Семинар лаборатории 2025

Семинар проходит на факультете математики НИУ ВШЭ, по четвергам в 18:10 в аудитории 110 и онлайн в Zoom (ссылка по запросу у организатора)

 30 октября 2025

Федоров Игорь Владимирович, ВШЭ

Суперструнная мера для рода 3, продолжение

16 октября 2025

Мария Губина, ВШЭ

Индуцирование многочлена паросочетаний из gl-весовой системы
В моем докладе я расскажу, как индуцировать многочлен паросочетаний графа пересечений хордовой диаграммы из gl-весовой системы с помощью хроматической подстановки

9 октября 2025

Федоров Игорь Владимирович, ВШЭ

Суперструнная мера для рода 3

Когда Мамфорд занимался группами Пикара пространств модулей, он доказал, что расслоение голоморфных форм объёма на пространстве модулей $M_g$ римановых поверхностей рода $g$ изоморфно 13-й степени расслоения Ходжа $\Lambda$ для любого g > 1. Эквивалентно, на $M_g$ есть не имеющая нулей голоморфная форма объёма со значениями в $\Lambda^{13}$ -- форма Мамфорда. Впоследствии Белавин и Книжник установили, что "квадрат модуля" формы Мамфорда совпадает с точностью до постоянного множителя с мерой Полякова -- вещественной формой объёма на пространстве модулей, возникающей (совершенно независимо от результатов Мамфорда) при вычислении амплитуд рассеяния в теории струн. Для g = 1 это верно с некоторой модификацией. У всего этого есть суперсимметричный аналог, который получается, если рассматривать суперримановы поверхности вместо римановых и суперструны вместо струн.

Для римановых поверхностей рода g = 1, 2 или 3 элементы матрицы периодов являются независимыми координатами на пространстве модулей. Явное выражение для формы Мамфорда через эти координаты известно во всех 3 случаях g = 1, 2 и 3, а для суперформы Мамфорда -- только для g = 1 и 2 (для g = 3 не было известно никакого явного выражения ни через что). В новой статье https://arxiv.org/abs/2505.02950 получено аналогичное выражение для "старшей компоненты" суперформы Мамфорда для рода 3, отчасти гипотетическое. А именно, доказывается, что она является некоторой линейной комбинацией трех явно известных выражений (являющихся рациональными комбинациями тэта-констант Римана и тэта-градиентов), но значения коэффициентов пока получены только с помощью компьютерных экспериментов и требуют доказательства. Я постараюсь об этом рассказать

25 сентября 2025
Гуляев Алексей Владиславович, ВШЭ

Предхроматическая весовая система на примитивных элементах

Мой рассказ посвящен продолжа́ющемуся изучению свойств предхроматического инварианта X.
Предхроматический инвариант - это полином от бесконечного числа переменных, являющийся результатом обратимой подстановки, предложенной в работе [1], в универсальную gl-весовую систему.
Мы докажем, что степень полинома X на примитивных элементах вращательной алгебры Хопфа перестановок не превышает единицы.
Далее мы обратимся к операции сшивки перестановок и увидим, что X, например, своеобразно <<мультипликативен>> относительно неё. В третьей части я расскажу, как заузленность длинных циклов, предположительно, связана с однородностью предхроматического инварианта, и какая возникла сложность при попытке доказать эту связь.
[1] M. Kazarian, N. Kodaneva и S. Lando. The universal gl-weight system and the chromatic polynomial. arXiv: 2406.10562

18 сентября 2025

Раиса Сафронова

Доказательство формулы Харера-Загира через теорию пересечений

Мой рассказ основан на статье 2021 года «AN INTERSECTION-THEORETIC PROOF OF THE HARER–ZAGIER FORMULA» трех авторов - ALESSANDRO GIACCHETTO, DANILO LEWANSKI, AND PAUL NORBURY.

Формула Харера-Загира подсчитывает эйлерову характеристику пространства модулей гладких кривых. Ее доказывали множеством методов: комбинаторика графов/многоугольников на поверхностях, случайные матрицы, теория представлений, топологическая рекурсия и другие. Но ее можно вывести и более «прямым» методом через подсчет тавтологических классов, что дает более короткое доказательство. Этот результат основан на формуле Гаусса-Бонне и особой параметризации омега-классов. В статье, помимо самого доказательства, уделяется внимание и более подробному изложению теории последних.

