Зимняя студенческая школа по математике и теоретической информатике 2025

Школа проводится факультетом математики НИУ ВШЭ совместко с факультетом математики и компьютерных наук СПбГУ.
Мы приглашаем студентов старших курсов бакалавриатов математических и смежных специальностей, а также магистрантов и аспирантов, планирующих продолжить изучение теоретической математики. В программе 8 миникурсов, призванных осветить различные направления современнной математики и теоретической информатики. Среди них (детальная программа появится позже):

1. Л.В. Локуциевский, МИАН, НИУ ВШЭ, МГУ — Суб-финслерова геометрия и выпуклая тригонометрия
Субфинслерова геометрия  во многом похожа на классическую геометрию и обобщает ее ровно в том же смысле, в котором произвольная норма на R^n обобщает классическое евклидово расстояние. Вот простейший пример задачи субфинслеровой геометрии: найти кривую на плоскости наименьшей длины, ограничивающую данную площадь (только длина кривой вычисляется не через евклидово расстояние, а через некоторую норму на плоскости). На лекциях мы поговорим о том, как возникают задачи субфинслеровой геометрии, и как их можно решать. Мы обсудим результат Громова-Пансу о графах Кэли и аппарат выпуклой тригонометрии.

2. А.А. Кузнецова, МИАН, НИУ ВШЭ — Теорема Фробениуса-Перрона
Пусть V — это вещественное векторное пространство, а A — линейный оператор на V, который сохраняет некоторый выпуклый конус. Теорема Фробениуса-Перрона описывает свойства такого оператора A: оказывается, наибольшее по модулю собственное значение такого оператора обязано быть положительным вещественным числом, а соответствующий ему собственный вектор лежит внутри конуса. Эта теорема имеет многочисленные приложения в разнообразных областях математики от теории графов до алгебраической геометрии. Мы обсудим доказательство одной из версий теоремы Фробениуса-Перрона и некоторые ее приложения.

3. В.Н. Сивкин, НИУ ВШЭ —  Задачи математической томографии
В данном курсе мы узнаем, какие задачи томографии решает математика в медицине, микроскопии и техническом контроле. Мы познакомимся с математическими преобразованиями волн, узнаем, как их обращать, и какие сложности возникают на этом пути. В частности, мы рассмотрим задачу обращения преобразования Радона, и задачу обращения преобразования Фурье по бесфазовым данным.

4. Ф.В. Уваров, НИУ ВШЭ  —  Комбинаторика представлений классических групп Ли

Теория представлений классических групп Ли тесно связана с такими комбинаторными объектами как диаграммы и таблицы Юнга, а также схемы Гельфанда-Цейтлина. Например, классы изоморфизмов неприводимых полиномиальных представлений группы GL(n) однозначно соответствуют диаграммам Юнга с не более чем n строками, а полустандартные таблицы Юнга и схемы Гельфанда-Цейтлина описывают элементы базисов этих представлений.

На мини-курсе мы увидим, что различные результаты из теории представлений имеют интересное комбинаторное описание. Одним из центральных сюжетов будет двойственность Хау, при которой две группы, действуя на одно представление, являются взаимными централизаторами. Разложение этого представления в прямую сумму неприводимых приводит к соответствиям между базисными векторами, которые с точки зрения комбинаторики таблиц Юнга являются различными вариантами соответствия Робинсона - Шенстеда - Кнута.

5. Г.В. Ненашев, СПбГУ — Комбинаторное исчисление Шуберта
В данном курсе мы будем изучать исчисление Шуберта. Это раздел перечислительной геометрии, связанный с комбинаторикой и теорией представлений. Классический пример задачи: сколько есть прямых на кубической поверхности? Мы обсудим такие понятия как симметрические функции Шура, коэффициенты Литтлвуда — Ричардсона, многочлены Шуберта и др.

6. Б.А. Золотов, СПбГУ — Продвинутые алгоритмы
В данном курсе мы рассмотрим несколько алгоритмов, не изучаемых в общих курсах, но крайне интересных с точки зрения реализации и применений. Мы узнаем, что такое умножение перестановок по Демазюру, как его делать за время O(n log n) и как оно позволяет по-другому посмотреть на решение задачи о наибольшей общей подпоследовательности. Также мы рассмотрим быструю реализацию алгоритма Робинсона — Шенстеда — Кнута для таблиц Юнга и несколько задач вычислительной геометрии.

7. П.В. Губкин, СПбГУ, ПОМИ — Ортогональные многочлены на окружности 
Пусть дана вероятностная мера с ограниченным носителем на комплексной плоскости. Все многочлены лежат в пространстве L^2 по этой мере, а значит их можно ортогонализовать с помощью классического метода Грама — Шмидта. Оказывается, что полученные таким методом ортогональные многочлены удовлетворяют простому рекуррентному соотношению. Более того, коэффициенты этого соотношения однозначно задают исходную меру. На мини-курсе мы обсудим, как свойства полученных коэффициентов рекурсии помогают описать свойства исходной меры. Например, ответим на вопрос о том, когда многочлены плотны в  L^2. Если останется время, опишем, как идеи из теории ортогональных многочленов применяются при изучении дифференциальных операторов.

8. М.К. Досполова, СПбГУ, ПОМИ — Внутренние объемы: вероятностный подход
У каждого выпуклого компакта K в R^d есть характеристики, которые называются внутренними объемами K. Они включают в себя понятия объема, площади поверхности, средней ширины K, и являются важными объектами в стохастической геометрии.  Они не зависят от размерности объемлющего пространства d, а зависят только от внутренней геометрии K.  Известно, что у внутренних объемов существует гауссовское представление, которое позволяет изучать их с вероятностной точки зрения. На мини-курсе мы обсудим различные задачи на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей, изучим связь внутренних объемов и гауссовских процессов, а также сформулируем открытые задачи по теме.
------------------------------------------------

Иногородним участникам школы будет оплачена дорога и проживание. К сожалению, количество мест ограничено. Мы приносим свои извинения за то, что не сможем одобрить все поданные заявки. 

По всем вопросам, пожалуйста, пишите: А.В. Дымову (dymov@mi-ras.ru) c копией Л. Асцатурян (lastsaturyan@hse.ru)

Добавить в календарь