Семинар лаборатории 2024

Семинар проходит на факультете математики НИУ ВШЭ, по четвергам в 18:10 в аудитории 110 и онлайн в Zoom (ссылка по запросу у организатора)

19 декабря 2024

Алексей Басалаев
Предзащита диссертации на соискание ученой степени доктора наук
Орбифолдные модели Ландау-Гинзбурга и зеркальная симметрия

 Орбифолдной моделью Ландау-Гинзбурга называется пара (f,G), где f - многочлен, имеющий лишь изолированные критические точки, а G - группа симметрий, сохраняющая многочлен. Такие пары играют ключевую роль в зеркальной симметрии. В докладе орбифолды Ландау--Гинзбурга будут рассмотрены как с точки зрения теории особенностей, так и с точки зрения зеркальной симметрии. В частности, для касп-многочленов f_A будет построено многообразие Дубровина--Фробениуса пары (f_A,G) и доказано, что это многообразие изоморфно многообразию Дубровина--Фробениуса теории Громова-Виттена прямой Гейгле-Ленцинга.

28 ноября 2024

Сергей Константинович Ландо

Обсуждение статьи

The Virasoro minimal string
Scott Collier, Lorenz Eberhardt, Beatrix Muehlmann and Victor A. Rodriguez

В этой статье строится однопараметрическая деформация объемов Вейля-Петерсона пространств модулей гиперболических двумерных поверхностей с геодезической границей, которую авторы называют квантовыми объемами Вейля-Петерсона. Для этих объемов авторы выводят гипотетическое рекуррентное соотношение, обобщающее соотношение ирзахани, и описывают спектральную кривую топологической рекурсии

21 ноября 2024

Максим Казарян

Многочлен Татта и K-теория

В докладе будут обсуждаться недавно обнаруженные комбинаторные формулы для многочлена Татта матроида, а также многочлена переплетения дельта-матроида. Основная цель доклада - объяснить, как эти формулы можно интерпретировать как результат эквивариантного интегрирования определённых классов из K-групп грассманиана и изотропного грассманиана, соответственно. Все необходимые определения будут даны по ходу доклада.

14 ноября  2024

Denis Lyskov

Moduli spaces of stable curves associated with graphs

The Deligne-Mumford moduli spaces of stable curves with marked points are central objects in mathematical physics, specifically in Gromov-Witten theory. In the genus zero case, these moduli spaces are indeed the complex smooth projective varieties.
In addition to the Deligne-Mumford compactification, there are alternative compactifications, for example, the Hasset and Losev-Manin compactifications in which some marked points may "stick together". In this report, we discuss a new class of alternative compactifications ( in the genus zero case) associated with graphs that are specific blow-downs of the classical compactifications.
We explain the construction of these moduli spaces and their internal geometry, including the description of cohomology rings. Mimicking Getzler’s strategy based on operadic methods, we deduce the functional equations for the generating series of Hilbert series of graphic compactifications.
At the end of the report, we discuss some properties of psi-classes for graphic compactifications and consider partial results concerning their intersection numbers.
This talk is based on the joint work with A. Khoroshkin https://arxiv.org/abs/2406.05909

 
7 ноября 2024

 Arkadiy Skopenkov 

The band connected sum and the second Kirby move for higher-dimensional links

 Let $f:S^q\sqcup S^q\to S^m$ be an (ordered oriented) link (i.e. an embedding).

 How does (the isotopy class of) the knot $S^q\to S^m$ obtained by embedded connected sum of the components of $f$ depend on $f$?

