomplexed writhes are equal. Also we will understand, why any smooth irreducible knot which admits a plane projection with less than or equal to four crossings has a rational parametrization of degree <=6. The talk has no prerequisites; I will recall all the necessary notions and facts.

13 апреля 2017
V. Zhukov
«Transition Polynomial for Delta Matroids»
I will continue to consider specialization of transition polynomials from last seminar (Alexander Dunaykin talked about), will introduce the algebra of (binary) delta-matroids, and will describe how to extend this invariant for algebra of delta-matroids (up to four term relations), and as well for algebra of intersection graphs (up to four term relations).

6 апреля 2017
А. Дунайкин
«Transition polynomial as a weight system»
В моём докладе речь будет идти о весовой системе, которая получается из серединного графа хордовой диаграммы подходящим выбором весов для переходов. Все необходимые определения будут даны в ходе доклада, предварительных специальных знаний не требуется.

23 марта 2017
Ash Lightfoot
«Vassiliev invariants and four-dimensional link homotopy» (продолжение)
The theory of Vassiliev invariants has found many applications beyond the classical case of links in the 3-sphere. In this talk I will discuss two particular generalizations of Vassiliev invariants. The first  is due to Kamada, who considered surfaces immersed in 4-space; here, the analogue of a crossing change of a knot is a "Casson finger move" of a surface.The second was introduced by Kirk and Livingston, who considered Vassiliev invariants of two-component links for which the two components must stay disjoint.  It turns out that four-dimensional link homotopy gives rise to a common intersection between both types of invariants. I will elaborate on this relationship and discuss pertinent problems in this setting.

9 марта 2017
Ash Lightfoot
«Vassiliev invariants and four-dimensional link homotopy»
The theory of Vassiliev invariants has found many applications beyond the classical case of links in the 3-sphere. In this talk I will discuss two particular generalizations of Vassiliev invariants. The first  is due to Kamada, who considered surfaces immersed in 4-space; here, the analogue of a crossing change of a knot is a "Casson finger move" of a surface.The second was introduced by Kirk and Livingston, who considered Vassiliev invariants of two-component links for which the two components must stay disjoint.  It turns out that four-dimensional link homotopy gives rise to a common intersection between both types of invariants. I will elaborate on this relationship and discuss pertinent problems in this setting.

2 марта 2017
К. Ступаков
«Дуговые диаграммы и универсальная весовая система алгебр Ли»
В докладе будет дано определение биалгебры дуговых диаграмм и построена весовая система, являющаяся прмежуточным шагом в построении большого класса (например, весовые системы алгебр и супералгебр Ли, хотя и не только они) весовых систем на хордовых диаграммах.

16 февраля 2017
М. Э. Казарян
«Комбинаторное вычисление числа Черна симплициального расслоения на окружности»
Характеристическое число Черна-Эйлера измеряет степень «скрученности» расслоения над двумерной поверхностью с окружностью в качестве слоя. Например, для тривиального расслоения он равен нулю, для расслоения Хопфа единице, а для сферизации касательного расслоения сферы – двум. Н. Мнёв предложил комбинаторную формулу для этого числа в случае, когда расслоение реализовано в виде симплициального отображения. Исходные рассуждения Мнёва опираются на дифференциально-геометрические соображения: строится кусочно-линейный вариант связности расслоения и вычисляется интеграл от ее кривизны. Мы же в докладе приведем прямой комбинаторный вывод этой формулы. 

9 февраля 2017
А. Леонтьева
«Хордовые диаграммы, диаграммы Фейнмана и диаграммы Якоби»
Я расскажу про два вида диаграмм -- диаграммы Фейнмана и диаграммы Якоби, и объясню их связь с биалгеброй хордовых диаграмм. Доклад будет основан на диссертации С.В. Дужина.

2 февраля 2017
А. Рябичев
«Теорема Концевича» (продолжение)
Эта теорема говорит, что пространство инвариантов Васильева порядка n по модулю инвариантов порядка n-1 изоморфно пространству линейных функций на n-хордовых диаграммах по модулю 1- и 4-членных соотношений. Я планирую напомнить/разобрать все определения из формулировки теоремы, а затем обсудить доказательство (с помощью интеграла Концевича) настолько подробно, насколько это позволит время и аудитория. Никаких предварительных знаний не требуется. 

26 января 2017
А. Рябичев
«Теорема Концевича»
Эта теорема говорит, что пространство инвариантов Васильева порядка n по модулю инвариантов порядка n-1 изоморфно пространству линейных функций на n-хордовых диаграммах по модулю 1- и 4-членных соотношений. Я планирую напомнить/разобрать все определения из формулировки теоремы, а затем обсудить доказательство (с помощью интеграла Концевича) настолько подробно, насколько это позволит время и аудитория. Никаких предварительных знаний не требуется.