Семинар лаборатории 2023
28 декабря 2023
Тельпуховский Игорь (Yang Mathematical Sciences Center, Beijing)
Критерий Мазура не выполняется в метрике Тёрстона. Ссылка на запись семинара
Мазур доказал, что если геодезическая Тейхмюллера не покидает все компактные подмножества пространства модулей, то ее вертикальное слоение единственно эргодично. Это базовый результат в динамике на пространствах Тейхмюллера. Однако, аналог этого утверждения не верен ни в метрике Вейля-Петерссона (Брок-Модами), ни в метрике Тёрстона (Т.). Я расскажу, почему он не выполняется в метрике Тёрстона. В процессе будет рассказано, как можно построить минимальные не единственно эргодические геодезические ламинации на поверхности комбинаторными методами.
21 декабря 2023
Р. Феслер
Числа Гурвица для групп отражений B и D. Ссылка на запись семинара
Классические числа Гурвица определяются как количество способов умножения транспозиций так, чтобы получить перестановку заданного циклического типа. Теперь известно, что производящая функция чисел Гурвица удовлетворяет параболическому УЧП второго порядка, называемому уравнением разрезания и соединения. В его правой части в качестве собственных векторов используются полиномы Шура, поэтому через них можно выразить числа Гурвица. Результат Окунькова о решетке Тоды означает, что одна и та же производящая функция является решением иерархии КП. Наконец, числа Гурвица — это количество способов приклеить ленты к набору дисков так, чтобы получить поверхность с заданной структурой границы. В этом докладе мы покажем, что существует параллельная теория чисел Гурвица для групп отражений серий B и D: транспозиции заменяются отражениями, разрезание и соединение для группы B фактически является тензорным квадратом классического разреза. -и-соединения, а разрезание-и-соединение для группы D представляет собой прямую сумму разрезания-и-соединения для B и классического разрезания и соединения, перемасштабированного. Это приводит к выражению чисел Гурвица для B и D через полиномы Шура. Производящая функция чисел Гурвица для группы отражений B представляет собой 2-параметрическое семейство тау-функций иерархии КП независимо от 2 переменных, и мы имеем аналогичный результат для D. Наконец, числа Гурвица для группы B включают ленту разложение поверхностей, снабженных инволюцией.
14 декабря 2023
М. Казарян.
x-y двойственность с логарифмическими особенностями (по совместным исследованиям с А.Александровым, Б.Бычковым, П.Дунин-Барковским, С.Шадриным). Ссылка на запись семинара
Я покажу, как замкнутые формулы для дифференциалов топологической рекурсии в различных ситуациях можно продолжать на случай, в котором у функций начальных данных рекурсии присутствуют логарифмические особенностей. Список примеров включает линейные и тройные ходжевы интегралы, интегралы по пространствам модулей, включающие тета-класс Норбури, различные варианты обобщенных чисел Гурвица, потенциал Огури-Вафы, и другие. Часть из полученных выражений были предложены в качестве гипотезы А.Хоком, но многие из них выходят за рамки его конструкции.
7 декабря 2023
И.В.Артамкин
Геометрия унимодулярных систем
23 ноября 2023
Е. Ланина (Физтех)
Симметрийный подход к изучению цветных полиномов узлов ХОМФЛИ . Ссылка на запись семинара
В начале я дам определения основных объектов исследования. А именно, я введу алгебру хордовых диаграмм и инварианты Васильева. Они составляют конструкцию универсального инварианта Васильева (интеграла Концевича). На алгебре хордовых диаграмм можно определить действие весовых систем алгебр Ли, образы этого линейного отображения ассоциированного с представлением алгебры Ли называются групповыми факторами. Я введу цветной полином ХОМФЛИ ("раскрашенный" представлением R) как весовую систему алгебры sl(N) ассоциированную с представлением R, примененную к интегралу Концевича. Затем я расскажу один из основных результатов своей диссертации: метод нахождения произвольного группового фактора с использованием симметрий полинома ХОМФЛИ. Я обсужу свойства инъективности и сюръективности весовой системы sl(N), а также расскажу про свой результат получения инвариантов Васильева высших порядков из цветного полинома ХОМФЛИ.
16 ноября 2023
А.Н.Сергеев
Комбинаторика неприводимых характеров супералгебры Ли gl(m|n) . Ссылка на запись семинара
Доказывается новая формула для характеров неприводимых представлений супералгебры Ли gl(m|n) аналогичная формуле Su-Zhang. Доказательство основано на алгоритме Дж. Брандана oписания проективных неразложимых моделей и тереме Бриона о производящей функции целых точек полиэдра.
