Математические олимпиады

Regular version of the site

Delivered by:: Faculty of Mathematics

Type:: Compulsory course

When:: 1 year, 1-4 module

Instructors

Artamkin, Igor

Venchakov, Mihail

Gorodentsev, Alexey L.

Kuyumzhiyan, Karine

Rovinsky, Marat

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Алгебра является основным языком современной математики. Алгебраические структуры используются во всех разделах математики и математической физики. Дисциплина опирается на школьный курс алгебры, материалы летней школы "Матфак: предисловие" для поступивших на первый курс и материалы параллельных курсов анализа, геометрии и дискретной математики и топологии. Курс является базовой дисциплиной для студентов первого курса бакалавриата образовательной программы "Математика"

Цель освоения дисциплины

Цель изучения дисциплины Алгебра 1 состоит в освоении базовых конструкций теории коммутативных колец, теории полей, линейной алгебры и теории групп. Предполагается, что студент, освоивший дисциплину, сможет уверенно пользоваться теоретическими основами теории и применять их для решения математических задач различного происхождения, использующих алгебраические структуры.

Планируемые результаты обучения

Знакомство с классификация конечнопорожденных абелевых групп. Понимание структуры модулей над евклидовыми кольцами.
Знание основ теории колец многочленов от нескольких переменных.
Знание основных опеределений и конструкций теории симметрических многочленов. Знакомство с основными приложениями.
Знание основных определений и примеров, умение строить конечные поля.
Знание основных понятий и конструкций линейной алгебры: векторные пространства, линейные отображения, двойственные пространства, определители.
Знание формулировок и доказательств теорем Гильберта о базисе и об инвариантах. Знакомство с основными приложениями.
Освоение алгоритма Евклида, умение находить наибольший общий делитель элементов кольца.
Освоение базовых определений и конструкций теории групп: подгруппы, нормальные делители, классы смежности, факторгруппы. Умение строить и описывать действия групп на множествах.
продолжение знакомства с рядом разделов современной алгебры, в том числе основами теории Галуа и теории представлений групп.
Умение работать с кольцами вычетов, умение пользоваться фактор конструкциями.
Умение применять деление с остатком, НОД и НОК, алгоритм Евклида – Гаусса, решение линейных диофантовых уравнений, свойства взаимно простых элементов и факториальность в арифметических задачах про целые числа.
Умение умножать, делить и возводить в степени вычеты, выяснять, является ли вычет квадратичным, использовать кольца вычетов для решения арифметических задач
Делить многочлены с остатком, находить нод и нок многочленов и выражать их линейно через исходные многочлены, исследовать наличие общих корней, применять КТО и интерполяционный многочлен Лагранжа.
Эффективно вычислять нод и нок целых чисел, решать линейные диофантовы уравнения, знать свойства взаимно простых элементов и доказывать единственность разложения на простые множители. Умножать, делить и возводить в степени вычеты, использовать кольца вычетов и КТО для решения арифметических задач. Выяснять является ли вычет квадратичным. Знать свойства гомоморфизмов абелевых групп, коммутативных колец и полей и пользоваться ими для анализа и решения задач.
Свободно вычислять с многочленами и степенными рядами (в том числе от нескольких переменных), дифференцировать, интегрировать и мультипликативно обращать ряды. Делить многочлены с остатком, находить нод и нок многочленов и их линеные выражения через исходные многочлены, исследовать наличие кратных и общих корней, применять КТО для многочленов. Эффективно вычислять в кольцах и полях \kk[x]/(f), особенно - в поле Cи в конечных полях, знать нетривиальные примеры конечных полей и их классификацию.
Знать конструкцию локализации коммутативного кольца и дробей со знаменателями в мультипликативной системе. Описывать поля частных целостных колец целых чисел, многочленов, степенных рядов. Раскладывать рациональные функции на простейшие дроби и в степенные ряды и использовать эти разложения в практических вычислениях, возникающих в алгебре и анализе. Уметь решать линейные рекуррентные уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами.
