• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Семинар лаборатории

Еженедельный семинар лаборатории кластерной геометрии

Семинар проходит на факультете математики НИУ ВШЭ, по четвергам в 18:00 в аудитории 427 и онлайн в Zoom (ссылка по запросу у организатора)

Информацию о предыдущих заседаниях семинара можно найти, пройдя по ссылке MathNet

 

16 декабря 2021

Leonid Chekhov (Steklov Mathematical Institute and Michigan State University)

Goldman bracket and monodromies of $sl_n$-systems (Series of 3 Lectures)

Lecture 3.Ссылка на запись семинара

Reflection equation and algebras of the groupoid of upper-triangular matrices. How to construct matrix elements satisfying quantum reflection equation relations out of cluster variables of $sl_n$ monodromies of any planar network $N$.

 

09 декабря 2021

Leonid Chekhov (Steklov Mathematical Institute and Michigan State University)

Goldman bracket and monodromies of $sl_n$-systems (Series of 3 Lectures)

Lecture 2.Ссылка на запись семинара
Goal: find canonical (Darboux) coordinates parameterizing monodromies of Fuchsian systems and generating the Goldman bracket and its quantization. In $sl_2$ case they are shear coordinates for $\Sigma_{g,s}$ and extended shear coordinates for $\sigma_{g,s,n}$---Riemann surface of genus $g$ with positive $s$ holes and with positive $n$ decorated cusps on hole boundaries. For this system, we construct monodromies satisfying (i) the Goldman bracket (or its quantum analogue) (ii) the groupoid condition: the condition of consistency of monodromy relations. We use Fock-Goncharov-Shen (FGS) coordinates on $\Sigma_{0,1,3}$ for $sl_n$ connection as a building block of $sl_n$ monodromies for the general $\Sigma_{g,s,n}$ with positive $n$ and prove that thus constructed monodromies satisfy Goldman relations. Our proof works for any planar network (see M.Shapiro's cycle of lectures)

Mapping class group transformation Interpretation of FGS coordinates as cluster variables. Pentagon relation in $sl_2$ case and its generalizations in $sl_n$. Relation to modular transformations by Dehn twists in $sl_2$ case. Groupoid condition for $sl_n$ case.

 

02 декабря 2021

Leonid Chekhov (Steklov Mathematical Institute and Michigan State University)

Goldman bracket and monodromies of $sl_n$-systems (Series of 3 Lectures)

Lecture 1.Ссылка на запись семинара
Origin of the Goldman bracket: topological 3D Chern-Symons action; canonical variables, Poisson semiclassical bracket originated from the CS action. Interpretation in $sl_2$ case as an algebra of geodesic functions. Poisson and skein relations. Thurston's shear coordinates. Moduli spaces of flat connections and monodromies of Fuchsian systems. Thurston's shear coordinates and Penner's $\lambda$ lengths.

 

25 ноября 2021

Hugh Thomas (Lacim, UQAM, Montreal, Canada)

String-like amplitudes from surfaces. Ссылка на запись семинара

In 1969, Koba and Nielsen found some equations (now known as u-equations or non-crossing equations) whose solutions can be described as cross-ratios of n points on a line. The tree string amplitude, or generalized Veneziano amplitude, can be defined as an integral over the non-negative solutions to the u-equations. This is a function of the particle momenta, or more precisely, of the Mandelstam variables. It has interesting properties: it does not diverge as the Mandelstam variables get large, and it exhibits factorization when one of the variables approaches zero. One should think of these functions as being associated to the disk with marked points on the boundary. I will report on ongoing work with Nima Arkani-Hamed, Hadleigh Frost, Pierre-Guy Plamondon, and Giulio Salvatori, in which we replace the disk by other oriented surfaces. I will focus on finding and solving the u-equations; there are still some challenges that remain for correctly formulating the corresponding integrals.

 

18 ноября 2021

Tudor Dimofte (UC Davis, USA)

Classical and quantum A-polynomials. Ссылка на запись семинара

This talk aims to review aspects of the A-polynomial and its proposed quantizations, in mathematics and physics. I will focus on relations with Chern-Simons theory, skein theory, and cluster algebras.

 

11 ноября 2021

Валентин Овсиенко (Universite de Reims Champagne-Ardenne)

Все о квантовых числах. Ссылка на запись семинара

q-деформации вещественных чисел — понятие, недавно возникшее на стыке теории кластерных алгебр и цепных дробей. Я подробно объясню определение и основные свойства q-чисел, связь с разными разделами математики и перспективы развития новой теории.