09 ноября 2023
Сусуну Танабе (Университет Галатасарай)
Монодромия гипергеометрических функций ГЗК и гомологическая зеркальная симметрия. Ссылка на запись семинара
Начну с того, чтобы напомнить основные сведения касательно монодромии итнтегралов-периодов многообразия Калаби-Яо, которые можно рассматривать как А-гипергеометрические функции Гельфанда-Зелевинского-Капранова (ГГФ ГЗК). Наша основная задача заключается в том, чтобы описать глобальное аналитическое продолжение ГГФ ГЗК вдоль каждой петли, обходящей А-дискриминантное множество. Мы используем язык амёбы, чтобы явно выписать данное аналитическое продолжение. Вспоминаем монодромную теорему P. Horja, которую можно интерпретировать как вариант формулы Пикара-Лефшеца в нашей особой установке. Показываем, что в некоторых случаях, наша монодромная формула даёт косвенное подтверждение гомологической зеркальной симметрии, предложенной Концевицчем. Именно, мы показываем, что монодромное представление периодов некоторого многообразия Калаби-Яо выражается путём умножения на класс Тодда зеркально симметрического многообразия. Подобное описание монодромии имеет место и для гиперповерхности типа Дельсарта, определяемой обратимым многочленом (invertible polynomial).
26 октября 2023
Бычков Борис Сергеевич
x-y двойственность в топологической рекурсии. Ссылка на запись семинара
Начальные данные топологической рекурсии это четверка (\Sigma, x, y, B), где \Sigma это риманова поверхность, а x и y две мероморфные функции на ней. Будем называть x-y двойственной, топологическую рекурсию для начальных данных (\Sigma, y, x, B). Оказывается, дифференциалы этих двух топологических рекурсий связаны между собой явным образом. В докладе я расскажу про комбинаторную интерпретацию частного случая формулы x-y двойственности для перечисления карт, о некоторых следствиях формулы x-y двойственности, а также, возможно, о более общей симплектической двойственности.
19 октября 2023
Н. М. Коданева
Weight systems induced from the gl-weight system
12 октября 2023
П. А. Сапонов
Квантовые симметрические функции. Ссылка на запись семинара
В квантовой матричной алгебре имеются замечательные полиномы, построенные из ее некоммутативных образующих, которые принадлежат коммутативной (и даже центральной) подалгебре и проявляют свойства, близкие к свойствам обычных симметрических функций от коммутативных переменных. В частности, имеются квантовые аналоги симметрических функций Шура, степенных сумм и т.п. Я расскажу об их конструкции, взаимосвязях (типа квантовых тождеств Ньютона, Вронского и т.п.), выражениях через так называемый спектр квантовой матрицы и классический предел к обычным симметрическим функциям.
5 октября 2023
Комбинаторика инвариантов
Лейла Абубакарова
18: 10 Отчеты аспирантов. Ссылка на запись семинара
28 сентября 2023
Казарян Максим Эдуардович
Интегрируемые свойства перечисления карт. Ссылка на запись семинара
В докладе мы приведем обзор основных интегрируемых свойств, сопровождающих, как правило, задачи вокруг топологической рекурсии. Все эти свойства мы приведем на примере задачи перечисления карт и сопроводим изложение результатами интенсивных компьютерных экспериментов. Большинство этих свойств являются хорошо известными и уже не раз обсуждались на семинаре в том или ином виде. Вот примерный их список:
- комбинаторное вычисление корреляторов
- эволюционное уравнение
- уравнения Вирасоро
- разложение по функциям Шура
- иерархия КП
- топологическая рекурсия
- xy двойственность
- детерминантные формулы
- гауссов интеграл для ядра Бейкера-Ахиезера
22 -25 сентября 2023
Бычков Борис Сергеевич
Курс повышения квалификации по теме: "Симплектическая двойственность в топологической рекурсии"
https://math.hse.ru/cg/announcements/859163396.html
14 сентября 2023
Гуревич Д.И. (ИППИ, Москва)
Новые приложения алгебры отражений. Ссылка на запись семинара
Алгебра отражений - одна из квантовых матричных алгебр, которая может быть сопоставлена любому решению уравнения кос. Мы рассматриваем такие решения этого уравнения кос, которые называются симметриями Гекке. В каком-то смысле соответствующие алгебры отражений могут быть рассмотрены как аналоги обертывающих алгебр U(gl(N)). Многие аспекты этих алгебр, такие как деформационные свойства, теория представлений, были изучены раньше. В последнее время на основе этих алгебр удалось получить q-аналоги формулы Капелли, формулы Фробениуса, а также определить q-аналоги операторов Казимира и близких им операторов, используемых в теории, и реализовать их спектральный анализ. Я планирую рассказывать об этих новых результатах.
