Семинары лаборатории 2022
Семинар проходит на факультете математики НИУ ВШЭ, по четвергам в 18:10 в аудитории 427 и онлайн в Zoom (ссылка по запросу у организатора)
Информацию о предыдущих заседаниях семинара можно найти, перейдя по ссылке MathNet
15 декабря 2022
Производные группы Пикара симметрических алгебр и мутации деревьев Брауэра . Ссылка на запись семинара
Фактор-пространство этого множества по действию этой группы называется фактором этой группы. Фактором фуксовой группы является пара римановых поверхностей, симметричных друг другу. Теория квазиконформных отображений позволяет, грубо говоря, для любой пары гомеоморфных римановых поверхностей конечного типа построить группу, фактором которой является эта пара. Такая группа называется квазифуксовой. Квазифуксовы группы находятся в естественном соответствии с пространством Тейхмюллера. Для римановых поверхностей конечного типа $g,n$ они образуют ограниченное открытое множество в пространстве $C^N, N = 3g - 3 +n$. Граничные точки этого множества - клейновы группы с причудливо устроенными факторами. Описание этих факторов и составляет теорию Берса - Маскита.
24 ноября 2022
Ю.С.Ильяшенко
Компактификация пространства Тейхмюллера по Берсу - Маскиту . Ссылка на запись семинара
Фактор-пространство этого множества по действию этой группы называется фактором этой группы. Фактором фуксовой группы является пара римановых поверхностей, симметричных друг другу. Теория квазиконформных отображений позволяет, грубо говоря, для любой пары гомеоморфных римановых поверхностей конечного типа построить группу, фактором которой является эта пара. Такая группа называется квазифуксовой. Квазифуксовы группы находятся в естественном соответствии с пространством Тейхмюллера. Для римановых поверхностей конечного типа $g,n$ они образуют ограниченное открытое множество в пространстве $C^N, N = 3g - 3 +n$. Граничные точки этого множества - клейновы группы с причудливо устроенными факторами. Описание этих факторов и составляет теорию Берса - Маскита.
17 ноября 2022
А.Б.Богатырёв (ИВМ РАН)
Компоненты пространства уравнений Пелля-Абеля с примитивным решением данной степени . Ссылка на запись семинара
Сегодня оно широко используется в теории аппроксимации, алгебраической геометрии, эллиптических бильярдах и проч. Мы находим число связных компонент в пространстве уравнений Пелля-Абеля, допускающих примитивное решение заданной степени.
10 ноября 2022
Сергей Хорошкин
Wave functions of hyperbolic Sutherland model. Ссылка на запись семинара
27 октября 2022
Евгений Красильников
Полиномиальные вещественные числа Гурвица. Ссылка на запись семинара
Мы дадим соответствующие определения, следуя работам И. Итенберга, Д. Звонкина (2016) и El Hilany, J. Rau (2019), разберём ряд наглядных примеров, обсудим полученные результаты вычислений и возможные направления дальнейших исследований.
20 октября 2022
Михаил Шапиро
Симплектический группоид и параметризация Римановых поверхностей рода 2 без границ . Ссылка на запись семинара
Совместная работа с Л.Чеховым.
13 октября 2022
М. Казарян
Вокруг гипотезы Казаряна-Норбури . Ссылка на запись семинара
06 октября 2022
А.И.Аптекарев (Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН)
Асимптотика окрашенных многочленов Джонса . Ссылка на запись семинара
Мы обсудим асимптотику окрашенных многочленов Джонса, которая стоит в левой части знаменитой гипотезы о гиперболическом объёме дополнения .узла в трехмерной сфере. Стартовой точкой нашего рассмотрения являются q-рекуррентные соотношения, определяющие эти многочлены. Проводя ВКБ анализ общего решения соответствующего q-разностного уравнения, мы получили формулу для асимптотического базиса решений. Основная интрига заключается в том, что частное решение -- окрашенные многочлены Джонса, - не находятся в «общем положений» в этом базисе. Мы провели численное исследование простейших 5-ти узлов, которое дало нам необходимую информацию об этом частном решении и позволило сформулировать гипотезу об асимптотике окрашенных многочленов Джонса.
