Семинар лаборатории 2025

Семинар проходит на факультете математики НИУ ВШЭ, по четвергам в 18:10 в аудитории 110 и онлайн в Zoom (ссылка по запросу у организатора)

6 марта 2025

Борис Бычков

Симплектическая двойственность в топологической рекурсии

x-y двойственность в топологической рекурсии это явные формулы, позволяющие выражать наборы дифференциалов на спектральных кривых (\Sigma,x,y,B) и (\Sigma,y,x,B) друг через друга. Эта конструкция уже имеет важные приложения, такие как, например, утверждения о КП интегрируемости дифференциалов топологической рекурсии.
В докладе я расскажу про симплектическую двойственность: это вариация x-y двойственности, которая при некоторых условиях сохраняет (логарифмическую) топологическую рекурсию и позволяет получить новое доказательство (логарифмической) топологической рекурсии для трех семейств взвешенных двойных чисел Гурвица.

Доклад основан на совместной с А.Александровым, П. Дуниным-Барковским, М. Казаряном и С. Шадриным работе https://arxiv.org/abs/2405.10720

27 февраля 2025

Матвей Сергеев

Пространства орбит действия компактного тора на многообразиях Грассмана

Задача описания топологии пространства орбит торических действий сложности 0 является хорошо изученной в торической геометрии и топологии. Например, пространство орбит канонического действия компактного тора T^n на комплексном проективном пространстве CP^n является симплексом.

В цикле работ В.М. Бухштабера и С. Терзич была развита теория (2n,k)-многообразий, которая естественно обобщает теорию торических и квазиторических многообразий в случае n=k. В случае n>k возникают торические действия положительной сложности n-k для которых задача описания пространства орбит значительно труднее. Ключевыми примерами (2n,k)-многообразий являются комплексные многообразия Грассмана G(m,2), где n-k=m-3, m>3. Они естественно возникают и играют важную роль в разных разделах математики.
В.М. Бухштабер и C. Терзич смогли построить топологическую модель пространства орбит G(m,2)/T^m. Одним из ключевых объектов этой модели является пространство параметров F, которое является открытым алгебраическим многообразием в (CP^1)^N. Для описания пространства орбит требовалось найти его правильную компактификацию. В центре внимания доклада будет следующий результат Бухштабера-Терзич: правильную компактификацию пространства параметров можно отождествить с компактификацией Делиня-Мамфорда пространства модулей кривых с m точками на комплексной проективной прямой. Кроме того, планируется обсудить связь этого результата с компактификацией Лосева-Манина.

20 февраля 2025

Антон Казаков (ВШЭ, МГУ, КФУ)

Комбинаторика и геометрия электрических сетей

С комбинаторной точки зрения, электрическая сеть — это граф с положительными весами на рёбрах, представляющими проводимости. Вершины сети разделены на два множества: внутренние и граничные узлы. Задавая потенциалы на граничных узлах и применяя законы Ома и Кирхгофа, мы однозначно определяем гармоническое продолжение потенциалов на все остальные вершины сети. Изучение свойств этих гармонических продолжений естественным образом привело к определению матриц электрического отклика и матриц эффективных сопротивлений, элементы которых тесно связаны с комбинаторикой остовных деревьев и рощ графа сети. Это позволило, используя обобщенный трюк Темперли, построить вложение множества электрических сетей в положительную часть Грассманиана Gr(n-1, 2n). Мы подробно обсудим это вложение: построим его явную конструкцию с использованием матриц отклика (матриц эффективных сопротивлений) и рассмотрим их связь с положительной математикой и, если останется время, с метрической геометрией

13 февраля 2025

Михаил Зайцев

Сумма значений gl-весовой системы и q-числа Бернулли

Я расскажу, как выразить сумму значений gl-весовой системы на перестановках через полные симметрические функции с помощью перехода к их квантовому аналогу в алгебре уравнения отражений. Это разложение доказывает гипотезу М.Э. Казаряна и С.К. Ландо о том, что образ Хариш-Чандры суммы весовых систем становится тау-функцией иерархии КП.