Define a link $\sigma f:S^q\sqcup S^q\to S^m$ as follows.
The first component of $\sigma f$ is the `standardly shifted' first component of $f$.
The second component of $\sigma f$ is the embedded connected sum of the components of $f$.
How does (the isotopy class of) $\sigma f$ depend on $f$?
How does (the isotopy class of) the link $S^q\sqcup S^q\to S^m$ obtained by embedded connected sum of the last two components of a link $g:S^q_1\sqcup S^q_2\sqcup S^q_3\to S^m$ depend on $g$?
We give the answers for the `first non-trivial case' $q=4k-1$ and $m=6k$.
The first answer was used by S. Avvakumov for classification of linked 3-manifolds in $S^6$.
Presentation: https://old.mccme.ru//circles//oim/ktori_link_pres.pdf

24 октября 2024

 Надежда Коданева

 Геометрия грассманианов и дельта-матроиды

 по статье arXiv:2307.02550  K-CLASSES OF DELTA-MATROIDS AND EQUIVARIANT LOCALIZATION C. EUR, M. LARSON, H. SPINK)

В своём докладе я расскажу, как по дельта-матроиду и соответствующему ему многограннику построить класс в К-теории максимального ортогонального грассманиана. Также я постараюсь рассказать о том, как этот класс К-теории связан с многочленом переплетений дельта-матроидов

17 октября 2024

Mauro Artigiani (National University of Colombia)

Symmetries of infinite translation surfaces

A surface is of infinite topological type if its fundamental group is not finitely generated. In this talk, we will consider the following question: give an infinite type surface S and an abstract group G, is there a translation surface structure on S such that its isometry group is exactly G? We will also (partially) address the related question for Veech groups (linked to affinities of the translation surface). Our methods are inspired by the recent work on hyperbolic surfaces by Aougab, Patel and Vlamis. This is a joint work with A. Randecker, C. Sadanand, F. Valdez and G. Weitze-Schmithüsen.

10 октября 2024

Отчеты аспирантов

Максим Долгих

Consider a strictly convex domain T \subset R^{m+1} bounded by a smooth hypersurface X = \partial T. We are interested in lower bounds on the number of billiard trajectories in T. Estimates of these bounds in some cases are found by Farber and Tabachnikov, who used cohomology rings of certain Cyclic configuration spaces to obtain them. In this talk, we will discuss our attempts to generalise these estimates, and to potentially improve them using equivariant cohomology theory and Babenko's spectral sequence.

Александр Юран

Тема: Особенности А-дискриминанта
Пусть A -- конечное подмножество в Z^2. Рассмотрим векторное пространство C^A многочленов Лорана, представимых как линейная комбинация одночленов вида x^a*y^b, где точка (a,b) принадлежит A.
А-дискриминант --- это алгебраическое подмногообразие в С^A, состоящее из всех многочленов, определяющих на плоскости особую кривую. Изначально он был введён Гельфандом, Капрановым и Зелевинским для изучения свойств обобщённых гипергеометрических функций.
Мы считаем неприводимые компоненты множества особых точек А-дискриминанта. Среди них чаще всего выделяются две: нодальная (многочлены, определяющие кривую, у которой хоть две особенности) и каспидальная (многочлены, определяющие кривую с неморсовской особенностью).
Но для некоторых А эти компоненты внезапно распадаются на части: к примеру, когда все точки множества А лежат на одной параболе.
Мы геометрически классифицируем такие случаи. В этом нам помогает линейная алгебра, элементы теории особенностей и теория малочленов Хованского.

3 октября 2024

Алексей Зайцев

Геометрия грассманианов и матроиды

В докладе я кратко напомню, как связаны геометрия и матроиды. В частности, как по матроиду построить класс в К-теории грассманиана. Также я расскажу о классе в К-теории грассманиана, который соответствует многочлену Татта и, если успеем, об обобщении данной теории на полиматроиды и многоообразия флагов

6 июня 2024

С.М.Хорошкин

От цепочки Тода к системе Руджинарса

В отличие от цепочки Тода, квантовые системы Руджинарса — Макдональда не имеют естественной кластерной реализации. Однако ее можно построить, применив преобразование Уиттекера, т. е., перейдя в базис собственных функций цепочки Тода. Изложение следует работе Г. Шредера, А.Шапиро et. al. https://arxiv.org/abs/2402.14214, где разобран двухчастичный случай.