07 сентября 2023
Zhuoke Yang
Защита диссертации "Новые подходы к весовым системам, строящимся по алгебрам Ли"
Диссертация посвящена построению эффективных способов вычисления значений весовых систем, связанных с различными алгебрами Ли и супералгебрами Ли, и анализу их свойств.
Диссертация имеет следующую структуру:
В разделах 1–4 даны основные определения, в разделах 5–9 изложены основные результаты.
22 июня 2023
Юрий Бурман
Matrix-tree theorems and discrete path integration . Ссылка на запись семинара
15 июня 2023
В.Ю. Новокшенов
Распределение вещественных полюсов третьего трансцендента Пенлеве. Ссылка на запись семинара
Рассматривается специальное третье уравнение Пенлеве
$$
\frac{{{d^2}u}}{{d{x^2}}} = \frac{1}{u}{\left( {\frac{{du}}{{dx}}} \right)^2} - \frac{1}{x}\frac{{du}}{{dx}} + 4\frac{{(N - 1)\,{u^2} - N}}{x} + 4{u^3} - \frac{4}{u},\quad N=\mbox{const}.
$$
Вещественные решения этого уравнения применяются во многих моделях математической физики, таких как модель Гросса-Виттена-Вадьи, модель Полмайера-Редже и модели распределения осциллирующих мод в сильно демпфированном контакте Джозефсона. Все такие решения на положительной полуоси имеют гладкую осциллирующую асимптотику в нуле и последовательность полюсов в точках $x = a_k$, начиная с некоторого $x = a_0 > 0$.
Асимптотика полюсов при больших $x$ при фиксированном $N$ вычисляется методом изомонодромных деформаций, В докладе рассматривается другой асимптотический предел, $N \to \infty$, $x=O(1)$. .Доказывается, что в этом пределе существует счетное число вещественных полюсов и они совпадают с нулями функции Бесселя $\alpha J_N(2x) + \beta Y_N(2x)$, где коэффициенты $\alpha, \, \beta$ определяются из некоторых алгебраических уравнений.
01 июня 2023
Anton Dzhamay (University of Northern Colorado, USA)
Different Hamiltonians for Painlevé equations and their identification using geometry of the space of initial conditions . Ссылка на запись семинара
It is well-known that differential Painlevé equations can be written in a Hamiltonian form. However, a coordinate form of such representation is far from unique - there are many very different Hamiltonians that result in the same differential Painlevé equation. In this paper we describe a systematic procedure of finding changes of coordinates transforming different Hamiltonian systems into some canonical form. Our approach is based on the Okamoto-Sakais geometric approach to Painlevé equations. We explain this approach mainly using the differential P-IV equation as an example, but the procedure is general and can be easily adapted to other Painlevé equations as well. This is a joint work with Galina Filipuk, Adam Ligeza and Alex Stokes.
25 мая 2023
М. Казарян, С. Ландо
Обсуждение задач
18 мая 2023
Ирина Боброва
Non-Abelian Painleve equations . Ссылка на запись семинара
Non-abelian extensions of various integrable systems are one of the interests of modern mathematical physics. Due to the close connection between integrable models and the Painleve equations, the latter provide a good example of this phenomena. In the present talk, we will discuss classification problems related to non-abelian generalisations for the continuous and discrete Painleve equations. This talk is based on a series of papers joint with Vladimir Sokolov and an ongoing project with Vladimir Retakh, Vladimir Rubtsov, and Georgy Sharygin.
11 мая 2023
А. А. Басалаев
Hodge diamonds of the Landau-Ginzburg orbifolds . Ссылка на запись семинара
Landau-Ginzburg orbifolds are the pairs (f,G) with f being the quasihomogeneous polynomial with complex coefficients and only isolated ciritical points, G being the subgroup in the group of linear symmetries of f. Such objects became popular in the context of mirror symmetry. In particular in the search of the Calabi-Yau varieties with the Hodge diamonds differing by a "rotation". The bridge to the Landau-Ginzburg orbifolds is then given by the following observation. If the reduced weights of f sum up to 1, one can define a Calabi-Yau variety as the zero set {f = 0}/G. In this talk we will explain the role of Landau-Ginzburg orbifolds in mirror symmetry and show how one can work in mirror symmetry (as described above} from the point of view of singularity theory.
All necessary definitions will be given, the talk should be accessible for the 3rd year bachelor students.