Складывать, умножать, делить (когда возможно), дифференцировать и интегрировать ряды. Делить многочлены с остатком. Находить нод и нок многочленов, исследовать наличие корней и кратных корней у многочлена и общих корней нескольких многочленов, применять КТО и интерполяционную формулу Лагранжа. Эффективно вычислять (в частности, умножать и делить) в кольцах и полях \kk[x]/(f), особенно - в поле C и в конечных полях. Знать нетривиальные примеры конечных полей и их полную классификацию.
Эффективно вычислять со степенными рядами, в том числе умножать, делить, дифференцировать и интегрировать. Применять экспоненцирование и логарифмирование рядов и метод производящих функций для решения практических задач из алгебры, анализа и комбинаторики, уметь пользоваться формулой бинома, раскладывать элементарные функции в степенные ряды, применять метод Ньютона для разложения неявных алгебраических функций в дробно-степенные ряды.
Знать примеры идеалов и факторколец, примеры нефакториальных колец. Доказывать факториальность ОГИ. Уметь раскладывать целые простые числа на неприводимые множители в кольцах гауссовых и эйзенштейновых чисел. Доказывать факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом, исследовать многочлены с целыми коэффициентами на неприводимость и владеть техникой их разложение на неприводимые множители.
Знать определения и базисные свойства модулей и векторных пространств, понимать, чем линейная зависимость над полем отличается от линейной зависимости над коммутативным кольцом. Задавать модуль образующими и соотношениями и выяснять, когда заданный на образующих гомоморфизм корректно продолжается по линейности на весь модуль, в частности, вычислять Hom(Z/(m)Z/(n)).
Эффективно вычислять с матрицами над кольцом и использовать короткие матричные обозначения для выражения одних наборов векторов через другие, записи систем линейных уравнений, задания линейныйх отображений. Знать таблицу умножения базисных матриц и свойства нильпотентных матриц, вычислять с матрицами, не прибегая к поэлементному умножению, обращать унитреугольные матрицы.
Знать элементарный базис модуля симметрических многочленов и эффективно выражать произвольный симметрический многочлен в виде полинома от элементарных, а также использовать эту технику в решении задач.
Умение диагонализовать целочисленную матрицу (потенциально - матрицу над произвольным кольцом главных идеалов) и найти обратимые матрицы, на которые она умножилась слева и справа в процессе диагонализации. Эффективно применять это умение для обращения матриц, решения систем линейных диофантовых уравнений, отыскания взаимного базиса и инвариантных множителей подрешётки в Z^n.
Использовать жорданово и фробениусово представления абелевой группы для решения качественных задач: выяснения изоморфности групп и подгрупп, отыскания минимального числа образующих, анализ наличия подгрупп с предписанными свойствами и т.п.
Эффективно вычислять в абелевых группах, заданных образующими и соотношениями: определять порядки элементов, их принадлежность подгруппам, описывать группы гомоморфизмов и т.п.
Эффективно вычислять с грассмановыми многочленами и владеть разнообразной техникой вычисления определителей и миноров. Использовать определители для решения однородных и неоднородных систем линейных уравнений (правила Крамера), обращения матриц, исключения неизвестных из систем полиномиальных уравнений, отыскания числа элементов в факторе решётки по подрешётке и инвариантных множителей подрешёток и матриц.
Знать несколько доказательств тождества Гамильтона-Кэли и уметь применять его для решения качественных задач про матрицы и линейные отображения. Знать свойства характеристического многочлена матрицы и линейного оператора.
Знать жорданову и фробениусову классификацию линейных операторов над произвольным полем, эффективно находить соответствующие нормальные формы, инвариантные множители и элементарные делители данного оператора, выяснять подобны ли два оператора.
Выяснять качественные свойства линейного оператора: приводимость, разложимость, нильпотентность, полупростоту, диагонализуемость, наличие циклического вектора. Находить собственные числа, собственные подпространства и корневое разложение.
Эффективно вычислять аналитические функции от операторов при помощи полиномиальной интерполяции, в частности степенные функции (включая корни), экспоненту, логарифм и т.п., и пользоваться этим при решении практических вычислительных задач анализа, линейной алгебры и комбинаторики.
Знать определения и примеры групп и их подгрупп.