30 мая   2024

 Алексей Зайцев

 Путевые гомологии и гомотопическая теория направленных графов

 Я расскажу о теории путевых гомологий направленных графов, о новом подходе к этой теории, связанной с гомотопиями направленных графов, а также о том, чем я занимаюсь в этой теории

23 мая   2024

 Дмитрий Гуревич

 Алгебра Уравнения Отражений vs Квантовые группы

 Я предполагаю сравнить свойства и  приложения этих объектов, в том числе к интегрируемым системам. Также хочу обсудить возможные приложения к весовым системам

 Ссылка на запись семинара

16 мая   2024

М.Бланк (ИППИ, ВШЭ)

Случайны ли квадратичные вычеты и простые числа?

Апелляции к случайности в различных теоретико-числовых конструкциях регулярно встречаются в современных научных публикациях. Достаточно упомянуть такие известные имена, как В.И.Арнольд, М.Кац, Я.Г.Синай и Т.Тао. К сожалению, все это сводится к различным, хотя зачастую весьма нетривиальным и изящным эвристикам. Я опишу новый аналитический подход к решению этого вопроса. В качестве приложения, будет дан ожидаемый положительный ответ на вопрос о случайности квадратичных вычетов и неожиданный отрицательный ответ в случае простых чисел. Технически предлагаемый подход основан на принципиально новой конструкции энтропии динамической системы,
занимающей промежуточное положение между классической метрической энтропией Колмогорова-Синая и топологической энтропией. Все необходимые определения будут даны в ходе докладаа

Ссылка на запись семинара

25 апреля 2024

С.М. Воронин (Челябинск)

Теоремы Грауэрта и Савельева; примеры приложений. Что дальше?

Теоремы Грауэрта и Савельева дают описание двумерных окрестностей сферы CP^1. Это позволяет эффективно использовать их для решения многочисленных задач "на построение". Но что случится, если заменить сферу тором? Обсуждение соответствующих результатов и проблем - во второй половине доклада
Ссылка на запись семинара
 

18 апреля 2024

 Михаил Шапиро

Симплектический группоид и пространство Теихмюллера замкнутых поверхностей рода 2

Совместная работа с Л.Чеховым.

Симплектический группоид унипотентных верхнетреугольных матриц образован парами (A,B), где B невырожденная nxn матрица, а А  и BAB^t  - nxn унипотентные верxнетреугольные.

Симплектический группоид обладает стандартной симплектической формой определенной А.Вейнстейном. Проекция двойственной Пуассоновой структуры индуцирует скобку Пуассона на пространстве унипотентных верхнетреугольных матриц, изучавшуюся в работах Дубровина-Угаглии, Бондала и других.

Мы вычислим кластерную структуру совместимую с этой скобкой Пуассона на пространстве пар (А,BAB^t) и обсудим ее связь с пространствами Тейхмюллера. В качестве неожиданного побочного продукта мы получим кластерную структуру на накрытии пространства Тейхмюллера замкнутых гиперболических поверхностей рода 2.
Ссылка на запись семинара

11 апреля 2024

Алексей Гуляев

Комбинаторные методы в статфизике

Я расскажу про свою дипломную работу, предметом которой является статистика трехмерных куч на квадратной решетке. А именно, работа ставит целью нахождение темпа роста \Lambda числа H_N куч из N элементов, H_N \sim \Lambda^N, N>>1.

Следуя G.X. Viennot, я дам необходимые определения, в частности для heap monoid, моноида куч. Обсужу его значение в физических задачах, а также известные результаты для одномерных куч и использованные для их получения методы. Далее будет предложен способ обобщения этих методов на случай произвольного моноида куч.

Во второй части я коснусь следствий из леммы об обращении Виенно, связывающей производящую функцию куч и статсумму жесткого решеточного газа. В частности, будут получены \Lambda для пяти различных рекуррентно определяемых решеток, которые, в некотором смысле, аппроксимируют квадратную решетку.