 

28 октября 2021

Ирина Боброва  

On the Painlev\’e equations and their non-Abelian generalisations . Ссылка на запись семинара

The differential Painlev\’e equations were discovered more than a hundred years ago and since the eighties have been appearing in many branches of mathematics and physics. General solutions of such equations do not have movable singular points (the Painlev\’e property). The Painlev\’e property is closely related to the integrability and that is the reason for the considerable attention to these equations in recent years. During this talk we will focus mostly on the second and fourth Painlev\’e equations.
In the first part of the talk we will give a brief introduction to the Painlev\’e equations and their structures, such as integrability, confluences, monodromy surfaces, Hamiltonians and symmetries. One of the natural generalisations of the Painlev\’e equations is their higher analogs (in other words, hierarchies). It turns out that the hierarchies can inherit some structures of the classical Painlev\’e equations (see, e.g. arXiv:nlin/0610066, arXiv:2010.10617, arXiv:2012.11010).
The second part is devoted to some integrable non-commutative versions of the Painlev\’e equations. In such generalisations, the dependent variables belong to an associative unital algebra, the trivial central extension of which may be given by constants only (in this case, the independent variable is non-commutative) or by the independent variable. We will consider examples of both the generations mentioned above and a method called the matrix Painlev\’e-Kovalevskaya test that allows us to detect integrable matrix generalisations of the Painlev\’e equations. This part is based on a joint work with Vladimir Sokolov (arXiv: 2107.11680, arXiv:2110.12159).

 

21 октября 2021

Борис Бычков 

Электрические сети и Лагранжев Грассманиан. Ссылка на запись семинара

Электрическая сеть это граф вложенный в диск с положительными весами на ребрах. Пространство электрических сетей может быть вложено в полностью неотрицательный Грассманиан $\mathrm{Gr}_{\geq 0}(n-1,2n)$. В докладе я расскажу про новую параметризацию пространства электрических сетей, которая определяет вложение в полностью неотрицательный Лагранжев Грассманиан $\mathrm{LG}_{\geq 0}(n-1)\subset\mathrm{Gr}_{\geq 0}(n-1,V)$ для некоторого 2n-2-мерного пространства $V$.

 

14 октября 2021

Александр Буряк 

Пространства модулей кривых с мероморфными дифференциалами и иерархия КП. Ссылка на запись семинара

В начале доклада я кратко приведу конструкцию систем коммутирующих УрЧП, стартуя с когомологической теории поля и используя циклы двойных ветвлений в пространстве модулей стабильных кривых. Эта конструкция интересна с одной стороны как проявление глубокой связи алгебраической геометрии и теории интегрируемых систем в мат. физике, а с другой стороны потому, что такая конструкция позволяет гипотетически получать все интегрируемые системы из определённых классов. До недавнего времени интегрируемые системы с бесконечным числом зависимых переменных выходили за рамки этого подхода. Основная цель доклада -- рассказать про нашу недавнюю работу с Дмитрием Звонкиным и Паоло Росси, где мы получили иерархию КП в рамках данного подхода, стартуя с одной красивой и просто описываемой (частичной) когомологической теории поля.

 

07 октября 2021

В. Фок (Университет Старсбурга)

Высшие Ламинации. Ссылка на запись семинара

Ламинация на двумерной поверхности это набор неориентированных кривых, рассматриваемый с точностью до изотопии. Пространство ламинаций является тропикализацией пространстве PGL(2)-плоских связностей а также нумерует канонический базис функций на этом пространстве. Мы интерпретируем ламинации как классы гамильтоновой эквивалентности лагранжевых разветвлённых накрытий для того, чтобы обобщить их на случай плоских G-связностей для других групп. В качестве побочного вычисления мы опишем, как считать лагранжевы разветвлённые накрытия с помощью топологической теории поля, построенной по алгебре Гекке (подобно тому, как топологическая теория поля, соответствующая симметрической группе считает числа Гурвица).

