С 28 сентября начинается НИС "Контактная топология и инварианты Лежандровых узлов" под руководством П.Е.Пушкаря и И.Яковлева

Хотя существует несколько учебников, где фундаментальные факты контактной топологии изложены очень хорошо, современные результаты можо найтилибо в оригинальных статьях, либо в разрозненных обзорах и записках лекций. Кроме того, часть технического аппарата довольно тяжелая. Это относится в первую очередь к теории выпуклых поверхностей, в которой при всей ее наглядности тяжело разобраться, не повторив доказательства у доски.

На нашем семинаре мы хотим разобрать основные теоремы контактной топологии, вникая в технические детали доказательств. Предполагается, что слушатели тоже будут делать доклады. 

Лекции будут проходить по понедельникам, с 14:40 по 17:40 в ауд. 213.

В дальнейшем, мы не будем делать рассылку; вместо этого вся информация (анонсы, ссылки на литературу, возможно, конспекты) будут выкладываться  в телеграм канале  и  на страничке курса ,  которая скоро появится. В ближайшее время, в канал будет выложен конспект с общим обзором результатов, доказательство которых мы хотим разобрать в курсе. 

Пререквизиты

Мы не предполагаем у слушателей никаких специальных знаний, выходящих за рамки курса дифференциальной геометрии. Все необходимые определения будут даны на лекциях.

Анонс семинара
Трехмерное контактное многообразие это многообразие с выделенным коориентируемым максимально неинтегрируемым распределением двумерных поверхностей.

Таких многообразий много - например, по римановой поверхности можно построить контактное многообразие единичных кокасательных векторов, каждая выпуклая гиперповерхность в штейновой поверхности снабжается контактной структурой. Стартуя с контактного многообразия,  можно построить новые - для контактных многообразий определены операции хирургии. Самым важным примером контактного многообразия является \mathbb{R}^3 со стандартной контактной структурой \xi_{st}.

Кривая в контактном многообразии называется Лежандровой, если она касается контактного распределения в каждой точке. С возникновения контактной топологии известны так называемые классические инварианты Лежандровых узлов (число Терстона-Беннекена и число вращения). Первая задача нашего курса - разобрать результаты классификации Лежандровых узлов в (\mathbb{R}^3,\xi_{st}) с точки зрения классических  инвариантов - понять, какие значения могут принимать эти инварианты, когда гладко изотопные узлы с равными классическими инвариантами изотопны как Лежандровы узлы. 

Другая задача контактной топологии - классификация контактных структур на данном многообразии. В отличие от, например, симплектической геометрии, контактные структуры не образуют пространств модулей. Теорема стабильности гарантирует, что их множество дискретно, и большом числе примеров это множество можно полностью описать. Оказывается, что классификация структур тесно связана с классификацией узлов.

Она начинается с разделения всевозможных контактных многообразий на два класса - тугих и перекрученных - и данное контактное многообразие попадает в один из этих двух классов в зависимости от того, какие классические инварианты бывают у незаузленных Лежандровых  узлов в нем. Перекрученные контактные структуры были полностью классифицированы Элиашбергом, описание множества тугих контаткных структур - важная и сложная задача.

Программа НИСа

1) Контактные многообразия, теоремы стабильности, Лежандровы узлы. Примеры.

2) Лежандровы узлы в стандартном контактном пространстве. Волновой фронт, классические инварианты. Стабильная простота. 

3) Теоремы существования контактных структур. Разложения открытой книги. 

4) Перекрученные структуры. Незатянутые узлы в перекрученных контактных многообразиях.

5) Заполнения контактных многообразий. Тугие контактные структуры. 

6) Характеристические слоения, выпуклые гиперповерхности, гибкость Жиру.

7) Критерий Жиру, неравенство Терстона-Беннекена. 

8) Начала классификации тугих контактных структур.

9) Теорема Элиашберга о классификации перекрученных контактных структур.

* 10) Соответствие Жиру между контактными структурами и разложениями открытой книги.

* 11) Связь с теорией слоений.

* 12) Инвариант контактной структуры в гомологиях Хегора-Флоера. 

Список литературы

·        McDuff, Salamon. Introduction to Symplectic Topology.

·        В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь. Симплектическая геометрия.

·        Hansjörg Geiges. An introduction to contact topology.

·        Ozbagci, Burak, Stipsicz, András. Surgery on Contact 3-Manifolds and Stein Surfaces.

·        John B. Etnyre. Legendrian and transversal knots.

·        John B. Etnyre. Convex surfaces in contact geometry 

·        Patrick Massot. Topological methods in 3–dimensional contact geometry.

·        Ko Honda. Notes for math 599: Contact Geometry.

·        Steven Sivek. Math 273, Contact geometry in 3 dimensions.

Ваня Яковлев