Семинар лаборатории 2024

 29 февраля 2024

 Д. Корзун, Е. Ланина, А. Слепцов

 Проблема Джонса для узлов на 4 нитях

Мы обсудим новые подходы к проблеме Джонса -- вопросе о существовании нетривиального узла с тривиальным многочленом Джонса от одной переменной q. Было доказано, что полиномы Джонса для нетривиальных узлов на 2 и 3 нитях не равны единице. Вопрос о случае 4 нитей остаётся открытым, его мы и будем исследовать.
Мы обсудим, какие условия накладываются на полином ХОМФЛИ-ПТ (обобщающий полином Джонса полиномиальный инвариант от двух переменных A,q) при требовании его нетривиальности и тривиальности полинома Джонса для искомого узла на 4 нитях. Мы предъявим целый класс гипотетических полиномов ХОМФЛИ-ПТ. Мы приведем несколько подтверждений, что найденные полиномы действительно могут отвечать полиномам ХОМФЛИ-ПТ некоторых (пока что не известных нам) узлов. Во-первых, мы исследуем характеристическое, дифференциальное и пертурбативное разложения найденных полиномов. Во-вторых, мы приведем проверку на существование R-матричного представления гипотетической косы, и эта проверка окажется достаточно ограничительной. В-третьих, мы обсудим подход к поиску узлов с найденными гипотетическими полиномами ХОМФЛИ-ПТ с помощью представления косы через положительную косу и топологическую накрутку.

22 февраля 2024

А. Буряк (ВШЭ)

Подсчёт мероморфных дифференциалов на сфере Римана

Я планирую рассказать про нашу недавнюю работу с Паоло Росси, где мы вычислили количества мероморфных дифференциалов на сфере Римана с условиями зануления вычетов в заданном наборе полюсов. Требование, чтобы эти условия задавали конечное множество, естественно разбивает задачу на две серии. Мы полностью решили задачу в обоих случаях с помощью соотношений типа WDVV. В одном из случаев получающиеся числа мероморфных дифференциалов естественным образом задают многообразие Дубровина-Фробениуса, связанное с иерархией КП.

15 февраля 2024

В.М. Бухштабер (МИАН им. В.А. Стеклова, ФКН ВШЭ)

Дифференциальная алгебра многогранников и формулы обращения

В центре внимания доклада озучены результаты совместной статьи с А.П. Веселовым  (см. [1]).
Мы используем дифференциальную алгебру простых многогранников для объяснения замечательной связи комбинаторики ассоциэдров и пермутоэдров с формулами композиционного и мультипликативного  обращения формальных степенных рядов.
Наш подход позволил выделить ассоциэдры и пермутоэдры во множестве всех граф-ассоциэдров и показать важность дифференциальных уравнений в алгебре многогранников, введённой в [2].
Мы обсудим связь с геометрией компактификации Делиня-Мамфорда многообразия n различных точек на проективной прямой и представим новую интерпретацию комбинаторики циклоэдров в связи с классической формулой Фаа ди Бруно.
[1] V.M.BUCHSTABER, A.P.VESELOV, DIFFERENTIAL ALGEBRA OF POLYTOPES AND INVERSION FORMULAS, (http://arxiv.org/abs/2402.07168
[2] В. М. Бухштабер, “Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения”, Труды МИАН, 263, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 18–43;

8 февраля 2024

Nadezhda Kodaneva (ВШЭ)

Индуцирование многочлена переплетений из универсальной gl-весовой системы

Многочлен  переплетений - полиномиальный  инвариант графов и дельта-матроидов. Он был введен около 2000 г. и  с тех пор  интенсивно изучался.  В частности, я показала, что он удовлетворяет 4-членному соотношению и задает, тем  самым,  весовую систему. 

Цель доклада - описать подстановку переменных  в универсальную gl-весовую систему, превращающую ее в весовую систему, значения которой на хордовых диаграммах совпадают с многочленом переплетений их графов пересечений.

Универсальную gl-весовую систему недавно ввел Ян  Чжоке, основываясь на  идее М.Э.Казаряна. Она определена на перестановках (и на хордовых диаграммах как частном случае  перестановок) и принимает  значения в кольце многочленов от бесконечного числа переменных.

Доклад основан на статье "Polynomial graph invariants induced from the gl-weight system" N. Kodaneva, S. Lando, https://arxiv.org/abs/2312.17519

1 февраля 2024

 Г. Челноков

 Описание кусочно-полиномиальных инвариантов 4-колчанов

В теории кластерных алгебр важное место место занимает вопрос об описании орбит целочисленных колчанов (кососимметрических матриц) относительно кластерных мутаций.
Важность вопроса в сочетании с отсутствием существенных продвижений в нем за последние годы делает естественными попытки рассматривать близкие вопросы.

Одни из таких вопросов -- описание инвариантов кососимметрических матриц с действительными (а не только целыми) коэффициентами, лежащими в хороших классах функций. Настоящий доклад рассматривает кусочно-полиномиальные инварианты на кососимметрических матрицах размера 4, с дополнительным условием, что при фиксированных знаках матричных коэффициентов функция является многочленом (таким образом, весь инвариант состоит из не более чем 64 кусков многочленов).
Будет доказано, что все такие инварианты являются функциями от определителя матрицы. Результат обобщается на несколько более широкий класс функций, описание которого будет дано в ходе доклада.

25 января 2024

 С. Гусейн-Заде (ВШЭ)

 Вещественные аналоги ряда Пуанкаре

 Двадцать+ лет назад было показано, что ряд Пуанкаре набора нормирований на кольце голоморфных ростков на комплексной плоскости, определенных неприводимыми ветвями ростка кривой, (который изначально является аналитическим инвариантом) совпадает с многочленом Александера соответствующего алгебраического узла (который является инвариантом топологическим). Это утверждение остаётся в некотором смысле мистическим. Оно до сих пор не имеет концептуального объяснения. Все существующие доказательства состоят в (независимом) явном вычислении левых и правых частей равенства в одинаковых терминах и сравнении полученных результатов. Имеются несколько эквивалентных формул для ряда Пуанкаре наборов нормирований на кольце ростков голоморфных функций. (Формулы, отличные от исходного определения, иногда оказываются эффективным инструментом его вычисления.) Можно рассматривать наборы нормирований на кольце ростков вещественно аналитических функций от двух переменных. Адаптация формул для ряда Пуанкаре в комплексном случае к этой ситуации даёт различные аналоги ряда Пуанкаре, которые, похоже, тоже являются топологическими инвариантами. Возникает задача понимания этих инвариантов как топологических инвариантов узлов и/или зацеплений в трёхмерной сфере с выделенной вещественной частью.

18 января 2024

Ретинский В.И. (ВШЭ)

Соотношение между картами и полностью простыми картами через монотонные числа Гурвица 

Рассматрены карты с некоторыми выделенными гранями (можно считать выделенные грани граничными).
Если выделенные грани не самопересекаются и не пересекаются с другими выделенными гранями по вершинам, то такие карты называются полностью простыми. Оказывается, что задачи перечисления карт и полностью простых карт связаны между собой, и величины пересчитываются друг через друга, используя монотонные числа Гурвица. Этот факт является промежуточным для доказательства тополической рекурсии перечисления полностью простых карт, однако, сама топологическая рекурсия на докладе не обсуждалась.  Прошло обсуждение нескольких доказательств этого факта и про соответствующее обобщение для гиперкарт.