Математические олимпиады

Regular version of the site

Delivered by:: Faculty of Mathematics

Type:: Compulsory course

When:: 2 year, 3, 4 module

Instructors

Vyugin, Ilya V.

Gontsov, Renat

Dunin-Barkowski, Petr

Menovshchikov, Alexander

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Курс анализ Фурье представляет собой последнюю часть двухгодичного курса анализа. Он посвящён изучению бесконечномерных пространств, снабженных топологией и их базисов. Преимущественно речь идёт о функциональных пространствах, таких, как L_1 и L_2. Мы изучим возможность разложения функции по ортонормированному базису Фурье, то есть разложения в ряды Фурье. Основное внимание уделим базисам, состоящим из тригонометрических функций. Коэффициенты разложение фукции в ряд Фурье многое говорят о её свойствах. Представление функции в виде ряда Фурье позволит нам решать некоторые основные уравнения математической физики, описывающие основные явления природы, такие как колебания струны, диффузия, стационарные процессы.

Цель освоения дисциплины

Освоение основ теории гильбертовых пространств, разложение в ряды Фурье по различным ортогональным системам.
Изучение рядов Фурье по тригонометрическим системам и условий их сходимости.
Применение рядов Фурье для решения основных уравнений математической (метод Фурье).
Освоение преобразования Фурье и его применений.

Планируемые результаты обучения

Знакомство с гилбертовыми пространствами
Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
Знакомство с пространствами L1 и L2
Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
Различные типы сходимости

Содержание учебной дисциплины

Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.

Элементы контроля

Коллоквиум
Устный коллоквиум. Порядок проведения коллоквиума: каждый студент получает билет из 2 вопросов и 1 задачи. На подготовку дается 30 мин., потом они отвечают на вопросы и рассказывают решение задачи. Каждый ответ оценивается от 0 до 3 баллов. Если студент получил 9 баллов (ответил на оба вопроса и правильно решил задачу), ему ставится отметка 10. Если студент потерял баллы, то ему можно и нужно задать дополнительные вопросы (формулировка определения, формулы, теоремы по программе, примерный список прилагается). Это может добавить ему ещё 1–2 балла. Или снять 1-2 балла, если выяснится, что студент не знает что-то важное. Сумма баллов формирует оценку за коллоквиум.
Экзамен
Устный экзамен.
Листки
Сдача задал листков. Максимальная оценка 12.
Семинары
Оценка за семинары выставляется семинаристами.

Промежуточная аттестация

2024/2025 4th module
0.25 * Коллоквиум + 0.125 * Листки + 0.125 * Листки + 0.125 * Семинары + 0.125 * Семинары + 0.25 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Басалаев Алексей Андреевич
Вьюгин Илья Владимирович

Fourier Analysis