День Арнольда 2024 на Факультете математики

Константин Ханин, профессор математики Университета Торонто

Тема лекции: "Ренормализация, Универсальность, Жесткость: современное развитие идей Арнольда о линеаризации диффеоморфизмов окружности"

В 1961 году В.И.Арнольд впервые доказал результат о линеаризации гладких диффеомофизмов окружности близких к поворотам в случае типичных иррациональных чисел вращения.

Арнольд также высказал гипотезу о том, что этот результат должен быть верен глобально, то есть без условия близости к линейным поворотам. Только через 15 лет гипотеза Арнольда была доказана М. Эрманом.

Примерно в это же время идеи ренормализации нашли применение в теории динамических систем. С точки зрения теории ренормализации теорема Эрмана может быть интерпретирована как утверждение о простых неподвижных точках для ренормализационного оператора. Оказывается, что в случае отображений окружности с особенностями возникают новые нетривиальные неподвижные точки. При этом эти неподвижные точки обладают свойством универсальности. Это означает, что любые два отображения окружности с одинаковым числом вращения и с одинаковым типом особых точек приближаются к одному и тому же предельному семейству.

На лекции будут приведены основные результаты теории ренормализации отображений окружности с особенностями. Вы узнаете, каким образом сходимость ренормализаций позволяет установить жесткость для отображений окружности с особенностями. Жесткость означает, что два отображения окружности и одинаковым типом особых точек гладко сопряжены друг с другом при условии, что их общее число вращения является типичным, то есть удовлетворяет некоторым диофантовым условиям.

Зайцев Михаил Романович (НИУ ВШЭ)

Тема лекции: "О вычислении спектра квантовых матриц"

Вы узнаете об алгебре уравнения отражений (REA) – одной из большого класса квантовых матричных алгебр. В них есть замечательные полиномы, лежащие в коммутативной (а в случае алгебры уравнения отражений центральной) характеристической подалгебре и имеющие многие свойства классических симметрических функций. В REA выполнено квантовое тождество Гамильтона-Кэли, с помощью которого вводится понятие спектра квантовой матрицы, позволяющего явно описывать её характеристическую подалгебру.

REA связана с квантовой универсальной обёртывающей U_q(sl(N)), в частности она имеет эквивалентную теорию конечномерных представлений, а её характеристическая подалгебра совпадает с центром квантовой группы. Основная часть лекции будет посвящена теории представлений REA, а также удобному способу описывать действие центральных элементов в разложимых представлениях.