Родион Деев: Теорема Гаупта–Каповича и сомнительная линейная алгебра

Теорема Гаупта–Каповича и сомнительная линейная алгебра

Пусть $S$ — сфера с $g$ ручками. Какие классы когомологий $H^(S, \C)$ можно представить голоморфной 1-формой для какой-нибудь комплексной структуры на $S$? В 1920 году О. Гаупт доказал, что это множество может быть описано чисто топологически. Через 80 лет это утверждение было переоткрыто М. Каповичем с использованием теории Ратнер. При этом самым важным случаем в доказательстве являются эллиптические классы — те, которые могут быть подняты с эллиптической кривой вдоль разветвлённого накрытия. Мы обсудим доказательство теоремы для эллиптических классов и его возможное обобщение, а потом, если время позволит, вспомним доказательство для всех остальных классов, и какие проблемы возникали при его обобщении.