Математические олимпиады

Regular version of the site

Delivered by:: Faculty of Mathematics

Type:: Compulsory course

When:: 2 year, 1, 2 module

Instructors

Bolbachan, Vasily

Kiritchenko, Valentina

Kuyumzhiyan, Karine

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Алгебра является основным языком современной математики. Алгебраические структуры используются во всех разделах математики и математической физики. Дисциплина опирается на школьный курс алгебры, материалы летней школы "Матфак: предисловие" для поступивших на первый курс и материалы параллельных курсов анализа, геометрии и дискретной математики и топологии. Курс является базовой дисциплиной для студентов первого курса бакалавриата образовательной программы "Математика"

Цель освоения дисциплины

Цель изучения дисциплины Алгебра 1 состоит в освоении базовых конструкций теории коммутативных колец, теории полей, линейной алгебры и теории групп. Предполагается, что студент, освоивший дисциплину, сможет уверенно пользоваться теоретическими основами теории и применять их для решения математических задач различного происхождения, использующих алгебраические структуры.

Планируемые результаты обучения

Знакомство с классификация конечнопорожденных абелевых групп. Понимание структуры модулей над евклидовыми кольцами.
Знание основ теории колец многочленов от нескольких переменных.
Знание основных опеределений и конструкций теории симметрических многочленов. Знакомство с основными приложениями.
Знание основных определений и примеров, умение строить конечные поля.
Знание основных понятий и конструкций линейной алгебры: векторные пространства, линейные отображения, двойственные пространства, определители.
Знание формулировок и доказательств теорем Гильберта о базисе и об инвариантах. Знакомство с основными приложениями.
Освоение алгоритма Евклида, умение находить наибольший общий делитель элементов кольца.
Освоение базовых определений и конструкций теории групп: подгруппы, нормальные делители, классы смежности, факторгруппы. Умение строить и описывать действия групп на множествах.
продолжение знакомства с рядом разделов современной алгебры, в том числе основами теории Галуа и теории представлений групп.
Умение работать с кольцами вычетов, умение пользоваться фактор конструкциями.
Умение применять деление с остатком, НОД и НОК, алгоритм Евклида – Гаусса, решение линейных диофантовых уравнений, свойства взаимно простых элементов и факториальность в арифметических задачах про целые числа.
Умение умножать, делить и возводить в степени вычеты, выяснять, является ли вычет квадратичным, использовать кольца вычетов для решения арифметических задач
Делить многочлены с остатком, находить нод и нок многочленов и выражать их линейно через исходные многочлены, исследовать наличие общих корней, применять КТО и интерполяционный многочлен Лагранжа.
Эффективно вычислять нод и нок целых чисел, решать линейные диофантовы уравнения, знать свойства взаимно простых элементов и доказывать единственность разложения на простые множители. Умножать, делить и возводить в степени вычеты, использовать кольца вычетов и КТО для решения арифметических задач. Выяснять является ли вычет квадратичным. Знать свойства гомоморфизмов абелевых групп, коммутативных колец и полей и пользоваться ими для анализа и решения задач.
Свободно вычислять с многочленами и степенными рядами (в том числе от нескольких переменных), дифференцировать, интегрировать и мультипликативно обращать ряды. Делить многочлены с остатком, находить нод и нок многочленов и их линеные выражения через исходные многочлены, исследовать наличие кратных и общих корней, применять КТО для многочленов. Эффективно вычислять в кольцах и полях \kk[x]/(f), особенно - в поле Cи в конечных полях, знать нетривиальные примеры конечных полей и их классификацию.
Знать конструкцию локализации коммутативного кольца и дробей со знаменателями в мультипликативной системе. Описывать поля частных целостных колец целых чисел, многочленов, степенных рядов. Раскладывать рациональные функции на простейшие дроби и в степенные ряды и использовать эти разложения в практических вычислениях, возникающих в алгебре и анализе. Уметь решать линейные рекуррентные уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами.
Складывать, умножать, делить (когда возможно), дифференцировать и интегрировать ряды. Делить многочлены с остатком. Находить нод и нок многочленов, исследовать наличие корней и кратных корней у многочлена и общих корней нескольких многочленов, применять КТО и интерполяционную формулу Лагранжа. Эффективно вычислять (в частности, умножать и делить) в кольцах и полях \kk[x]/(f), особенно - в поле C и в конечных полях. Знать нетривиальные примеры конечных полей и их полную классификацию.
Эффективно вычислять со степенными рядами, в том числе умножать, делить, дифференцировать и интегрировать. Применять экспоненцирование и логарифмирование рядов и метод производящих функций для решения практических задач из алгебры, анализа и комбинаторики, уметь пользоваться формулой бинома, раскладывать элементарные функции в степенные ряды, применять метод Ньютона для разложения неявных алгебраических функций в дробно-степенные ряды.
Знать примеры идеалов и факторколец, примеры нефакториальных колец. Доказывать факториальность ОГИ. Уметь раскладывать целые простые числа на неприводимые множители в кольцах гауссовых и эйзенштейновых чисел. Доказывать факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом, исследовать многочлены с целыми коэффициентами на неприводимость и владеть техникой их разложение на неприводимые множители.
Знать определения и базисные свойства модулей и векторных пространств, понимать, чем линейная зависимость над полем отличается от линейной зависимости над коммутативным кольцом. Задавать модуль образующими и соотношениями и выяснять, когда заданный на образующих гомоморфизм корректно продолжается по линейности на весь модуль, в частности, вычислять Hom(Z/(m)Z/(n)).
Эффективно вычислять с матрицами над кольцом и использовать короткие матричные обозначения для выражения одних наборов векторов через другие, записи систем линейных уравнений, задания линейныйх отображений. Знать таблицу умножения базисных матриц и свойства нильпотентных матриц, вычислять с матрицами, не прибегая к поэлементному умножению, обращать унитреугольные матрицы.
Знать элементарный базис модуля симметрических многочленов и эффективно выражать произвольный симметрический многочлен в виде полинома от элементарных, а также использовать эту технику в решении задач.
