Математические олимпиады

Regular version of the site

Delivered by:: Faculty of Mathematics

Type:: Compulsory course

When:: 2 year, 1, 2 module

Instructors

Gorodentsev, Alexey L.

Kiritchenko, Valentina

Rovinsky, Marat

Tyurin, Dimitriy

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Это последняя, третья часть обязательного трёхсеместрового курса алгебры для бакалавриата матфака ВШЭ, продолжающая годовой курс алгебры для студентов первого года обучения. Она посвящена основам теории представлений и её приложениям.

Цель освоения дисциплины

Овладеть основными понятиями теории линейных представлений множеств операторов, ассоциативных алгебр, конечных групп, а также некоторых алгебр Ли и матричных групп Ли. Приобрести опыт использования методов теории представлений для решения задач из различных разделов математики.

Планируемые результаты обучения

Знание основных понятий теории представлений: (не)разложимость, (не)приводимость, полупростота. Свойства полупростых модулей. Гомоморфизмы представлений, лемма Шура. Ассоциативная оболочка множества операторов.
Знание свойств полупростых модулей и критериев полупростоты, теоремы о двойном централизаторе, теоремы Бернсайда, изотипного разложения полупростых модулей и описания изотипных компонент.
Знание основных понятий теории представлений конечных групп, тензорных операций с представлениями, конструкций проектора на инварианты и инвариантного скалярного произведения. Полная приводимость конечномерных представлений конечной группы.
Описание конечномерных неприводимых представлений конечной абелевой группы и группы её мультипликативных характеров. Двойственность Понтрягина и преобразование Фурье для конечных абелевых групп.
Описание строения групповой алгебры конечной группы, её разложения в сумму изотипных идеалов, неприводимых идемпотентов и инвариантного скалярного произведения на группе. Теорема Машке. Преобразование Фурье.
Ортогональность характеров. Кольцо представлений конечной группы. Техника вычисления характеров, примеры описания колец представлений.
Описание индуцированных и коиндуцированных представлений. Двойственность Фробениуса.
Знание основных понятий теории представлений алгебр Ли. Классификация конечномерных представлений алгебры 𝔰𝔩_2
Иметь представление о классических матричных группах Ли и их алгебрах Ли. Полная приводимость и описание конечномерных представлений групп SU_2 и SO_3(\RR).

Содержание учебной дисциплины

Представления множеств и ассоциативных алгебр.
Полупростые представления ассоциативной алгебры.
Представления конечных групп.
Представления конечных абелевых групп.
Групповая алгебра конечной группы.
Характеры представлений конечных групп.
Индуцированные и коиндуцированные представления. Двойственность Фробениуса.
𝔰𝔩_2-модули
Представления групп SU_2 и SO_3(\RR).

Элементы контроля

2 контрольные работы
самостоятельное решение задач
Самостоятельное решение задач с последующим индивидуальным обсуждением решений с преподавателем
Оценка за семинары
Оценка выставляется преподавателем, ведущим семинары.
итоговый письменный экзамен

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
Итоговая оценка вычисляется по формуле min(300,S+L+K+E)/30, где S - оценка за работу на семинарах, которую по 100-бальной шкале выставляет ведущий семинары преподаватель согласно правилам, которые он сообщит на одном из первых занятий, а L, K, E - процентные доли решённых в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из 4-х видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).

Список литературы

Авторы

Рыбников Леонид Григорьевич
Вологодский Вадим Александрович
Фейгин Евгений Борисович
Иконописцева Юлия Вахтанговна
Городенцев Алексей Львович

Algebra