29 сентября 2022
Y. Burman
Twisted Hurwitz numbers and Laplace--Beltrami operator . Ссылка на запись семинара
Classical Hurwitz numbers enumerate, among other things, graphs embedded into an oriented surface with boundary, with all the vertices on the boundary. This definition can be "twisted" allowing unoriented surfaces. The twisted Hurwitz numbers obtained collect into a generating function satisfying a PDE of Laplace--Beltrami family; another member of the family is the classical cut-and-join equation. This leads to an explicit formula for the twisted numbers involving zonal polynomials in the same way as classical Hurwitz numbers are expressed via Schur polynomials.
Algebraically, a classical Hurwitz number is, up to a factorial factor, the number of strings of transpositions in the permutation group S_n such that their product has a prescribed cyclic
type. Twisted Hurwitz numbers have a similar but more complicated description: the strings of transposition (in the group S_{2n}) are assumed to have a certain type of symmetry, and the product should belong to a particular conjugacy class of S_{2n} by its subgroup G isomorphic to the finite reflection group B_n.
This is a joint work with Raphael Fesler. We are going to discuss these definitions of the twisted Hurwitz numbers, as well as some other, e.g. the one involving ramified coverings (it was in fact known before our article appeared).
08 сентября 2022
С. Оревков (университет Тулузы)
Уравнения Фредгольма в задаче о перечислении целочисленных триангуляций . Ссылка на запись семинара
Пусть $f(m,n)$ --- число примитивных триангуляций прямоугольника $m\times n$ с вершинами в целых точках. Мы вычисляем пределы $\lim_n f(m,n)^{1/n}$ при m=2 и 3. При m=2 мы находим находим точное значение предела, равное $(611+\sqrt{73})/36$. При m=3 мы выражаем предел в терминах решения некоторого интегрального уравнения
Фредгольма на производящие функции. Это дает алгоритм, вычисляющий значение предела с любой точностью за полиномиальное время (полиномиальное относительно количества найденных цифр).
23 июня 2022
Михаил Берштейн, Андрей Маршаков
Мутации, редукции и уравнения Пенлеве (продолжение). Ссылка на запись семинара
Интегрируемые системы Гончарова Кеньона строятся по двудольному графу на торе. Эти интегрируемые системы являются кластерными. Они сохраняются при мутации в четырехугольной грани двудольного графа. В терминах соответствующего кластерного многообразия — это обычные мутации в вершинах степени 4
Оказывается, что есть другой класс преобразований, который сохраняет эти интегрируемые системы — это мутации зиг-загов длины 4. При этих преобразованиях кластерный колчан сохраняется. Можно определить аналогичные мутации для зиг-загов большей длины, оказывается, что они выводят из класса систем Гончарова-Кеньона, получившийся класс систем видимо состоит из кластерных гамильтоновых редукций систем Гончарова-Кеньона.
Часть мотивации приходит из изучения q-разностных уравнений Пенлеве. Все они, кроме двух самых общих, являются деавтономизациями кластерных интегрируемых систем Гончарова-Кеньона. Благодаря добавлению гамильтоновых редукция удается найти и два недостающих уравнения.
16 июня 2022
Михаил Берштейн, Андрей Маршаков
Мутации, редукции и уравнения Пенлеве. Ссылка на запись семинара
Интегрируемые системы Гончарова Кеньона строятся по двудольному графу на торе. Эти интегрируемые системы являются кластерными. Они сохраняются при мутации в четырехугольной грани двудольного графа. В терминах соответствующего кластерного многообразия — это обычные мутации в вершинах степени 4
Оказывается, что есть другой класс преобразований, который сохраняет эти интегрируемые системы — это мутации зиг-загов длины 4. При этих преобразованиях кластерный колчан сохраняется. Можно определить аналогичные мутации для зиг-загов большей длины, оказывается, что они выводят из класса систем Гончарова-Кеньона, получившийся класс систем видимо состоит из кластерных гамильтоновых редукций систем Гончарова-Кеньона.