20 апреля 2023
Ю.Белоусов
Меандрические диаграммы узлов, зацеплений и пространственных графов . Ссылка на запись семинара
Диаграмма узла называется полумеандрической, если она является объединением двух простых дуг. Если, кроме того, общие концы этих дуг лежат на границе выпуклой оболочки диаграммы, то такая диаграмма называется меандрической.
В работе L. Radovic, S. Jablan “Meander knots and links” были выдвинуты три гипотезы о классах полумеандрических и меандрических диаграмм узлов. А именно:
1) У любого узла имеется полумеандрическая диаграмма.
2) У любого узла имеется меандрическая диаграмма.
3) Среди минимальных диаграмм любого двухмостового узла имеется полумеандрическая.
Мне удалось доказать обобщения первых двух гипотез на случай пространственных графов, а также доказать третью гипотезу.
Справедливость первой гипотезы позволяет ввести новое семейство инвариантов узлов: для любого k>1 определим k-дуговое число перекрестков узла K как минимальное число перекрестков среди всех диаграмм узлов составленных из k простых дуг. Мною были получены оценки, связывающие k-дуговые числа перекрестков с классическим числом перекрестков.
Все необходимые определения будут даны в докладе.
13 апреля 2023
В.В. Соколов
О системах поглощающих проекторов для алгебр, порожденных квадратичными соотношениями . Ссылка на запись семинара
06 апреля 2023
М.Казарян
Топологическая рекурсия и интегрируемость КП . Ссылка на запись семинара
30 марта 2023
С.Ландо
gl-весовая система. Вопросы и гипотезы . Ссылка на запись семинара
23 марта 2023
Н.Вавилов
КОММУТАНТЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПОДГРУПП, FINAL STROKE . Ссылка на запись семинара
На протяжении последних 15 лет Рузби Хазрат, Алексей Степанов и мы опубликовали большое количество работ о строении взаимных коммутантов элементарных групп и конгруэнц-подгрупп. В этих работах, в частности, строились все меньшие и меньшие системы образующих для групп типа [E(Ф,R,A),E(Ф,R,B)], где A и B --- два идеала коммутативного кольца R, а Ф --- неприводимая система корней ранга >=2. В самое последнее время нам удалось получить окончательный результат, утверждающий, что взаимный коммутант [E(Ф,R,A),E(Ф,R,B)]=[E(Ф,A),E(Ф,B)], порождается уже просто элементарными коммутаторами [x_{\alpha}(a),x_{\beta}(b)], где \alpha,\beta\in Ф, a\in A, b\in B. Это совершенно удивительно, так как группы E(Ф,R,A) и E(Ф,R,B) НЕ порождаются элементарными образующими, а взаимный коммутант обычно требует для своего порождения гораздо больше образующих, чеми просто коммутаторы образующих. Это позволяет нам унифицировать, упростить и обобщить большое количество предшествующих результатов, таких как порождение элементарными сопряженными (Стайн, Титс, Васерштейн), относительная локализация, результаты ван дер Каллена и Степанова о сокращении набора образующих, ширине коммутаторов и т.д. Для случая GL(n,R) эти результаты опубликованы в нашей статье в Transformation groups, 28 (2023), no. 1, 487–504.
16 марта 2023
Р.Феслер
Hurwitz numbers for reflection groups B and D . Ссылка на запись семинара
It is now known that generating function of the Hurwitz numbers satisfies a second order parabolic PDE called the cut-and-join equation. Its right-hand side has Schur polynomials as eigenvectors, so the Hurwitz numbers can be expressed via them.
A result by Okounkov about Toda lattice implies that the same generating function is a solution of the KP hierarchy. Finally Hurwitz numbers are the numbers of ways to glue ribbons to a collection of disks so as to obtain a surface with a prescribed structure of the boundary.
In this talk we will show that there is a parallel theory of Hurwitz numbers for the reflection groups of series B and D : transpositions are replaced by reflections, the cut-and-join for the group B is actually a tensor square of the classical cut-and-join, and the cut-and-join for the D group is a direct sum of the cut-and-join for B and the classical cut-and-join rescaled. This leads to an expression of the Hurwitz numbers for B and D via Schur polynomials. The generating function for the Hurwitz numbers for the reflection group B is a 2-parameter family of tau-functions of the KP hierarchy, independently in 2 variables, and we have a similar result for D. Finally Hurwitz numbers for the group B involve ribbon decomposition of surfaces equipped with an involution.