 

30 сентября 2021

А.В. Зорич (Центр Перспективных Исследований Сколтеха и Университет Парижа)

Характеристические классы и теория пересечений. Ссылка на запись семинара

Я начну с напоминания формулы Концевича-Норбури для числаметрических ленточных графов в терминах корреляторов Виттена-Концевича (чисел пересечения пси-классов). Используя эту формулу, мы посчитали вместе с Э.Гужар, В.Делекруа и П.Зографом асимптотику числа поверхностей в клеточку фиксированного рода и с фиксированным числом тех вершин, к которым примыкают ровно две клеточки. Число таких поверхностей, замощённых не более чем N клеточками, растет полиномиально по N. Коэффициент при старшем члене асимптотики - объём Мэйзура-Вича пространства модулей квадратичных дифференциалов. Если останется время, я расскажу два слова о частотах, с которыми встречаются простые замкнутые несамопересекающиеся мультикривые. Эти частоты были посчитаны Мирзахани. Мы доказали, что частоты, с которыми встречаются поверхности в клеточку фиксированного топологического типа, совпадают с частотами Мирзахани мультикривых соответствующего топологического типа. Лекция будут неформальной; в некоторых местах нестрогой и почти без доказательств, но я надеюсь сделать её доступной для широкой аудитории.

 

23 сентября 2021

В.Жуков, С.Гаврилова

Y-сети и обобщение пентаграммного отображения II (after Max Glick, Pavlo Pylyavskyy «Y-meshes and generalized pentagram maps», 2016) . Ссылка на запись семинара

Конструкция Y-сети, обобщающая конструкцию пентаграммного отображения, порождает конфигурацию точек и прямых с четырьмя точками на каждой прямой. Такие системы имеют кластерное описание, о котором мы постараемся рассказать.Эта конструкция включает в себя многие из изучавшихся ранее обобщений пентаграммного отображения. В частности, мы расскажем про то, как возникают в контексте Y-сетей так называемые dented pentagram maps, ранее рассмотренные Хесиным и Соловьевым.

 

16 сентября 2021

В.Жуков, С.Гаврилова

Y-сети и обобщение пентаграммного отображения I (after Max Glick, Pavlo Pylyavskyy «Y-meshes and generalized pentagram maps», 2016) . Ссылка на запись семинара

Конструкция Y-сети, обобщающая конструкцию пентаграммного отображения, порождает конфигурацию точек и прямых с четырьмя точками на каждой прямой. Такие системы имеют кластерное описание, о котором мы постараемся рассказать.Эта конструкция включает в себя многие из изучавшихся ранее обобщений пентаграммного отображения. В частности, мы расскажем про то, как возникают в контексте Y-сетей так называемые dented pentagram maps, ранее рассмотренные Хесиным и Соловьевым.

 

09 сентября 2021

С.А.Меркулов (Университет Люксембурга)

Gravitational properad and moduli space Mg,n. Ссылка на запись семинара

Let  M g , n   be the moduli space of algebraic curves of genus  g   with  m + n   marked points decomposed into the disjoint union of two sets of cardinalities  m   and  n , and  H ( M m + n )   its compactly supported cohomology group. We prove that the collection of  S -bimodules  { H ( M g , m + n ) }   has the structure of a properad (called the gravity properad) such that it contains the (degree shifted) E. Getzler's gravity operad. Moreover, we prove that the generators of the

1-dimensional cohomology groups  H ( M 0,1+2 ) ,  H ( M 0,2+1 )   and  H ( M 0,3+0 )   satisfy with respect to this properadic structure the relations of the (degree shifted) quasi-Lie bialgebra, a fact making the totality of cohomology groups  ∏ g , m , n H ( M g , m + n ) ⊗ S m × S n ( sgn m ⊗ Id n )   into a complex with the differential fully determined by the just mentioned three cohomology classes. It is proven that this complex contains infinitely many cohomology classes, all coming from

M. Kontsevich's odd graph complex. The gravity properad structure is established with the help of T. Willwacher's twisting endofunctor (in the category of properads under the operad of Lie algebras) and K. Costello's theory of moduli spaces of nodal disks with marked boundaries and internal marked points (such that each disk contains at most one internal marked point).

 

02 сентября 2021

Gabriele Mondello ("Sapienza" Universit a di Roma)

On spherical surfaces with conical points. Ссылка на запись семинара

A spherical surface with conical points is real oriented 2-dimensional manifold that can be obtained from a disjoint union of convex spherical triangles by isometric identification of pairs of edges. Thus, to every spherical surface we can associate an underlying Riemann surface with marked points. Once the angles are fixed (and the Gauss-Bonnet constraint permits), the analogous procedure with hyperbolic or flat surfaces produces a bijection between constant curvature metric structures with conical singularities and conformal structures with marked points, which generalizes the uniformization theorem. In the spherical case the situation looks quite different.