Часть мотивации приходит из изучения q-разностных уравнений Пенлеве. Все они, кроме двух самых общих, являются деавтономизациями кластерных интегрируемых систем Гончарова-Кеньона. Благодаря добавлению гамильтоновых редукция удается найти и два недостающих уравнения.
07 июня 2022
Алексей Андреев (МФТИ)
Интегральные модели для чисел целых точек и триангуляций выпуклых многогранников. Ссылка на запись семинара
Интегральные (матричные) модели являются эффективным инструментом изучения разнообразных комбинаторных задач. Такой подход позволяет строить интегральные представления комбинаторных величин или их производящих функций. Основным преимуществом интегрального представления является существование естественных тождеств Уорда, которые могут давать нетривиальные соотношения на изначальные комбинаторные величины. Кроме того, матричные модели являются нульмерными квантовыми теориями поля, а потому, позволяют применять методы квантовой теории поля для изучения комбинаторики.
Я расскажу, как можно пытаться применить технику матричных моделей для изучения комбинаторики выпуклых целочисленных многогранников. Основными объектами изучения являются количество точек целочисленной решетки внутри такого многогранника и его всевозможные триангуляции. В докладе будут приведены две различных интегральных модели, перечисляющих в некотором виде эти комбинаторные величины. Затем будет показано, как вывести некоторые тождества Уорда в данных моделях, и к каким комбинаторным соотношениям они приводят.
02 июня 2022
Данил Губаревич
Вычисления в когомологических теориях поля типа Пикара . Ссылка на запись семинара
Не так давно возник интерес к изучению геометрии и теории пересечений на стэках Пикара семейств отмеченных кривых с линейным расслоением. Интерес мотивирован желанием построить универсальный цикл двойного ветвления, не строя при этом новый «универсальный» виртуальный фундаментальный класс пространства модулей стабильных относительных отображений, который бы давал обычный цикл двойного ветвления, параметризующий накрытия проективной прямой с заданным профилем ветвления над нулем и бесконечностью, как частный случай. Следом за этим возник интерес изучить когомологические теории поля типа Пикара, принимающие значения теперь в когомологиях стэка Пикара. Оказывается, что на пространстве таких теорий поля, так же как и для обычных (типа Делиня-Мамфорда) теорий поля, есть действие группы Гивенталя, но зависящей теперь от нового параметра.
В докладе, после небольшого введения, я попробую рассказать о вычислении R-матрицы такого действия на простом, но нетривиальном, примере одномерной когомологической теории поля типа Пикара.
26 мая 2022
Арина Воорхаар
Newton polytopes, sparse resultants and enumeration of singularities . Ссылка на запись семинара
We will discuss the following two problems, arising in elimination theory in the context of Newton polytopes. The first one is to compute the signs of the leading coefficients of the sparse mixed resultant. The second problem concerns the singular points of a plane projection of a complete intersection curve given by a generic system of polynomials with given support. In a broader sense, the talk is devoted to new methods of enumeration of singularities which arise naturally in the context of Newton polytopes and sparse polynomials. As an application of the obtained methods we describe the Newton polytope of the Morse discriminant — the closure of the set of all non-Morse polynomials of a given degree.
19 мая 2022
Лада Дудникова
Обратная задача монодромии на римановой поверхности. Ссылка на запись семинара
Обратная задача монодромии на сфере формулируется так: пусть есть n-мерное представление фундаментальной группы сферы с выколотыми точками. Рассмотрим тривиальное n-мерное расслоение. Когда найдётся мероморфная связность в этом расслоении с полюсами первого порядка в отмеченных точках такая, что её базис плоских сечений изменяется в соответствии с заданным представлением монодромии? Есть несколько результатов, такие как существование решения ОЗМ в случае, если представление неприводимо или хотя бы одна матрица диагонализуется. Я расскажу про левелевские базисы сечений -- специальные базисы, существующие в случае, если связность в точке имеет регулярную особенность, понятие показателей связности и и разберу один контрпример к ОЗМ на Сфере.Задачу можно обобщить на случай Римановой поверхности, в докладе мы заменим требование тривиальности расслоения на требование, предъявляемое к степеням подрасслоений расслоения. Если останется время, я попробую объяснить доказательство Болибруха о существовании решения ОЗМ на Римановой поверхности для неприводимой монодромии.
