Алексей Зыкин: Упаковки шаров и теория чисел

Задача о нахождении максимальной плотности упаковки шаров в Евклидовом пространстве является крайне естественной и изучается с самых давних времен. При этом вопрос оказывается чрезвычайно сложным и интересным. Так, ответ на него в размерности 3 получил Thomas Hales, доказавший в 1998 году гипотезу Кеплера 1611 года, о том, что гранецентрированная кубическая упаковка является плотнейшей. В размерности 4 задача до сих пор не решена.

В 2016 году Мариной Вязовской был совершен прорыв, позволивший получить доказательство оптимальности решетчатой упаковки в, а также, в статье с соавторами, доказательство оптимальности упаковки, задаваемой решеткой Лича. Эти доказательства оказываются неожиданно коротким и понятным, особенно в сравнении с 300-страничным текстом доказательства гипотезы Кеплера.

Основная цель миникурса - рассказать, как доказывается оптимальность упаковок в размерностях 8 и 24. Доказательства используют модулярные формы - вездесущий объект в теории чисел, да и во всей математике.

Кроме того, будет объяснено, что известно про асимптотический вариант проблемы упаковки шаров, когда размерность n велика. Здесь тоже был достигнут определенный прогресс в недавнее время: Akshay Venkatesh значительно улучшил нижнюю границу (т.е. границу существования) на плотность в бесконечном числе размерностей n. При этом удивителен тот факт, что решетки, дающие упаковки с такой плотностью, в некотором смысле «случайные».

Если позволит время, будет рассказано, как можно получать явные конструкции асимптотически хороших упаковки шаров, с использованием объектов из арифметики глобальных полей.