Умение диагонализовать целочисленную матрицу (потенциально - матрицу над произвольным кольцом главных идеалов) и найти обратимые матрицы, на которые она умножилась слева и справа в процессе диагонализации. Эффективно применять это умение для обращения матриц, решения систем линейных диофантовых уравнений, отыскания взаимного базиса и инвариантных множителей подрешётки в Z^n.
Использовать жорданово и фробениусово представления абелевой группы для решения качественных задач: выяснения изоморфности групп и подгрупп, отыскания минимального числа образующих, анализ наличия подгрупп с предписанными свойствами и т.п.
Эффективно вычислять в абелевых группах, заданных образующими и соотношениями: определять порядки элементов, их принадлежность подгруппам, описывать группы гомоморфизмов и т.п.
Эффективно вычислять с грассмановыми многочленами и владеть разнообразной техникой вычисления определителей и миноров. Использовать определители для решения однородных и неоднородных систем линейных уравнений (правила Крамера), обращения матриц, исключения неизвестных из систем полиномиальных уравнений, отыскания числа элементов в факторе решётки по подрешётке и инвариантных множителей подрешёток и матриц.
Знать несколько доказательств тождества Гамильтона-Кэли и уметь применять его для решения качественных задач про матрицы и линейные отображения. Знать свойства характеристического многочлена матрицы и линейного оператора.
Знать жорданову и фробениусову классификацию линейных операторов над произвольным полем, эффективно находить соответствующие нормальные формы, инвариантные множители и элементарные делители данного оператора, выяснять подобны ли два оператора.
Выяснять качественные свойства линейного оператора: приводимость, разложимость, нильпотентность, полупростоту, диагонализуемость, наличие циклического вектора. Находить собственные числа, собственные подпространства и корневое разложение.
Эффективно вычислять аналитические функции от операторов при помощи полиномиальной интерполяции, в частности степенные функции (включая корни), экспоненту, логарифм и т.п., и пользоваться этим при решении практических вычислительных задач анализа, линейной алгебры и комбинаторики.
Знать определения и примеры групп и их подгрупп.
Эффективно вычислять с перестановками: находить композиции перестановок, знак, порядок, цикловой тип, централизатор и класс сопряжённости данной перестановки, вычислять число перестановок, коммутирующих с данной, и порядок класса сопряжённости данной перестановки .
Находить длины и количество орбит действия конечной группы на конечном множестве и пользоваться этим для решения задач из алгебры, геометрии и комбинаторики. Находить порядки групп многогранников (включая диэдры), понимать связь этих групп с симметрическими группами и их подгруппами.
Знакомство с более продвинутыми примерами групп: кватернионные единицы, группы Гайзенберга, проективные и аффинные линейные группы (в том числе над конечными полями) и т. п. и примеры изоморфизмов между ними.
Знание достаточного количества примеров простых групп.
Стандартные изоморфизмы типа $HN/N\simeq H/(H\cap N)$ и леммы о бабочке. Умение вычислять композиционные факторы и пользоваться теоремой Жордана-Гёльдера.
Знание нетривиальных примеров полупрямых произведений. Умение применять теоремы Силова для анализа строения конечных групп. Умение анализировать группы порядка pq и pqr.
Задавать конкретные группы образующими и соотношениями и работать с группами, заданными таким образом. Знать образующие и соотношения групп платоновых тел и симметрической группы.
Иметь представление о группах, порождённых отражениями в гиперплоскостях евклидова пространства и их классификации: кокстеровские системы корней, графы Кокстера и их реализации группами отражений.
Понимать, что такое полилинейное отображение. Вычислять тензорные произведения абелевых групп, векторных пространств, модулей, заданных образующими и соотношениями, примитивных расширений полей. Уметь пользоваться универсальным свойством тензорного произведения и каноническими изоморфизмами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.
Интерпретировать линейные отображения и полилинейные формы как тензоры и вычислять с ними на языке свёрток.
Интерпретировать многочлены (в том числе грассмановы) как тензоры, поляризовать их, находить линейный носитель многочлена, понимать связь формулы Тейлора для многочленов с разложением бинома.
Знать определения тензорной, симметрической и внешней алгебр. Понимать связь двух последних с многочленами (обычными и грассмановыми).
Знать определение симметрических и кососимметрических тензоров. Понимать, что в характеристике нуль соответствующие пространства изоморфны пространствам однородных (грассмановых) многочленов.
Знать разложения тензорного квадрата и тензорного куба векторного пространства в прямую сумму симметрических, кососимметричных (и лиевских) тензоров.
Умение строить базис в овеществлении комплексного векторного пространства и понимать, какие вещественно линейные операторы на овеществлённом пространстве комплексно линейны на исходном.
Умение строить базис в комплексификации вещественного векторного пространства и строить комплексно линейные и полуторалинейные продолжения вещественно линейных операторов и билинейных форм на комплексифицированное пространство.
Строить продолжения евклидовых и симплектических пространств до эрмитовых.
Вычислять длины, углы и ортогональные проекции в эрмитовом пространстве.
Понимать, что происходит с собственными подпространствами, собственными числами и элементарными делителями вещественного оператора при его комплексификации и последующем овеществлении комплексифицированного оператора.
Вычислять длины, углы и ортогональные проекции векторов в эрмитовом пространстве.
Знать характеризующие свойства унитарных и (косо) эрмитовых операторов, находить диагональный вид нормального оператора и его нормальные оси, находить полярное разложение оператора. Знать и уметь пользоваться связностью и компактностью унитарной группы. Вычислять экспоенту от косоэрмитова оператора.
Вычислять SVD-разложение и сингулярные числа комплексных матриц и комплексно линейных отображений между эрмитовыми пространствами, использовать эту технику для решения оптимизационных задач (минимизация углов и расстояний).
Эффективно вычислять с кватернионами: умножать, делить, решать линейные уравнения и системы таких уравнений.
Применять кватернионы к решению алгебраических и геометричеких задач, описывать в терминах кватернионов вращения евклидова пространства.
Иметь представление о бинарных группах платоновых тел и связанных с ними группах четырёхмерных правильных многогранников.

