Вячеслав Жуков - предзащита диссертации на соискание ученой степени кандидата наук

Тема диссертации: Комбинаторные аспекты инвариантов топологических объектов

Настоящая диссертация посвящена комбинаторным аспектам теории инвариантов узлов и зацеплений конечного порядка (инвариантов Васильева).

Теория Васильева связывает между собой инварианты топологических объектов --- узлов и зацеплений --- и инварианты комбинаторных объектов --- вложенных графов. Доказанная в 1993 г. М. Концевичем теорема утверждает, что набор указанных В. А. Васильевым ограничений на получающиеся инварианты вложенных графов является полным. Другими словами, изучение весовых систем --- инвариантов вложенных графов, удовлетворяющих соотношениям Васильева, --- эквивалентно изучению инвариантов конечного порядка узлов и зацеплений. Тем самым, изучение весовых систем способно пролить свет на теорию инвариантов зацеплений.

Одной из центральных задач в теории инвариантов конечного порядка является конструирование таких инвариантов. Оно может быть выполнено в терминах предъявления весовых систем.

Зачастую конструируемые инварианты вложенных графов выражаются на языке
дельта-матроидов. Теория дельта-матроидов была разработана А. Буше в 80-х годах
прошлого века. Дельта-матроид оказался удобным комбинаторным объектом, кодирующим целый ряд важных
свойств как графов, так и вложенных графов.
Один из главных результатов диссертации состоит в перенесении понятия весовой системы на инварианты
дельта-матроидов.

Другим важным инструментом изучения весовых систем является опора на их алгебраические свойства. Как показал М. Концевич, пространство, порожденное хордовыми диаграммами по модулю соотношений Васильева, наделено естественной структурой коммутативной кокоммутативной градуированной алгебры Хопфа. Многие инварианты графов и хордовых диаграмм демонстрируют естественное поведение относительно этой структуры, что позволяет при их изучении разделить индивидуальные свойства инварианта и структурные свойств алгебры Хопфа.

На пространстве вложенных графов не удается ввести аналогичную структуру, однако нам удалось построить ее на пространстве дельта-матроидов. В результате, ряд инвариантов узлов удается продолжить до инвариантов многокомпонентных зацеплений