• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Контакты

Тиморин Владлен Анатольевич
декан

 

Артамкин Игорь Вадимович
заместитель декана

 

Кузнецова Вера Витальевна
заместитель декана

 

Фейгин Евгений Борисович
заместитель декана

 

Эстеров Александр Исаакович
заместитель декана

119048, Москва,
ул. Усачёва, 6
тел. (495) 772-95-90 *12725 (секретарь)
тел. (495) 772-95-90 *12726 (декан)
тел. (495) 624-26-16
e-mail: math@hse.ru

Учебный офис:
mathstudyoffice@hse.ru

Редакторы сайта факультета:
Коршунов Дмитрий Олегович
Кузнецова Вера Витальевна

Проекты факультета математики



Список книг, рекомендованных для чтения факультетом математики НИУ ВШЭ

 


Limit shapes for growing extreme characters of U(∞)


Работа профессора факультета математики Г.И.Ольшанского, стажёра-исследователя международной лаборатории теории представлений и математической физики А.И.Буфетова и профессороа MIT А.Бородина Limit shapes for growing extreme characters of U(∞) посвящена решению очень важной задачи, лежащей на стыке теории вероятностей, комбинаторики и теории представлений. Основной объект исследования – это бесконечномерная унитарная группа U(∞), возникающая в квантовой механике. Информация о структуре этой группы и её представлений чрезвычайно важна для решения различных задач математической физики и алгебраической геометрии. В работе Бородина, Буфетова и Ольшанского методы и подходы теории вероятностей применяются для решения алгебраических и комбинаторных задач. Это позволило авторам решить давно стоявшую задачу о наличии предельной формы распределения старших весов представлений группы U(∞). Более того, авторы нашли явное описание предельной формы и получили важные приложения для теории представлений конечных унитарных групп, играющих основополагающую роль во многих конструкциях математической физики. Это позволило описать гидродинамическое поведение семейства физических моделей в размерности три. Работа Limit shapes for growing extreme characters of U(∞) имеет большое значение и для комбинаторики, поскольку задействует такие объекты и структуры, как разбиения, графы и производящие функции. Это позволит в дальнейшем использовать разработанные авторами подходы в решениях математических задач самой разной природы. Стоит отметить, что работа Бородина, Буфетова и Ольшанского напечатана в журнале Annals of Applied Probability, издаваемом Институтом Математической Статистики, что лишний раз подтверждает математическую общезначимость работы.




Картинка иллюстрирует связь между разбиениями (комбинаторика), представлениями унитарных групп (алгебра) и предельными формами (теория веротностей).


Multivariate Abel–Ruffini


Статья доцента факультета математики А.Эстерова Multivariate AbelRuffini, написанная в соавторстве с Г.Гусевым, принята в печать в 2015 в Mathematische Annalen — один из старейших и влиятельнейших математических журналов (начал выходить в 1869 году). Работа посвящена изучению систем полиномиальных уравнений от нескольких переменных. Эта задача обобщает классическую теорему Абеля-Руффини, которая утверждает, что полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда степень уравнения не превосходит 4. Несмотря на то, что задача очень важна и является базисной для многих алгебраических и геометрических конструкций, решение было получено только в 2015 году Гусевым и Эстеровым. Метод, предложенный авторами статьи, основан на теории выпуклых многогранников и понятии смешанного объёма. Основной результат работы заключается в описании всех систем, для которых можно найти явное решение, выраженное в радикалах. Более того, авторы доказывают, что искомые системы могут быть описаны в терминах наборов целочисленных многогранников, смешанный объём которых не превосходит четырёх. Этот результат позволяет связать классическую теорему Абеля-Руффини с современными методами и конструкциями, возникающими в различных областях математики. Важной отличительной чертой подхода Гусева-Эстерова является использование понятия монодромии систем уравнений. Эта математическая конструкция возникает как в алгебраических задачах, так и в топологии, алгебраической геометрии и математической физике. Авторы статьи явно вычисляют группу монодромии общей системы полиномиальных уравнений. Этот результат имеет независимый интерес и будет использоваться математиками самых разных направлений. Таким образом, статьи А.Эстерова и Г.Гусева не только решает классическую математическую задачу, но и содержит новые результаты, которые будут чрезвычайно важны для решения разнообразных современных задач.