11 сентября 2025

Сергей Константинович Ландо

Обсуждение задач семинара 

28 августа 2025

Евгений Фейгин (Тель-Авивский университет)

Позитроидные многообразия и их родственники

Позитроидные многообразия являются подмногообразиями в классических комплексных многообразиях Грассмана. Они нумеруются разнообразными комбмнаторными данными и задают стратификацию  Грассманианов.  Эта стратификация обладает богатой структурой и связана с различными объектами теории вполне положительных многообразий флагов, а также с многообразиями Шуберта и Ричардсона. Мы  напомним основные определения и конструкции и построим семейства над аффинной прямой, общие слои  которых изоморфны позитроидным многообразиям, а специальные слои являются их плоскими вырождениями. Эти вырождения приходят из конструкции глобальных аффинных Грассманианов; в частности специальные слои наших семейств естественно вложены в аффинные многообразия флагов.  Мы опишем комбинаторные и геометрические свойства специальных слоёв, а также приведём их явную реализацию в терминах классических позитроидных многообразий

7 августа 2025

Мелихова Екатерина Владимировна

Предзащита кандидатской диссертации на тему: "Мечено-порядковые многогранники"

Научный руководитель: д.ф.-м.н. В.А. Тиморин, профессор факультета математики НИУ ВШЭ

17 июня 2025

Жуков Вячеслав Игоревич, ВШЭ

Предзащита кандидатской на тему: "Комбинаторные аспекты инвариантов топологических объектов"

Настоящая диссертация посвящена комбинаторным аспектам теорииинвариантов узлов и зацеплений конечного порядка (инвариантов Васильева). Теория Васильева связывает между собой инварианты топологических объектов --- узлови зацеплений --- и инварианты комбинаторных объектов --- вложенных графов.Доказанная в 1993 г. М. Концевичем теорема утверждает, что набор указанных В. А. Васильевымограничений на получающиеся инварианты вложенных графов является полным.Другими словами, изучение весовых систем --- инвариантов вложенных графов,удовлетворяющих соотношениям Васильева, --- эквивалентно изучениюинвариантов конечного порядка узлов и зацеплений. Тем самым, изучениевесовых систем способно пролить свет на теорию инвариантов зацеплений. Одной из центральных задач в теории инвариантов конечного порядка являетсяконструирование таких инвариантов. Оно может быть выполнено в терминах предъявления весовых систем. Зачастую конструируемые инварианты вложенных графов выражаются на языке дельта-матроидов.Теория дельта-матроидов была разработана А. Буше в 80-х годах прошлого века.Дельта-матроид оказался удобным комбинаторным объектом, кодирующим целый ряд важных свойств какграфов, так и вложенных графов.  Один из главных результатов диссертации состоит в перенесениипонятия весовой системы на инварианты дельта-матроидов. Другим важным инструментом изучения весовых систем является опора наих алгебраические свойства. Как показал М. Концевич, пространство,порожденное хордовыми диаграммами по модулю соотношений Васильева,наделено естественной структурой коммутативной кокоммутативной градуированной алгебры Хопфа.Многие инварианты графов и хордовых диаграмм демонстрируют естественное поведение относительно этойструктуры, что позволяет при их изучении разделить индивидуальные свойства инвариантаи структурные свойств алгебры Хопфа. На пространстве вложенных графов не удается ввести аналогичнуюструктуру, однако нам удалось построить ее на пространстве дельта-матроидов.В результате, ряд инвариантов узлов удается продолжить до инвариантов многокомпонентных зацеплений

29 мая 2025

Виктор Батырев (МФТИ)

Классические дискримин0анты, многообразия Лосева-Манина и их обобщения

Многообразия модулей Лосева-Манина L_n - это гладкие проективные торические многообразия, определяемые веерами камер Вейля алгебраических групп PGL(n+1). В докладе будут рассмотрены тесные комбинаторные связи между многогранниками Ньютона классических дискриминантов общих многочленов степени (n+1) и n-мерными пермутаэдрами, соответствующими специальному выбору обильного S_{n+1}-инвариантного дивизора на L_n. В частности, будет дано "тропическое" доказательство теоремы Гельфанда-Зелевинского-Капранова, устанавливающей биекцию между вершинами многогранника Ньютона дискриминанта и 2^n параболическими подгруппами в PGL(n+1). Имеется обобщение многообразий модулей Лосева-Манина на случай групп SO(2n+1) типа B_n. Ожидается, что имеют место аналогичные  взаимосвязи с пока ещё не совсем ясным B-аналогом классического дискриминанта

