Рабочий семинар по математической физике: Фёдор Селянин (Сколтех, унив. ВШЭ)

Основным инвариантом в зеркальной симметрии Батырева является струнный E-полином. В случае гладких многообразий он вычисляет числа Ходжа соответствующих гиперповерхностей в торическом многообразии, а сама симметрия проявляется в симметричности коэффициентов этого полинома. Формула для него, предложенная Батыревым и Борисовым, была впоследствии значительно упрощена Борисовым и Мавлютовым. В дальнейшем Кац и Степлдон обнаружили, что компоненты упрощенной формулы — так называемые S-полиномы — были ранее введены Стэнли в комбинаторике под названием локальных h*-полиномов.
В данном докладе будет представлен максимально доступный обзор комбинаторики, приведшей к появлению локальных h*-полиномов, который в значительной степени опирается на классические результаты Стэнли. Для этого мы обсудим теорию Эрхарта, обобщающую формулу Пика, и комбинаторику многогранников, которая служит обобщением уравнений Дена - Сомервиля.
Кроме того, эта комбинаторика связана с классическими задачами теории особенностей (включая подсчет жордановой нормальной формы оператора монодромии и предельных смешанных чисел Ходжа) и торической геометрии (например, с описанием когомологий торических многообразий и применением BBD-теоремы о разложении к торическим морфизмам)