Семинар Международной лаборатории теории представлений и математической физики ВШЭ-Сколтех: Анфиса Гуренкова

В классической задаче Хорна спрашивается, как связаны наборы собственных значений эрмитовых nxn матриц X, Y и X+Y? Ответ на этот вопрос представляет из себя систему линейных неравенств — неравенств Хорна. Естественно спросить: а что будет, если складывать не две, а три или больше матриц? Оказывается, в этом случае ответ нелинеен уже в простейшем случае 2х2 матриц и описать его трудно.
Куда проще решать тропическую версию задачи. Тропические собственные значения удовлетворяют линейным неравенствам, аналогичным неравенствам Хорна, и некоторым тропическим равенствам. Эти равенства воспроизводят рекуррентный алгоритм нахождения кристаллического ассоциатора.
Объяснить это совпадение можно с помощью геометрических кристаллов. Кристалл алгебры Ли gl_n -- это комбинаторная модель её представления. Кристалл можно реализовать как множество целых точек многогранника с некоторыми структурами, заданными кусочно-линейными функциями, а именно -- тропическими многочленами (т.е. выражениями от координат, составленными с помощью операций +, -, max). Геометрический кристалл "детропикализует" обычный кристалл. Оказывается, что тропическая задача Хорна -- это "тропикализация" задачи о нахождении кратностей в тензорном произведении геометрических кристаллов.

P.S. Информация о прошедших семинарах находится здесь https://sites.google.com/site/alexandrburyakhomepage/lab-seminar?authuser=0

Добавить в календарь