12 мая 2022
Renzo Cavalieri (Colorado State University, USA)
A log/tropical take on double Hurwitz numbers
After a review of some classical results about double Hurwitz numbers, I will present some recent joint work with Hannah Markwig and Dhruv Ranganathan, in which we interpret double Hurwitz numbers as intersection numbers of the double ramification cycle with a logarithmic boundary class on the moduli space of curves. This approach removes the "need" for a branch morphism and therefore allows the generalization to related enumerative problems on moduli spaces of pluricanonical divisors - which have a natural combinatorial structure coming from their tropical interpretation.
28 апреля 2022
Максим Казарян
Симплектическая двойственность для топологической рекурсии (совместно с Б.Бычковым, П.Дуниным-Барковским и С.Шадриным, work in progress). Ссылка на запись семинара
Имеется огромное количество перечислительных задач, ответ на которые кодируется в коэффициентах Тейлора последовательности так называемых m-точечных корреляционных функций. Топологическая рекурсия (рекурсия Чехова-Эйнара-Орантена) — индуктивная процедура для явного вычисления этих функций в замкнутой форме исходя из сравнительно небольшого набора начальных данных. Незначительная надстройка задачи приводит к набору (m,n)-точечных функций для произвольных натуральных m и n, таких что значения параметров (m,0) соответствует исходным функциям. Оказывается, что последовательность (0,n)-точечных функций также удовлетворяет своей топологической рекурсии с другими, своими собственными, начальными данными. Ранее этот факт был известен для двухматричной модели и задачи перечисления (гипер)карт. В этом случае две топологические рекурсии связаны между собой так называемой x-y двойственностью, хорошо известной в общем формализме топологической рекурсии. Мы обобщаем этот факт на случай перечисления обобщенных чисел Гурвица. x-y двойственность в буквальном смысле не выполняется, ее аналогом для обобщенных чисел Гурвица служит то, что мы называем симплектической двойственностью.
14 апреля 2022
Дмитрий Звонкин (CNRS)
Формула Кюннета, инварианты Громова-Виттена и теория инвариантов. Ссылка на запись семинара
Этот доклад является продолжением рассказа об инвариантах Громова-Виттена полных пересечений, но в большой степени от него независим. В первой части я рассказывал, что инварианты Громова-Виттена полных пересечений можно рассматривать как мультилинейные формы на векторном пространстве с действием либо ортогональной, либо симплектической группы, причём формы должны быть инвариантами этого действия. Задача второго доклада -- описать пространство таких инвариантных мультилинейных форм и доказать, что нодальные инварианты Громова-Виттена дают достаточно информации, чтобы найти неизвестный элемент этого пространства. Доказательство использует теорию представлений ортогональной и симплектической групп, а также группы перестановок.