9 марта 2023
Л.Рыбников
Подалгебры Бете в янгиане и их классические пределы . Ссылка на запись семинара
коммутативных подалгебр Бете в янгиане, параметризованном элементами присоединенной группы G. В частности, явно построю образующие этих алгебр в случае $G=PGL_n$, дам простой критерий принадлежности элемента подалгебре Бете и опишу классические пределы подалгебр Бете. Доклад основан на серии совместных работ с Алексеем Ильиным.
2 марта 2023
С. Хорошкин
Об обобщениях свойства ПБВ . Ссылка на запись семинара
Оказывается, что аналогичное свойство ПБВ может быть сформулирована и проверено для различных других алгебраических структур, таких, как, например, пара согласованных скобок Ли или прелиевских алгебр Ли и даже может быть проверена для гомотопических алгебр Ли.
Для этого оказывается очень удобен язык базисов Гребнера для операд. Все необходимые определения из теории операд будут даны.
Доклад основан на статьях arXiv:1807.05873 и arXiv:2003.06055, недавно опубликованных в IMRN и в LMP.
16 февраля 2023
М.Казарян
Нерегулярная топологическая рекурсия . Ссылка на запись семинара
09 февраля 2023
S.Dzhenzher, A.Skopenkov
A quadratic estimation for the K\"uhnel conjecture, arXiv:2208.04188 . Ссылка на запись семинара
The classical Heawood inequality states that if the complete graph $K_n$ on $n$ vertices is embeddable into the sphere with $g$ handles, then $g \ge \dfrac{(n-3)(n-4)}{12}$.
A higher-dimensional analogue of the Heawood inequality is the K\"uhnel conjecture.
In a simplified form it states that \emph{for every integer $k>0$ there is $c_k>0$ such that if the union of $k$-faces of $n$-simplex embeds into the connected sum of $g$ copies of the Cartesian product $S^k\times S^k$ of two $k$-dimensional spheres, then $g \ge c_k n^{k+1}$}.
For $k>1$ only linear estimates were known. We present a quadratic estimate $g \ge c_kn^2$. The proof is based on beautiful and fruitful interplay between geometric topology, combinatorics and linear algebra.
02 февраля 2023
В.Е. Лопаткин
Меандры и матрицы; туда и обратно . Ссылка на запись семинара
В данном докладе будет идти речь о том, как можно кодировать меандровые перестановки квадратными матрицами над полем из двух элементов.
Мы описываем такие матрицы и показываем, что они удовлетворяют квадратному уравнению над полем из двух элементов. Основой такого подхода является техника реализации диаграмм Гаусса и понятие образующих Тёрстона для групп кос. Фактически, каждому меандру ставится в соответствие диаграмма Гаусса. Далее мы заметим, что такая диаграмма может быть рассмотрена как образующая Тёрстона группы кос. Это позволит нам по произвольной перестановке построить квадратную матрицу, и, используя признаки реализуемости диаграмм Гаусса, мы и получаем необходимое и достаточное условие того, когда перестановка будет меандровой в терминах этой матрицы.
26 января 2023
Elise Goujard (Universit´e de Bordeaux)
Volumes of odd strata of quadratic differentials. Ссылка на запись семинара
I will present a formula giving the Masur-Veech volumes of ”completed” odd strata of quadratic differentials as a sum over stable graphs. This formula generalizes Delecroix-G-Zograf-Zorich formula in the case of principal strata. The coefficients of the formula are in this case intersection numbers of psi classes with the Witten-Kontsevich combinatorial classes; they naturally appear in the count of integer metrics on ribbon graphs with prescribed odd valencies. The study of the possible degenerations of these ribbon graphs allows to express the difference between the volume of the "completed" stratum and the volume of the stratum as a linear combination of volumes of boundary strata, with explicit rational coefficients. Several conjectures on the large genus asymptotics of volumes or distribution of cylinders follow from this formula. (work in progress with E. Duryev and I.Yakovlev).
19 января 2023
Денис Лысков
Торические многообразия, ассоциированные с графами, и Реконнектады. Ссылка на запись семинара
В докладе описан класс торических многообразий, ассоциированных с политопами, называемыми в литературе “Graph Associohedrons”. Известные в литературе Losev-Manin moduli spaces и Brick Manifolds являются частными случаями этой конструкции. Операция вырезания подграфов из графа индуцирует на классе торических многообразий алгебраическую структуру, которую мы назвали “Reconnectads ”. С помощью этой структуры мы опишем внутреннею геометрию и гомологии этого класса многообразий используя красивую комбинаторику графов. Во время доклада мы также обсудим общие конструкции и другие интересные примеры reconnectads.
Доклад основан на препринте докладчика совместно с В.Доценко и А.Келти arXiv:2211.15754.
Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.