Содержание учебной дисциплины

Кольцо целых чисел.
Теория представлений конечных групп. Характеры.
Кольца вычетов
Введение в теорию Галуа.
Поля
кольцо целых чисел
Группы
Линейная алгебра
Модули над евклидовыми кольцами.
Многочлены многих переменных.
Теоремы Гильберта о базисе и об инвариантах.
Симметрические многочлены и их приложения.
Тензорное произведение векторных пространств, тензорные, симметрические и внешние алгебры.
Кольца и поля вычетов
Кольца многочленов.
Поля, коммутативные кольца, абелевы группы.
Ряды и многочлены
Кольца и поля частных
Многочлены и расширения полей
Формальные степенные ряды
Идеалы, фактор кольца, делимость и факториальные кольца.
Модули над коммутативными кольцами
Метод Гаусса в области главных идеалов
Конечно порождённые абелевы группы
Грассмановы многочлены и определители
Пространство с оператором
Базисные сведения о группах
О строении групп
Задание групп образующими и соотношениями
Тензорное произведение модулей над коммутативным кольцом
Тензорная алгебра векторного пространства
Комплексные и вещественные векторные пространства
Эрмитовы векторные пространства
Кватернионы

Элементы контроля

Письменные домашние задания
Очная письменная контрольная
Письменная контрольная на 80 минут по материалу первого модуля.
Письменный экзамен
Письменный экзамен на 3 часа по материалу всего курса

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
0.3 * Очная письменная контрольная + 0.15 * Письменные домашние задания + 0.15 * Письменные домашние задания + 0.4 * Письменный экзамен

Список литературы

Авторы

Фейгин Евгений Борисович
Кириченко Валентина Алексеевна
Болбачан Василий Сергеевич
Куюмжиян Каринэ Георгиевна
Вологодский Вадим Александрович
Рыбников Леонид Григорьевич
Городенцев Алексей Львович

Algebra