24 марта 2022
А. М. Леонтович (МГУ)
Оценки снизу для числа отображений деревьев в произвольные графы. Улучшение оценки А.Ф. Сидоренко. Ссылка на запись семинара
Хотелось бы получить хорошие оценки для числа отображений графа в граф, исходя из степеней вершин графа . Особенно интересно это сделать в случае, когда граф является деревом. В случае оценок сверху такая неулучшаемая оценка была получена А.Ф. Сидоренко. Эта оценка неулучшаема, если дерево является звездой с ребрами. (Звезда – это дерево, у которого имеется одна центральная вершина, соединенная ребрами со всеми остальными вершинами.) В случае оценок снизу тем же А.Ф. Сидоренко была получена хорошая оценка. Если средняя степень вершин -- целое число, то эта оценка А.Ф. Сидоренко неулучшаема. Однако в случае, когда средняя степень не является целым числом, то эту оценку можно улучшить. Это и делается в настоящей работе. Для этого задача обобщается – рассматривается более общий объект, нежели обычные графы – берутся так называемые взвешенные графы, когда каждой паре вершин графа вместо ребра сопоставляется некоторое число («вес» «ребра» ), которое может быть нецелым числом. При этом берутся только такие взвешенные графы, у которых степени всех вершин являются целыми числами (хотя веса могут быть нецелыми числами). Для таких взвешенных графов справедливы оба упомянутые выше утверждения А.Ф. Сидоренко. Но оценка снизу А.Ф. Сидоренко (в случае нецелого значения средней степени вершин) не будет точной. В настоящей работе для такого рода взвешенных графов в случае, когда -- это так называемый линейный граф, получены неулучшаемые точные оценки, и они отличаются от оценки А.Ф. Сидоренко (если -- нецелое число). (Линейный граф -- это дерево с ребрами и с вершиной, среди которых имеются 2 концевых вершины, а остальные вершины являются вершинами степени 2.) Эти оценки снизу для величины получаются исходя из вычисления минимального значения величины -- максимального собственного числа матрицы инцидентности для взвешенных графов с фиксированным значением средней степени . Предполагается, что та же самая оценка снизу для величины остается верной и для любого дерева.
17 марта 2022
Дмитрий Звонкин (CNRS)
Инварианты Громова-Виттена полных пересечений Ссылка на запись семинара
Мы приведём алгоритм подсчёта всех инвариантов Громова-Виттена (ИГВ) полных пересечений. Для подсчёта используется формула вырождения Джуна Ли: она позволяет выразить ИГВ полного пересечения через ИГВ более простых полных пересечений. Главная трудность состоит в том, что, в общем случае, эту формулу нельзя применить к ИГВ с примитивными классами когомологий. Мы обходим эту трудность, используя простые нодальные ИГВ. В них не используются примитивные классы когомологий, но вместо этого разрешается требовать от кривой заранее заданных особенностей (простых самопересечений). Существование алгоритма для вычисления ИГВ полных пересечений вытекает из двух утверждений. (1) Простые нодальные ИГВ можно вычислить с помощью формулы вырождения Джуна Ли. (2) Простых нодальных ИГВ достаточно, чтобы вычислить все ИГВ полного пересечения. Первое утверждение доказывается геометрически, второе с помощью теории представлений. Доклад по совместной работе с Хюльей Аргюз, Пьерриком Буссо и Рахулом Пандарипанде.
24 февраля 2022
Антон Зорич (Центр Перспективных Исследований (Сколтех) и Университет Парижа)
Случайные мультикривые на поверхностях, случайные поверхности в клеточку и подсчёт меандров на поверхностях. Лекция 2. Ссылка на запись семинара
Лекция 3. Подсчет меандров с фиксированным числом минимальных дуг. Подсчет меандров и ориентированных меандров на поверхностях любого рода.
Lecture 3. Enumeration of meanders and volumes of moduli spaces of quadratic differentials
17 февраля 2022
Антон Зорич (Центр Перспективных Исследований (Сколтех) и Университет Парижа)
Случайные мультикривые на поверхностях, случайные поверхности в клеточку и подсчёт меандров на поверхностях. Лекция 2. Ссылка на запись семинара
Лекция 2. Мультикривые на поверхностях. Асимптотика числа простых замкнутых несамопересекающихся геодезических ограниченной длины на гиперболической поверхности (следуя Мариам Мирзахани). Частоты простых замкнутых мультигеодезических. Описание случайных мультикривых на поверхностях большого рода и случайных поверхностей в клеточку большого рода.
Lecture 2. Count of simple closed geodesics on Riemann surfaces (after Maryam Mirzakhani).