Примеры многогранников объёма 3 и 4, соответствующих разрешимым в радикалах системам.


Поверхности, на которых через каждую точку проходят две окружности


Одну из самых известных в мире криволинейных конструкций изобрел русский архитектор и инженер В.Г. Шухов. Его конструкции, несмотря на свою форму, строятся из прямых балок. На языке геометрии это означает, что имеется поверхность, через каждую точку которой проходят две прямые, целиком лежащие на поверхности. Старинная теорема геометрии описывает все поверхности с таким свойством - их только три вида. Простейшая форма после прямой – окружность. А что если помимо прямых балок использовать также балки в форме дуги окружности? Начиная еще с работ Ж.-Г. Дарбу в ХIХ веке, вопрос оставался открытым. Но в этом году случился прорыв: ответ получен в совместных работах Римвидаса Красаускаса, Алексея Пахарева и Михаила Скопенкова (на момент написания этого текста еще не опубликованных). Решение основано на сведении к красивой алгебраической задаче описания пифагоровых n-ок многочленов, которая решается с помощью нового метода разложения кватернионных многочленов на множители. 



В мультфильме Н. Луббеса показан красивый пример такой поверхности.





 

Diffusion for chaotic plane sections of 3-periodic surfaces

 

Работа доцента факультета математики Александры Скрипченко (совместно с Паскалем Убером и лауреатом филдсовской премии 2014 года Артуром Авилой) находится на стыке теории динамических систем и геометрии. В работе изучается три-периодические поверхности, их геометрические и динамические свойства. Важность и актуальность этой задачи были отмечены ещё С.П.Новиковым, который изучал сечения таких поверхностей двумерными плоскостями. Описание таких сечений важно не только с математической точки зрения, но и в связи с приложениями в теории проводимости монокристаллов. В работе А.С.Скрипченко для решения задачи применяются методы теории вероятностей и тории меры. Это позволило авторам существенно продвинуться в решении задачи. В частности, ими вычислен коэффициент диффузии и получены формулы для показателей Ляпунова. Полученные результаты имеют общематематическую ценность, что подтверждается публикацией работы в журнале INVENTIONESMATHEMATICAE – одном из самых престижных и высокорейтинговых математических журналов в мире.

Фундаментальная область три-периодической поверхности

 

 

 

 

 A combinatorial formula for affine Hall–Littlewood functions via a weighted Brion theorem

 

Работа профессора факультета математики Б.Л.Фейгина и аспиранта факультета математики И.Ю.Махлина посвящена решению задачи, которая важна и актуальна для различных областей математики, таких как теория представлений, теория специальных функций, выпуклая геометрия. Авторы получают явную формулу для функций Холла-Литтлвуда, играющих ключевую роль в различных алгебраических и комбинаторных задачах. При этом Б.Л.Фейгин и И.Ю.Махлин используют и развивают технику, предложенную известным французским математиком М.Брионом. Это позволяет использовать методы и конструкции выпуклой геометрии в бесконечномерном случае, обобщая, в частности, классическую конструкцию Гельфанда-Цейтлина. Более того, разработанный авторами новый подход к взвешенным суммам по целочисленным точкам бесконечномерных многогранников оказался очень эффективным и в дальнейшем будет применяться для решения разнообразных математических задач. Работа была напечатана в одном из ведущих мировых математических журналов Selecta Mathematica, принимающего к публикации только избранные статьи, важные и интересные для широких групп математиков.

 

Схема Гельфанда-Цейтлина