Эффективно вычислять с перестановками: находить композиции перестановок, знак, порядок, цикловой тип, централизатор и класс сопряжённости данной перестановки, вычислять число перестановок, коммутирующих с данной, и порядок класса сопряжённости данной перестановки .
Находить длины и количество орбит действия конечной группы на конечном множестве и пользоваться этим для решения задач из алгебры, геометрии и комбинаторики. Находить порядки групп многогранников (включая диэдры), понимать связь этих групп с симметрическими группами и их подгруппами.
Знакомство с более продвинутыми примерами групп: кватернионные единицы, группы Гайзенберга, проективные и аффинные линейные группы (в том числе над конечными полями) и т. п. и примеры изоморфизмов между ними.
Знание достаточного количества примеров простых групп.
Стандартные изоморфизмы типа $HN/N\simeq H/(H\cap N)$ и леммы о бабочке. Умение вычислять композиционные факторы и пользоваться теоремой Жордана-Гёльдера.
Знание нетривиальных примеров полупрямых произведений. Умение применять теоремы Силова для анализа строения конечных групп. Умение анализировать группы порядка pq и pqr.
Задавать конкретные группы образующими и соотношениями и работать с группами, заданными таким образом. Знать образующие и соотношения групп платоновых тел и симметрической группы.
Иметь представление о группах, порождённых отражениями в гиперплоскостях евклидова пространства и их классификации: кокстеровские системы корней, графы Кокстера и их реализации группами отражений.
Понимать, что такое полилинейное отображение. Вычислять тензорные произведения абелевых групп, векторных пространств, модулей, заданных образующими и соотношениями, примитивных расширений полей. Уметь пользоваться универсальным свойством тензорного произведения и каноническими изоморфизмами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.
Интерпретировать линейные отображения и полилинейные формы как тензоры и вычислять с ними на языке свёрток.
Интерпретировать многочлены (в том числе грассмановы) как тензоры, поляризовать их, находить линейный носитель многочлена, понимать связь формулы Тейлора для многочленов с разложением бинома.
Знать определения тензорной, симметрической и внешней алгебр. Понимать связь двух последних с многочленами (обычными и грассмановыми).
Знать определение симметрических и кососимметрических тензоров. Понимать, что в характеристике нуль соответствующие пространства изоморфны пространствам однородных (грассмановых) многочленов.
Знать разложения тензорного квадрата и тензорного куба векторного пространства в прямую сумму симметрических, кососимметричных (и лиевских) тензоров.
Умение строить базис в овеществлении комплексного векторного пространства и понимать, какие вещественно линейные операторы на овеществлённом пространстве комплексно линейны на исходном.
Умение строить базис в комплексификации вещественного векторного пространства и строить комплексно линейные и полуторалинейные продолжения вещественно линейных операторов и билинейных форм на комплексифицированное пространство.
Строить продолжения евклидовых и симплектических пространств до эрмитовых.
Вычислять длины, углы и ортогональные проекции в эрмитовом пространстве.
Понимать, что происходит с собственными подпространствами, собственными числами и элементарными делителями вещественного оператора при его комплексификации и последующем овеществлении комплексифицированного оператора.
Вычислять длины, углы и ортогональные проекции векторов в эрмитовом пространстве.
Знать характеризующие свойства унитарных и (косо) эрмитовых операторов, находить диагональный вид нормального оператора и его нормальные оси, находить полярное разложение оператора. Знать и уметь пользоваться связностью и компактностью унитарной группы. Вычислять экспоенту от косоэрмитова оператора.
Вычислять SVD-разложение и сингулярные числа комплексных матриц и комплексно линейных отображений между эрмитовыми пространствами, использовать эту технику для решения оптимизационных задач (минимизация углов и расстояний).
Эффективно вычислять с кватернионами: умножать, делить, решать линейные уравнения и системы таких уравнений.
Применять кватернионы к решению алгебраических и геометричеких задач, описывать в терминах кватернионов вращения евклидова пространства.
Иметь представление о бинарных группах платоновых тел и связанных с ними группах четырёхмерных правильных многогранников.