10 февраля 2022
Антон Зорич (Центр Перспективных Исследований (Сколтех) и Университет Парижа)
Случайные мультикривые на поверхностях, случайные поверхности в клеточку и подсчёт меандров на поверхностях. Лекция 1. Ссылка на запись семинара
Лекция 1. Корреляторы Виттена-Концевича (числа пересечение пси-классов). Подсчет числа метрических ленточных графов (следуя Концевичу и Норбури). Подсчет числа поверхностей в клеточку. Объемы Мэйзура-Вича пространства модулей абелевых и квадратичных дифференциалов.
Lecture 1. Count of square-tiled surfaces
03 февраля 2022
Евгений Фейгин (ВШЭ)
Колчанные грассманианы и вполне неотрицательные грассманианы Ссылка на запись семинара
Вполне неотрицательные грассманианы обладают рядом замечательных свойств. В частности, Постниковым было построено клеточное разбиение, а множество клеток было отождествлено с множеством грассмановых ожерелий. Мы построим семейство колчанных грассманианов для циклических колчанов и покажем, что клетки в клеточном разбиении этих грассманианов также естественно параметризуются грассмановыми ожерельями. Построенные нами колчанные грассманианы обладают рядом интересных комбинаторных и алгебро-геометрических свойств, которые мы обсудим в докладе. По совместной работе с Мартиной Ланини и Александром Пютцем.
27 января 2022
Глеб Кошевой (ИППИ и ВШЭ)
Максимальные зелёные последовательности Ссылка на запись семинара
Для колчана без петель и 2-циклов, Бернард Келлер ввел понятие максимальной зеленой последовательности. Есть много полезных следствий для кластерной алгебры, связанной с колчаном у которого такая последовательность существует. Например, инвариант Дональдсона-Томаса можно вычислить как произведение квантовых дилогарифмов, связанным с g-векторами для такой последовательности. Тета-базисы, построенные Гроссом, Хакингом, Килом и Концевичем, являются каноническими, для кластерных алгебр с колчанами, для которых максимальная зеленая последовательность существует. В физике, максимальные зеленые последовательности возникают при вычислении спектров BPS состояний. Простейший пример колчана с максимальной зеленой последовательностью - ациклический колчан. Но ацикличные колчаны малая часть колчанов с максимальной зеленой последовательностью. Совместно с Фолькером Генцем и Бернардом Келлером мы доказали, что существует максимальная зеленая последовательность для колчана, являющегося треугольным произведением колчана Дынкина классического типа и колчана, допускающего максимальную зеленую последовательность. Хотя формулировка максимальной зеленой последовательности элементарная и для ациклического колчана доказательство элементарно, однако для треугольного произведения, доказательство использует производные категории. Как следствие получаем, что треугольное произведение двух колчанов Дынкина имеет максимальную зеленую последовательность. Из этого следует, что тета базис Гросса-Хакинга-Кила-Концевича является каноническим базисом для двойных клеток Брюа.
20 января 2022
А. Ионов (ВШЭ)
Эквивариантная теория особенностей и зеркальная симметрия для многочленов Ферма с неабелевой группой симметрий Ссылка на запись семинара
Начиная с работ физиков конца 80х, так называемые орбифолды Ландау-Гинзбурга (f, G) широко изучаются в математической физике и математике. Тем не менее до сих пор большинство известных результатов относятся к орбифолдам, для которых G является абелевой группой.
Пусть f=x_1^n+...+x_N^n, а G является подгруппой полупрямого произведения симметрической группы S_N, переставляющей координаты, и группы диагональных симметрий f. Я расскажу о том, как вычислить гомологические инварианты для таких орбифолдов ЛГ, такие как когомологии Хохшильда, категории G-эквивариантных матричных факторизаций f. Я также расскажу об отображение зеркальной симметрии между когомологиями Хохшильда такого рода пар двойственных по Эбелингу--Гусейну-Заде.
Доклад основан, в том числе, на результатах полученных совместно с А. Басалаевым.
Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.