Lie Algebras and Their Representations

2024/2025

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

6

ECTS credits

Category 'Best Course for Career Development'

Category 'Best Course for Broadening Horizons and Diversity of Knowledge and Skills'

Delivered by:

Faculty of Mathematics

Type:

Optional course (faculty)

When:

3, 4 module

Instructor

Ignatev, Mikhail

Программа дисциплины

Аннотация

Структурная теория полупростых алгебр Ли и теория их представлений – один из важнейших разделов современной алгебры с массой ярких приложений в различных областях математики, математической физики и квантовой механики. Целью курса будет классификация полупростых алгебр Ли на языке схем Дынкина и построение их неприводимых представлений с помощью доминантных весов.

Цель освоения дисциплины

• -

Планируемые результаты обучения

• --

Содержание учебной дисциплины

• Определение и примеры полупростых алгебр Ли, построение исключительных алгебр.
• Форма Киллинга, критерий полупросты алгебры Ли.
• Система корней полупростой алгебры Ли.
• Абстрактные системы корней, их базисы и группа Вейля.
• Классификация систем корней в терминах схем Дынкина.
• Картановские и борелевские подалгебры, их сопряжённость.
• Классификация полупростых алгебр Ли с помощью систем корней. Соотношения Серра.
• Абстрактная теория доминантных весов.
• Модули Верма и неприводимые конечномерные представления полупростых алгебр Ли.
• Классификация неприводимых конечномерных представлений. Формула Вейля. Формула Фрей- денталя.
• Если успеем: группы Шевалле как аналоги полупростых алгебр Ли над кольцами.
• Если успеем: бесконечномерные аналоги полупростых алгебр Ли, их представления.

Элементы контроля

• Активность
• Листки
• КР
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 4th module
  Вычисляется по формуле 0,2K + 0,5E + 0,1S + 0,2L, где K — оценка за контрольную в середине семестра, E — оценка за экзамен в конце семестра, S — оценка за работу на семинарах, L — оценка за листки.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, Хамфрис, Дж., 2003
• Лекции о группах Шевалле, Стейнберг, Р., 1975

Рекомендуемая дополнительная литература

• Группы и алгебры Ли : алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, Бурбаки, Н., 1976
• Группы и алгебры Ли : группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями системы корней, Бурбаки, Н., 1972
• Группы и алгебры Ли : подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, Бурбаки, Н., 1978

Авторы

• Иконописцева Юлия Вахтанговна
• Игнатьев Михаил Викторович