Семинар "Функциональный анализ и некоммутативная геометрия": Магомед Бутаев

Доклад посвящён построению полинома Джонса — инварианта ориентированных зацеплений, в контексте теории подфакторов алгебр фон Неймана. Доклад опирается на монографию V.F.R. Jones «Subfactors and Knots».
В первой части доклада вводятся необходимые алгебраические конструкции: алгебры фон Неймана, факторы типа II₁ и их нормированный след, понятие подфактора и индекса Джонса. Формулируется теорема Джонса о допустимых значениях индекса. Далее описывается конструкция, порождающая башню факторов и последовательность проекторов,  которая удовлетворяют соотношениям алгебры Темперли–Либа и несет на себе марковский след.
Во второй части излагаются топологические предпосылки: группа кос Артина, понятие узла и зацепления, движения Рейдемейстера, а также теоремы Александера (каждое зацепление есть замыкание косы) и Маркова (критерий эквивалентности замыканий).
Центральная часть доклада содержит три подхода к определению полинома Джонса. Первый — оригинальный подход Джонса через представление группы кос в алгебре Темперли–Либа и нормировку марковского следа. Второй — определение через скейн-соотношение, выводимое из квадратичного уравнения для генераторов. Третий — элементарное комбинаторное определение через скобку Кауфмана, не требующее теории операторных алгебр.
В заключение приведем примеры вычисления данного полинома Джонса.

Трансляция на youtube-канале факультета:  https://www.youtube.com/@mathematicsathse1021/streams

Страница семинара:  https://sites.google.com/view/apirkovskii/fa_ncg