 Ссылка на запись семинара

04 апреля 2024

П.Г.Зограф (ПОМИ и СПбГУ)

Тау-функция Бергмана и модули мероморфных форм на алгебраических кривых
(по совместной работе с Д.А.Короткиным)
Рассматривается  пространство модулей мероморфных 1-форм на комплексных алгебраических кривых с простыми полюсами и фиксированными вычетами. Тау-функция Бергмана на этом пространстве интерпретируется как сечение линейного расслоения и исследуется ее асимптотическое поведение вблизи границы. В качестве приложения прямой образ дивизора 1-форм с кратными нулями в пространстве модулей кривых раскладывается в линейную комбинацию стандартных образующих рациональной группы Пикара с явными коэффициентами, зависящими от вычетов

 Ссылка на запись семинара

21 марта 2024

Vladislav Pokidkin 

Discriminants of n equations of n variables

We will describe the number of components and their codimensions for discriminants of polynomial systems of n equations of n variables with prescribed Newton polytopes. If a tuple of polytopes is linearly dependent, then we show the discriminant is a sparse resultant of a subtuple, found by a matroid technique. In the linearly independent case, we recite components via the associated distributive lattice. The talk is focused on combinatorial techniques and is based on a work in progress.

14 марта 2024

М.Казарян, С.Ландо

Обсуждение задач к семинару

 29 февраля 2024

 Д. Корзун, Е. Ланина, А. Слепцов

 Проблема Джонса для узлов на 4 нитях

Мы обсудим новые подходы к проблеме Джонса -- вопросе о существовании нетривиального узла с тривиальным многочленом Джонса от одной переменной q. Было доказано, что полиномы Джонса для нетривиальных узлов на 2 и 3 нитях не равны единице. Вопрос о случае 4 нитей остаётся открытым, его мы и будем исследовать.
Мы обсудим, какие условия накладываются на полином ХОМФЛИ-ПТ (обобщающий полином Джонса полиномиальный инвариант от двух переменных A,q) при требовании его нетривиальности и тривиальности полинома Джонса для искомого узла на 4 нитях. Мы предъявим целый класс гипотетических полиномов ХОМФЛИ-ПТ. Мы приведем несколько подтверждений, что найденные полиномы действительно могут отвечать полиномам ХОМФЛИ-ПТ некоторых (пока что не известных нам) узлов. Во-первых, мы исследуем характеристическое, дифференциальное и пертурбативное разложения найденных полиномов. Во-вторых, мы приведем проверку на существование R-матричного представления гипотетической косы, и эта проверка окажется достаточно ограничительной. В-третьих, мы обсудим подход к поиску узлов с найденными гипотетическими полиномами ХОМФЛИ-ПТ с помощью представления косы через положительную косу и топологическую накрутку.

22 февраля 2024

А. Буряк (ВШЭ)

Подсчёт мероморфных дифференциалов на сфере Римана

Я планирую рассказать про нашу недавнюю работу с Паоло Росси, где мы вычислили количества мероморфных дифференциалов на сфере Римана с условиями зануления вычетов в заданном наборе полюсов. Требование, чтобы эти условия задавали конечное множество, естественно разбивает задачу на две серии. Мы полностью решили задачу в обоих случаях с помощью соотношений типа WDVV. В одном из случаев получающиеся числа мероморфных дифференциалов естественным образом задают многообразие Дубровина-Фробениуса, связанное с иерархией КП.

15 февраля 2024

В.М. Бухштабер (МИАН им. В.А. Стеклова, ФКН ВШЭ)

Дифференциальная алгебра многогранников и формулы обращения

В центре внимания доклада озучены результаты совместной статьи с А.П. Веселовым  (см. [1]).
Мы используем дифференциальную алгебру простых многогранников для объяснения замечательной связи комбинаторики ассоциэдров и пермутоэдров с формулами композиционного и мультипликативного  обращения формальных степенных рядов.
Наш подход позволил выделить ассоциэдры и пермутоэдры во множестве всех граф-ассоциэдров и показать важность дифференциальных уравнений в алгебре многогранников, введённой в [2].
Мы обсудим связь с геометрией компактификации Делиня-Мамфорда многообразия n различных точек на проективной прямой и представим новую интерпретацию комбинаторики циклоэдров в связи с классической формулой Фаа ди Бруно.
[1] V.M.BUCHSTABER, A.P.VESELOV, DIFFERENTIAL ALGEBRA OF POLYTOPES AND INVERSION FORMULAS, (http://arxiv.org/abs/2402.07168
[2] В. М. Бухштабер, “Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения”, Труды МИАН, 263, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 18–43;

8 февраля 2024

Nadezhda Kodaneva (ВШЭ)

Индуцирование многочлена переплетений из универсальной gl-весовой системы

Многочлен  переплетений - полиномиальный  инвариант графов и дельта-матроидов. Он был введен около 2000 г. и  с тех пор  интенсивно изучался.  В частности, я показала, что он удовлетворяет 4-членному соотношению и задает, тем  самым,  весовую систему. 