Вид предложенной ими гипотетический формулы подсказывает, что квантовые версии коэффициентов должны оказаться q-аналогами многочленов Бернулли с точностью до множителя.
Несложное, но громоздкое вычисление показывает, что они действительно совпадают с q-полиномами Бернулли, введёнными Л. Карлицем и связанными с p-адическими интегралами. При этом докладчику неизвестно концептуальной причины возникновения чисел Бернулли в этой задаче

06 февраля 2025
Полина Закорко 

Вокруг gl(N)-весовой системы и проекции предхроматического инварианта на подпространство примитивных элементов

Мы начнем с определения gl(N)-весовой системы на диаграммах Якоби, использующего тензоры. Данное определение позволяет построить по диаграмме Якоби набор ленточных графов, каждый из которых, в свою очередь, задает перестановку, что дает выражение для значения диаграммы Якоби в виде суммы значений на перестановках. Данную картину мы попробуем обобщить, рассматривая диаграммы, схожие с диаграммами Якоби, но степень внутренних вершин которых не обязательна равна трём.

Вторая половина доклада продолжает изучение предхроматического инварианта, начатое в “The universal gl-weight system and the chromatic polynomial” (2024) М. Казаряна, Н. Коданёвой, С. Ландо. Данный инвариант является многочленом от бесконечного числа переменных N, p1, p2… . Его старший коэффициент (как многочлена от N) является гомоморфизмом алгебр Хопфа, и при хроматической подстановке p1=p2=…= x становится хроматическим многочленом. Мы укажем на некоторые свойства линейной части этого коэффициента.

Периодически мы будем вспоминать определения из статьи Бар-Натана “Weights of Feynman Diagrams and the Vassiliev Knot Invariants” (1991)

30 января 2025

Надежда Хорошавкина
Generalized inflations

We will discuss a number of constructions that give connections between combinatorics and topology. For example, we will discuss why any poset is a topological space (Alexandrov topological space, to be precise) and vise versa; what is a diagram on a poset; I will introduce the notion of inflation of a diagram along a poset and formulate a theorem on the topological type of geometric realizations of inflations of some special kind; if time permits, I will give solution to the theorem.

All these constructions allow to investigate topological properties of finite topological spaces. The talk does not require any special knowledge and can be understood by the first year students. At the same time, the discussed objects can be interesting for those who possess the concepts of the category theory and sheaves theory, since this is a more natural language for all discussed constructions  

23 января 2025
Александр  Эстеров (LIMS)
Многогранник Ньютона критического множества отображения Ляшко--Лойенги

Многогранник Ньютона -- важное обобщение понятия степени для полиномов многих переменных, поэтому его хочется вычислить для важных полиномов. В частности, для дискриминантных полиномов, задающих в пространстве рациональных функций каустику и страт Максвелла (т.е. множества функций с кратной критической точкой и с парой совпадающих критических значений соответственно).

Для каустики ответ дан 30 лет назад Гельфандом, Зелевинским и Капрановым в терминах secondary polytope -- одной из важнейших конструкций выпуклой комбинаторики. Я расскажу, как эта конструкция скрещивается с другой столь же важной (base polytope полиматроида), и как результат описывает многогранник Ньютона страта Максвелла.

Доклад не требует знания упомянутых конструкций, и основан на совместной работе с Ариной Воорхаар

16 января 2025
Максим Казарян
Конструкция Кричевера тау функций КП

Конструкция Кричевера строит решение иерархии КП по данным, состоящим из алгебраической кривой, точки на ней, и локальной координате в этой точке. Мы опишем современный взгляд на эту конструкцию, который, как хочется надеяться, несколько уменьшит ее загадочность.
Интерес докладчика к конструкции Кричевера возник в связи с ее обобщением, в котором она «сшивается» с топологической рекурсией. Давнишняя гипотеза Боро и Эйнара (2012) утверждает, что результат также дает решение КП. В недавнем препринте докладчику с соавторами (А.Александров, Б.Бычков, П.Дунин-Барковский, С.Шадрин) удалось доказать эту гипотезу, Однако в данном докладе до этих обобщений добраться, скорее всего, не получится.