Fourier Analysis

2025/2026

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

5

ECTS credits

Delivered by:

Faculty of Mathematics

Type:

Compulsory course

When:

2 year, 3, 4 module

Instructors

Vyugin, Ilya V.

Gontsov, Renat

Illarionov, Andrey

Marshall, Ian

Menovshchikov, Alexander

Программа дисциплины

Аннотация

Курс анализ Фурье представляет собой последнюю часть двухгодичного курса анализа. Он посвящён изучению бесконечномерных пространств, снабженных топологией и их базисов. Преимущественно речь идёт о функциональных пространствах, таких, как L_1 и L_2. Мы изучим возможность разложения функции по ортонормированному базису Фурье, то есть разложения в ряды Фурье. Основное внимание уделим базисам, состоящим из тригонометрических функций. Коэффициенты разложение фукции в ряд Фурье многое говорят о её свойствах. Представление функции в виде ряда Фурье позволит нам решать некоторые основные уравнения математической физики, описывающие основные явления природы, такие как колебания струны, диффузия, стационарные процессы.

Цель освоения дисциплины

• Освоение основ теории гильбертовых пространств, разложение в ряды Фурье по различным ортогональным системам.
• Изучение рядов Фурье по тригонометрическим системам и условий их сходимости.
• Применение рядов Фурье для решения основных уравнений математической (метод Фурье).
• Освоение преобразования Фурье и его применений.

Планируемые результаты обучения

• Знакомство с гилбертовыми пространствами
• Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
• Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
• Знакомство с пространствами L1 и L2
• Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
• Различные типы сходимости

Содержание учебной дисциплины

• Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
• Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
• Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
• Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
• Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
• Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
• Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
• Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
• Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
• Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
• Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
• Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
• Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.

Элементы контроля

• Сдача задач листков.
  Студент сдаёт задачи листков преподавателям и учебным ассистентам.
• Работа на семинарах
  Преподаватели семинарских занятий выставляют оценки по разработанным ими критериям.
• Коллоквиум
  Проходит по программе в устной форме в конце модуля.
• Экзамен
  Проходит в форме устного опроса по билету.

Промежуточная аттестация

• 2025/2026 4th module
  0.25 * Коллоквиум + 0.25 * Работа на семинарах + 0.25 * Сдача задач листков. + 0.25 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

• Краткий курс функционального анализа : учеб. пособие, Люстерник, Л. А., 2009

Авторы

• Вьюгин Илья Владимирович
• Басалаев Алексей Андреевич