Algebra

2024/2025

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

10

ECTS credits

Delivered by:

Faculty of Mathematics

Type:

Compulsory course

When:

2 year, 1-3 module

Instructors

Amburg, Natalia

Kalmynin, Alexander B.

Программа дисциплины

Аннотация

Алгебра является языком современной математики. Алгебраические структуры используются в геометрии, анализе, математической физике и других основных направлениях современной математики.В курсе Алгебры мы изучим основные понятия и концепции (кольца, поля, группы), необходимые для любого активно работающего математика.

Цель освоения дисциплины

• Цель изучения дисциплины Алгебра 1 состоит в освоении базовых конструкций теории коммутативных колец, теории полей, линейной алгебры и теории групп. Предполагается, что студент, освоивший дисциплину, сможет уверенно пользоваться теоретическими основами теории и применять их для решения математических задач различного происхождения, использующих алгебраические структуры.

Планируемые результаты обучения

• Знакомство с классификация конечнопорожденных абелевых групп. Понимание структуры модулей над евклидовыми кольцами.
• Знание основ теории колец многочленов от нескольких переменных.
• Знание основных опеределений и конструкций теории симметрических многочленов. Знакомство с основными приложениями.
• Знание основных определений и примеров, умение строить конечные поля.
• Знание основных понятий и конструкций линейной алгебры: векторные пространства, линейные отображения, двойственные пространства, определители.
• Знание формулировок и доказательств теорем Гильберта о базисе и об инвариантах. Знакомство с основными приложениями.
• Освоение алгоритма Евклида, умение находить наибольший общий делитель элементов кольца.
• Освоение базовых определений и конструкций теории групп: подгруппы, нормальные делители, классы смежности, факторгруппы. Умение строить и описывать действия групп на множествах.
• Умение работать с кольцами вычетов, умение пользоваться фактор конструкциями.

Содержание учебной дисциплины

• Кольца вычетов
• Поля
• Группы
• Линейная алгебра
• Модули над евклидовыми кольцами.
• Многочлены многих переменных.
• Теоремы Гильберта о базисе и об инвариантах.
• Симметрические многочлены и их приложения.

Элементы контроля

• Домашние задания, 3 модуль
  Индивидуальное письменное домашнее задание
• Домашние задания, 1-2 модуль
  Индивидуальные письменные домашние задания; срок выполнения — неделя
• Контрольные работы весеннего семестра
• Экзамен за весенний семестр
• Контрольная работа за 1 модуль
• Экзамен за осенний семестр

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  0.125 * Домашние задания, 1-2 модуль + 0.125 * Домашние задания, 1-2 модуль + 0.25 * Контрольная работа за 1 модуль + 0.5 * Экзамен за осенний семестр
• 2024/2025 3rd module
  0.25 * Домашние задания, 3 модуль + 0.25 * Контрольные работы весеннего семестра + 0.5 * Экзамен за весенний семестр

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2002
• Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013

Рекомендуемая дополнительная литература

• Введение в алгебру. Ч.1: Основы алгебры, Кострикин, А. И., 2009
• Введение в алгебру. Ч.2: Линейная алгебра, Кострикин, А. И., 2009

Авторы

• Фейгин Евгений Борисович
• Америк Екатерина Юрьевна
• Рыбников Леонид Григорьевич
• Кириченко Валентина Алексеевна
• Матушко Мария Георгиевна
• Амбург Наталья Яковлевна
• Львовский Сергей Михайлович
• Куюмжиян Каринэ Георгиевна
• Иконописцева Юлия Вахтанговна
• Смирнов Евгений Юрьевич