22 мая 2025
Максим Карев

Трехпараметрическое действие кольца симметрических многочленов на пространстве Фока и соответствующие числа Гурвица

Широко известны два классических действия кольца симметрических многочленов на пространстве Фока. Первое -- действие Шура -- определяется через реализацию пространства Фока как прямой суммы центров групповых алгебр симметрических групп. Второе -- зональное действие -- вводится через изучение алгебры эндоморфизмов результата индуцирования тривиального представления гипероктаэральной группы на симметрическую. В обоих этих случаях возникает своя теория чисел Гурвица. Для случая Шура эти числа Гурвица называются "комплексными", для зонального случая -- "вещественными".

Я расскажу, как ввести трехпараметрическое семейство действий кольца симметрических многочленов на пространстве Фока и определю соответствующие числа Гурвица. В специальных значениях параметров эти числа Гурвица будут совпадать с комплексными и вещественными соответственно. Если хватит времени, я расскажу о топологической рекурсии для простых монотонных трехпараметрических числах Гурвица.
Доклад основан на совместной работе с Р. Феслером, Х. Марквиг и М. Ханом

24 апреля 2025

Алексей Зайцев
Позитроиды и непересекающиеся разбиения

В данном докладе я напомню определение специального класса матроидов, называемых позитроидами. Данное определение было введено Постниковым для изучения положительной части Грассманиана. Мы обсудим биекции класса позитроидов с различными комбинаторными объектами, среди которых ожерелья Грассмана, украшенные перестановки, Le-диаграммы и plabic графы. Я также расскажу, как позитроиды связаны с непересекающимися разбиениями (non-crossing partitions), и, если успеем, расскажу о приложениях данного результата. Доклад основан на статье https://arxiv.org/abs/1308.2698v2

17 апреля 2025

Наталья Рожковская (Канзасский Государственный Университет)

Свойства производящих функций полиномиальных $\tau$-функций солитонных иерархий

Мы  опишем семейство  производящих функции  всех  полиномиальных  $\tau$-функций $s$- компонентных  KP  и  BKP иерархий, приведем формулы  выражающие такие  $\tau$-функции  через многочлены  Шура и Q-многочлены Шура, а также интерпретацию производящих функций  через линейные преобразования  вертексных операторов. Доклад основан на совместной работе с В. Кацем и И. Ван де Лёром

10 апреля 2025

Малыгин Семён Олегович

ГКМ-графы и кольца тор-эквивариантных когомологий многообразий частичных флагов и гиперповерхностей Милнора.

ГКМ теория была описана в работе Горески-Коттвица-Макферсона «Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem» и была разработана для вычисления тор-эквивариантных когомологий для некоторого широкого класса топологических пространств с действием тора, называемых ГКМ-пространствами. Этот подход позволяет свести вычисление  тор-эквивариантных когомологий ГКМ-пространства к вычислению когомологий ГКМ-графа, вершины которого отождествляются с неподвижными точками действия тора, а ребра — с одномерными орбитами. Таким образом, при проведении данного вычисления достаточно пользоваться исключительно комбинаторной информацией, которую описывает некоторый граф. Также от описания тор-эквивариантных когомологий можно с легкостью перейти к описанию обычных когомологий.

Главным нашим инструментом будет ГКМ-граф многообразия полных флагов. Мы покажем, что ГКМ-графы указанных многообразий получаются из него с помощью операций стягивания и удаления некоторых подграфов, имеющих структуру граф-произведения ГКМ-графов многообразий полных флагов меньшей размерности. При помощи этой связи мы выведем описание колец тор-экивариантных когомологий многообразий частичных флагов и гиперповерхностей Милнора в терминах образующих и соотношений

03 апреля 2025

 М. Казарян

 КП-интегрируемость непертурбативной тау-функции

Доклад является продолжением доклада от 16 января. Его цель - объяснить смысл терминов, входящих в название доклада

27  марта 2025

М. Казарян, С. Ландо

 Обсуждение задач семинара

20 марта 2025

 В конференц-зале (9 этаж) Математического института им. В.А.Стеклова РАН, ул. Губкина 8, состоятся заседания диссертационного совета