Содержание учебной дисциплины

Поля, коммутативные кольца, абелевы группы.
Многочлены и расширения полей
Формальные степенные ряды
Кольца и поля частных
Идеалы, фактор кольца, делимость и факториальные кольца.
Модули над коммутативными кольцами
Метод Гаусса в области главных идеалов
Конечно порождённые абелевы группы
Грассмановы многочлены и определители
Пространство с оператором
Базисные сведения о группах
О строении групп
Задание групп образующими и соотношениями
Тензорное произведение модулей над коммутативным кольцом
Тензорная алгебра векторного пространства
Комплексные и вещественные векторные пространства
Эрмитовы векторные пространства
Кватернионы

Элементы контроля

активность на семинарах первого семестра (S1)
ведущий практические занятия преподаватель в конце семестра оценивает активность каждого студента на практических занятиях из 100 баллов по критериям, которые он устанавливает и сообщает в начале семестра (они могут учитывать посещаемость, выходы к доске, домашние задания, проводимые время от времени "пятиминутки" и т.п.)
активность на семинарах второго семестра (S2)
ведущий практические занятия преподаватель в конце семестра оценивает активность каждого студента на практических занятиях из 100 баллов по критериям, которые он устанавливает и сообщает в начале семестра (они могут учитывать посещаемость, выходы к доске, домашние задания, проводимые время от времени "пятиминутки" и т.п.)
3 контрольные работы в первом семестре (K1)
3 письменные контрольные работы продолжительностью в одну пару
4 контрольные работы во 2 семестре (К2)
4 письменные контрольные работы продолжительностью в одну пару
задачи для самостоятельного решения в первом семестре (L1)
Листочки с задачами для самостоятельного решения, всего примерно 70-80 задач за семестр (4-5 задач в неделю). Решения записываются и рассказываются устно преподавателю. Количество подходов по каждой задаче не ограничено. Задачи можно решать в любом порядке и сдавать вплоть до официального начала зимней сессии.
задачи для самостоятельного решения во 2 семестре (L2)
Листочки с задачами для самостоятельного решения, всего примерно 70-80 задач за семестр (4-5 задач в неделю). Решения записываются и рассказываются устно преподавателю. Количество подходов по каждой задаче не ограничено. Задачи можно решать в любом порядке и сдавать вплоть до официального начала летней сессии.
письменный экзамен за 1 семестр (E1)
письменный экзамен за 2 семестр (Е2)
устный коллоквиум (C)
Коллоквиум проводится в весеннюю сессию между 3 и 4 модулем и охватывает материал первых трёх модулей. Каждый билет содержит два теоретических вопроса, ответы на которые оцениваются из 30 баллов каждый, и одну задачу, решение которой оценивается из 40 баллов. Отвечать на вопросы можно в любом порядке. Время на подготовку каждого из ответов 10 минут. Через 10 минут после получения билета или после окончания ответа на очередной вопрос экзаменатор имеет право потребовать ответить на один из оставшихся вопросов (на выбор студента). Во время ответа экзаменатор имеет право попросить дать точное определение любого используемого понятия.

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
На итоговую отметку за 1 семестр влияют: оценка S1 за активность на семинарах, которую по 100-бальной шкале ставит ведущий семинары преподаватель согласно правилам, которые он сообщает на одном из первых занятий, а также доли L1, K1, E1 решённых в течение семестра задач для самостоятельного решения (L1), контрольных работ (K1) и итогового письменного экзамена (E1), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Итоговая оценка вычисляется по формуле min(300,S1+L1+K1+E1)/30. Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из четырёх видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
2024/2025 4th module
На итоговую отметку за 2 семестр влияют: оценка S1 за активность на семинарах, которую по 100-бальной шкале ставит ведущий семинары преподаватель согласно правилам, которые он сообщает на одном из первых занятий, оценка C за коллоквиум по материалам первых трёх модулей, а также доли L2, K2, E2 решённых в течение 2 семестра задач для самостоятельного решения (L2), контрольных работ (K2) и итогового письменного экзамена (E2), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Итоговая оценка вычисляется по формуле min(400, C+S2+L2+K2+E2)/40. Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 80 баллов в каждом из четырёх видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 400 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).

Список литературы

Авторы

Вологодский Вадим Александрович
Городенцев Алексей Львович
Фейгин Евгений Борисович
Рыбников Леонид Григорьевич

Algebra