Цель доклада - описать подстановку переменных  в универсальную gl-весовую систему, превращающую ее в весовую систему, значения которой на хордовых диаграммах совпадают с многочленом переплетений их графов пересечений.

Универсальную gl-весовую систему недавно ввел Ян  Чжоке, основываясь на  идее М.Э.Казаряна. Она определена на перестановках (и на хордовых диаграммах как частном случае  перестановок) и принимает  значения в кольце многочленов от бесконечного числа переменных.

Доклад основан на статье "Polynomial graph invariants induced from the gl-weight system" N. Kodaneva, S. Lando, https://arxiv.org/abs/2312.17519

1 февраля 2024

 Г. Челноков

 Описание кусочно-полиномиальных инвариантов 4-колчанов

В теории кластерных алгебр важное место место занимает вопрос об описании орбит целочисленных колчанов (кососимметрических матриц) относительно кластерных мутаций.
Важность вопроса в сочетании с отсутствием существенных продвижений в нем за последние годы делает естественными попытки рассматривать близкие вопросы.

Одни из таких вопросов -- описание инвариантов кососимметрических матриц с действительными (а не только целыми) коэффициентами, лежащими в хороших классах функций. Настоящий доклад рассматривает кусочно-полиномиальные инварианты на кососимметрических матрицах размера 4, с дополнительным условием, что при фиксированных знаках матричных коэффициентов функция является многочленом (таким образом, весь инвариант состоит из не более чем 64 кусков многочленов).
Будет доказано, что все такие инварианты являются функциями от определителя матрицы. Результат обобщается на несколько более широкий класс функций, описание которого будет дано в ходе доклада.

25 января 2024

 С. Гусейн-Заде (ВШЭ)

 Вещественные аналоги ряда Пуанкаре

 Двадцать+ лет назад было показано, что ряд Пуанкаре набора нормирований на кольце голоморфных ростков на комплексной плоскости, определенных неприводимыми ветвями ростка кривой, (который изначально является аналитическим инвариантом) совпадает с многочленом Александера соответствующего алгебраического узла (который является инвариантом топологическим). Это утверждение остаётся в некотором смысле мистическим. Оно до сих пор не имеет концептуального объяснения. Все существующие доказательства состоят в (независимом) явном вычислении левых и правых частей равенства в одинаковых терминах и сравнении полученных результатов. Имеются несколько эквивалентных формул для ряда Пуанкаре наборов нормирований на кольце ростков голоморфных функций. (Формулы, отличные от исходного определения, иногда оказываются эффективным инструментом его вычисления.) Можно рассматривать наборы нормирований на кольце ростков вещественно аналитических функций от двух переменных. Адаптация формул для ряда Пуанкаре в комплексном случае к этой ситуации даёт различные аналоги ряда Пуанкаре, которые, похоже, тоже являются топологическими инвариантами. Возникает задача понимания этих инвариантов как топологических инвариантов узлов и/или зацеплений в трёхмерной сфере с выделенной вещественной частью.

18 января 2024

Ретинский В.И. (ВШЭ)

Соотношение между картами и полностью простыми картами через монотонные числа Гурвица 

Рассматрены карты с некоторыми выделенными гранями (можно считать выделенные грани граничными).
Если выделенные грани не самопересекаются и не пересекаются с другими выделенными гранями по вершинам, то такие карты называются полностью простыми. Оказывается, что задачи перечисления карт и полностью простых карт связаны между собой, и величины пересчитываются друг через друга, используя монотонные числа Гурвица. Этот факт является промежуточным для доказательства тополической рекурсии перечисления полностью простых карт, однако, сама топологическая рекурсия на докладе не обсуждалась.  Прошло обсуждение нескольких доказательств этого факта и про соответствующее обобщение для гиперкарт.