1.  14:00. Защита диссертации Скрипченко Александры Сергеевны «Ренормализация в одномерной динамике» на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 1.1.3 – геометрия и топология. (доцент факультета математики НИУ ВШЭ)
2.  15:30. Защита диссертации Буряка Александра Юрьевича «Топология пространств модулей стабильных кривых и интегрируемые системы» на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 1.1.3 – геометрия и топология. (доцент факультета математики НИУ ВШЭ, заведующий Международной лабораторией теории представлений и математической физики ВШЭ – Сколтех)

13 марта 2025

Антон Хорошкин

Сортировка пузырьком и тождество Коши для ступенчатых матриц

Я расскажу про простое обобщение сортировки пузырьком, про расстановку ладей в диаграмме Юнга и то, как это всё можно использовать, чтобы написать обобщение тождества Коши для ступенчатых матриц.
Доклад основан на совместных работах с Е.Македонским arxiv:2502.21184 и Е.Фейгиным arxiv:2411.03117

6 марта 2025

Борис Бычков

Симплектическая двойственность в топологической рекурсии

x-y двойственность в топологической рекурсии это явные формулы, позволяющие выражать наборы дифференциалов на спектральных кривых (\Sigma,x,y,B) и (\Sigma,y,x,B) друг через друга. Эта конструкция уже имеет важные приложения, такие как, например, утверждения о КП интегрируемости дифференциалов топологической рекурсии.

В докладе я расскажу про симплектическую двойственность: это вариация x-y двойственности, которая при некоторых условиях сохраняет (логарифмическую) топологическую рекурсию и позволяет получить новое доказательство (логарифмической) топологической рекурсии для трех семейств взвешенных двойных чисел Гурвица.

Доклад основан на совместной с А.Александровым, П. Дуниным-Барковским, М. Казаряном и С. Шадриным работе https://arxiv.org/abs/2405.10720

27 февраля 2025

Матвей Сергеев

Пространства орбит действия компактного тора на многообразиях Грассмана

Задача описания топологии пространства орбит торических действий сложности 0 является хорошо изученной в торической геометрии и топологии. Например, пространство орбит канонического действия компактного тора T^n на комплексном проективном пространстве CP^n является симплексом.

В цикле работ В.М. Бухштабера и С. Терзич была развита теория (2n,k)-многообразий, которая естественно обобщает теорию торических и квазиторических многообразий в случае n=k. В случае n>k возникают торические действия положительной сложности n-k для которых задача описания пространства орбит значительно труднее. Ключевыми примерами (2n,k)-многообразий являются комплексные многообразия Грассмана G(m,2), где n-k=m-3, m>3. Они естественно возникают и играют важную роль в разных разделах математики.
В.М. Бухштабер и C. Терзич смогли построить топологическую модель пространства орбит G(m,2)/T^m. Одним из ключевых объектов этой модели является пространство параметров F, которое является открытым алгебраическим многообразием в (CP^1)^N. Для описания пространства орбит требовалось найти его правильную компактификацию. В центре внимания доклада будет следующий результат Бухштабера-Терзич: правильную компактификацию пространства параметров можно отождествить с компактификацией Делиня-Мамфорда пространства модулей кривых с m точками на комплексной проективной прямой. Кроме того, планируется обсудить связь этого результата с компактификацией Лосева-Манина.

20 февраля 2025

Антон Казаков (ВШЭ, МГУ, КФУ)

Комбинаторика и геометрия электрических сетей

С комбинаторной точки зрения, электрическая сеть — это граф с положительными весами на рёбрах, представляющими проводимости. Вершины сети разделены на два множества: внутренние и граничные узлы. Задавая потенциалы на граничных узлах и применяя законы Ома и Кирхгофа, мы однозначно определяем гармоническое продолжение потенциалов на все остальные вершины сети. Изучение свойств этих гармонических продолжений естественным образом привело к определению матриц электрического отклика и матриц эффективных сопротивлений, элементы которых тесно связаны с комбинаторикой остовных деревьев и рощ графа сети. Это позволило, используя обобщенный трюк Темперли, построить вложение множества электрических сетей в положительную часть Грассманиана Gr(n-1, 2n). Мы подробно обсудим это вложение: построим его явную конструкцию с использованием матриц отклика (матриц эффективных сопротивлений) и рассмотрим их связь с положительной математикой и, если останется время, с метрической геометрией

13 февраля 2025

Михаил Зайцев

Сумма значений gl-весовой системы и q-числа Бернулли

Я расскажу, как выразить сумму значений gl-весовой системы на перестановках через полные симметрические функции с помощью перехода к их квантовому аналогу в алгебре уравнения отражений. Это разложение доказывает гипотезу М.Э. Казаряна и С.К. Ландо о том, что образ Хариш-Чандры суммы весовых систем становится тау-функцией иерархии КП.

