Математические олимпиады

Regular version of the site

Delivered by:: Faculty of Mathematics

Type:: Optional course (faculty)

When:: 3, 4 module

Instructor

Ilyin, Alexey

Full Syllabus Ask Question

Abstract

Структурная теория полупростых алгебр Ли и теория их представлений – один из важнейших разделов современной алгебры с массой ярких приложений в различных областях математики, математической физики и квантовой механики. Целью курса будет классификация полупростых алгебр Ли на языке схем Дынкина и построение их неприводимых представлений с помощью доминантных весов.

Learning Objectives

Expected Learning Outcomes

Course Contents

Определение и примеры полупростых алгебр Ли, построение исключительных алгебр.
Форма Киллинга, критерий полупросты алгебры Ли.
Система корней полупростой алгебры Ли.
Абстрактные системы корней, их базисы и группа Вейля.
Классификация систем корней в терминах схем Дынкина.
Картановские и борелевские подалгебры, их сопряжённость.
Классификация полупростых алгебр Ли с помощью систем корней. Соотношения Серра.
Абстрактная теория доминантных весов.
Модули Верма и неприводимые конечномерные представления полупростых алгебр Ли.
Классификация неприводимых конечномерных представлений. Формула Вейля. Формула Фрей- денталя.
Если успеем: группы Шевалле как аналоги полупростых алгебр Ли над кольцами.
Если успеем: бесконечномерные аналоги полупростых алгебр Ли, их представления.

Assessment Elements

Контрольная работа
Письменный экзамен
Домашняя работа
Листки с заданиями

Interim Assessment

2025/2026 4th module
Итоговая оценка вычисляется по формуле 0.4*Э +0.2*К+0.2*Л+0.2*Д, где К — контрольная в середине семестра, Э — письменный экзамен, Д — домашние работы, Л — оценка за листки.

Bibliography

Recommended Core Bibliography

Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, Хамфрис, Дж., 2003
Лекции о группах Шевалле, Стейнберг, Р., 1975

Recommended Additional Bibliography

Группы и алгебры Ли : алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, Бурбаки, Н., 1976
Группы и алгебры Ли : группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями системы корней, Бурбаки, Н., 1972
Группы и алгебры Ли : подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, Бурбаки, Н., 1978

Authors

ILIN Aleksei IGOREVICH
Venchakov Mikhail Sergeevich
Ignatev Mikhail Viktorovich

Lie Algebras and Their Representations