Cеминар по геометрической топологии: доклады Елены Кудрявцевой и Михаила Тёмкина

*** Первый доклад - начало в 17:00 ***

Елена Кудрявцева :  Комбинаторика пространства функций Морса на двумерном торе

Аннотация: В докладе рассматривается пространство функций Морса с четырьмя критическими точками на двумерном торе. Функция Морса называется строгой, если все ее критические значения попарно различны. Строгие функции Морса образуют открытое подмножество, связные компоненты которого назовём камерами (т.е. камеры — это классы изотопности строгих функций Морса).
Мы покажем, что каждая камера смежна с бесконечным числом других камер. Также мы построим биекцию между «стенками камер» и классами изотопии клеточных разбиений двумерного тора из четырех клеток. Оказывается, что известный граф Farey является графом смежности для множества камер, т.е. графом, вершины которого отвечают камерам, а две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда отвечающие им камеры смежны.

*** Второй доклад - начало ориентировочно в 18:45, более точная оценка - через 15 минут после того, как закончится первый доклад ***

Михаил Тёмкин : Скольжение ручек в контексте функций Морса

Аннотация: Доклад посвящён доказательству леммы, на которую опираются некоторые результаты доклада от 26 декабря. Они касаются взаимного расположения камер (строго)морсовских функций на данном многообразии размерности хотя бы четыре. Первый говорит, что найдётся строгая функция Морса, камера которой смежна с бесконечным числом других камер. Второй – что от любой данной функции Морса можно добраться до сколь угодно "сложной" за ограниченное число шагов сквозь камеры. Мы начнём с их доказательства по модулю леммы, потом приступим к ней самой.

Утверждение леммы, принадлежащее Смейлу (и переформулированное в таком виде Милнором), заключается в следующем. Пусть на фиксированном многообразии M даны строгая функция Морса f и риманова метрика \rho. Такая пара даёт комплекс Морса, базированный критическими точками f. Рассмотрим две соседние (в смысле линейного порядка) такие точки, назовём их p и q, f(p)>f(q). Предположим, что они одного индекса k, причём 2\le k\le dim M−2. Тогда найдётся новая метрика \rho_1, такая, что новая матрица дифференциала (в комплексе Морса) из C_k в C_{k−1} есть старая матрица, умноженная справа на замену базиса, переводящую p в p+q (мы отождествляем критические точки и образующие комплекса).

Наконец, по желанию слушателей можно будет обсудить ещё два сюжета, связанных с тематикой доклада 26 декабря. Первый – это связь обогащённого разложения Баранникова с кручениями комплексов. Второй – подробности доказательства теоремы Ахметьева о свойствах диаграмм Серфа однопараметрических путей функций.

Трансляции докладов должны появиться здесь: https://www.youtube.com/user/samelikhov/videos

Страница семинара: http://www.mathnet.ru/php/conference.phtml?confid=192