Вид предложенной ими гипотетический формулы подсказывает, что квантовые версии коэффициентов должны оказаться q-аналогами многочленов Бернулли с точностью до множителя.
Несложное, но громоздкое вычисление показывает, что они действительно совпадают с q-полиномами Бернулли, введёнными Л. Карлицем и связанными с p-адическими интегралами. При этом докладчику неизвестно концептуальной причины возникновения чисел Бернулли в этой задаче

06 февраля 2025
Полина Закорко 

Вокруг gl(N)-весовой системы и проекции предхроматического инварианта на подпространство примитивных элементов

Мы начнем с определения gl(N)-весовой системы на диаграммах Якоби, использующего тензоры. Данное определение позволяет построить по диаграмме Якоби набор ленточных графов, каждый из которых, в свою очередь, задает перестановку, что дает выражение для значения диаграммы Якоби в виде суммы значений на перестановках. Данную картину мы попробуем обобщить, рассматривая диаграммы, схожие с диаграммами Якоби, но степень внутренних вершин которых не обязательна равна трём.

Вторая половина доклада продолжает изучение предхроматического инварианта, начатое в “The universal gl-weight system and the chromatic polynomial” (2024) М. Казаряна, Н. Коданёвой, С. Ландо. Данный инвариант является многочленом от бесконечного числа переменных N, p1, p2… . Его старший коэффициент (как многочлена от N) является гомоморфизмом алгебр Хопфа, и при хроматической подстановке p1=p2=…= x становится хроматическим многочленом. Мы укажем на некоторые свойства линейной части этого коэффициента.

Периодически мы будем вспоминать определения из статьи Бар-Натана “Weights of Feynman Diagrams and the Vassiliev Knot Invariants” (1991)

30 января 2025

Надежда Хорошавкина
Generalized inflations

We will discuss a number of constructions that give connections between combinatorics and topology. For example, we will discuss why any poset is a topological space (Alexandrov topological space, to be precise) and vise versa; what is a diagram on a poset; I will introduce the notion of inflation of a diagram along a poset and formulate a theorem on the topological type of geometric realizations of inflations of some special kind; if time permits, I will give solution to the theorem.

All these constructions allow to investigate topological properties of finite topological spaces. The talk does not require any special knowledge and can be understood by the first year students. At the same time, the discussed objects can be interesting for those who possess the concepts of the category theory and sheaves theory, since this is a more natural language for all discussed constructions  

23 января 2025
Александр  Эстеров (LIMS)
Многогранник Ньютона критического множества отображения Ляшко--Лойенги

Многогранник Ньютона -- важное обобщение понятия степени для полиномов многих переменных, поэтому его хочется вычислить для важных полиномов. В частности, для дискриминантных полиномов, задающих в пространстве рациональных функций каустику и страт Максвелла (т.е. множества функций с кратной критической точкой и с парой совпадающих критических значений соответственно).

Для каустики ответ дан 30 лет назад Гельфандом, Зелевинским и Капрановым в терминах secondary polytope -- одной из важнейших конструкций выпуклой комбинаторики. Я расскажу, как эта конструкция скрещивается с другой столь же важной (base polytope полиматроида), и как результат описывает многогранник Ньютона страта Максвелла.

Доклад не требует знания упомянутых конструкций, и основан на совместной работе с Ариной Воорхаар

16 января 2025
Максим Казарян
Конструкция Кричевера тау функций КП

Конструкция Кричевера строит решение иерархии КП по данным, состоящим из алгебраической кривой, точки на ней, и локальной координате в этой точке. Мы опишем современный взгляд на эту конструкцию, который, как хочется надеяться, несколько уменьшит ее загадочность.
Интерес докладчика к конструкции Кричевера возник в связи с ее обобщением, в котором она «сшивается» с топологической рекурсией. Давнишняя гипотеза Боро и Эйнара (2012) утверждает, что результат также дает решение КП. В недавнем препринте докладчику с соавторами (А.Александров, Б.Бычков, П.Дунин-Барковский, С.Шадрин) удалось доказать эту гипотезу, Однако в данном докладе до этих обобщений добраться, скорее всего, не получится.