In this talk I will review some known results about the topology of the moduli space of spherical surfaces of genus g with n conical points. Then I will describe a synthetic approach to the case (g,n)=(1,1) in more detail, which is joint work with Eremenko-Panov.

 

27 мая 2021

А.Шапиро (University of Notre-Dam)

Квантовые разнообразия характеров II. Ссылка на запись семинара

 

20 мая 2021

А.Шапиро (University of Notre-Dam)

Квантовые разнообразия характеров I. Ссылка на запись семинара

По ориентированной поверхности S и группе Ли G можно построить соответствующее многообразие характеров (пространство модулей G-локальных систем на S). Такие пространства модулей имеют естественную пуассонову структуру, и значит могут быть проквантованы. Существует несколько разных способов это сделать, один из которых использует кластерную пуассонову структуру на пространствах модулей, описанную Фоком и Гончаровым. Я расскажу об этом подходе, а также о том, как он связан с квантовыми группами, квантовыми монодромиями и квантовыми следами.

 

13 мая 2021

А.А.Морозов (МФТИ, ИТЭФ, ИППИ)

Точные вильсоновские средние в теории Черна-Саймонса Ссылка на запись семинара

Мы обсудим различные разработанные в последнее время подходы к вычислению точных вильсоновских средних в калибровочной теории Черна-Саймонса, то есть инвариантов узлов. Мы рассмотрим различные подходы, основанные на применении R-матриц квантовых групп. Также мы обсудим подход, позволяющий определить и вычислить полиномы виртуальных узлов — узлов в пространстве нетривиальной топологии.

 

29 апреля 2021

Andrew Neitzke (Yale University, USA)

Spectral networks and some applications III. Ссылка на запись семинара

 

22 апреля 2021

Andrew Neitzke (Yale University, USA)

Spectral networks and some applications II. Ссылка на запись семинара

 

15 апреля 2021

Andrew Neitzke (Yale University, USA)

Spectral networks and some applications I

I will describe the notion of "spectral network." These objects appeared in WKB theory under the name "Stokes graphs," and later arose in my joint work with Gaiotto and Moore on BPS states in supersymmetric field theory. They are generalizations of the critical graph of a meromorphic quadratic differential. It has turned out that they are connected to various different subjects: e.g. analysis of ODEs, hyperkahler geometry, Donaldson-Thomas invariants, cluster varieties, quantum topology. I will define what they are and explain as many applications as I can. Ссылка на запись семинара, Ссылка на презентацию.

 

08 апреля 2021

А.Б. Скопенков

Исключение пересечений старших кратностей в метастабильных размерностях

r-кратные аналоги трюка Уитни витали в воздухе с 1960-х годов. Однако только в этом веке их сформулировали, доказали и получили с их помощью интересные результаты. Я расскажу о доказательстве и применении r-кратного трюка Уитни в ситуации, когда в общем положении r-кратные пересечения имеют положительную размерность.Ссылка на запись семинара

 

01 апреля 2021

В.Г. Горбунов

Электрическая группа и алгебра Ли

В докладе мы определим электрическую группу и алгебру Ли следуя работам Т. Лама и П. Пилявского и обсудим  подходы к изучению ее вполне положительной части. Ссылка на запись семинара

 

25 марта 2021

Петр Пушкарь

Теория Морса и унитреугольная геометрия (по совместной работе с М.Темкиным) . Ссылка на запись семинара

 

18 марта 2021

Петр Пушкарь

Теория Морса и унитреугольная геометрия (по совместной работе с М.Темкиным)

Строгая функция Морса -- это морсовская функция с попарно различными критическими значениями.  Такой функции можно сопоставить естественный инвариант, разбив критические точки на пары и отвечающие за гомологии (1990е Баранников), я опишу этот инвариант. Мы каждой паре Баранникова  сопоставим еще и (определенное с точностью до знака) ненулевое число. Наша конструкция близка к конструкции клеток Брюа в линейной алгебре, и даже в линейной алгебре дает неожиданные результаты. Так кажется естественным построить "определитель" матрицы любого размера, встречавшийся только в историях о зачете по линейной алгебре. Ссылка на запись семинара

 

11 марта 2021

Михаил Шапиро

Введение в теорию кластерных алгебр VI . Ссылка на запись семинара

 

04 марта 2021

Михаил Шапиро
Введение в теорию кластерных алгебр V. Ссылка на запись семинара

 

25 февраля 2021

Михаил Шапиро

Введение в теорию кластерных алгебр IV. Ссылка на запись семинара

 

18 февраля 2021

Михаил Шапиро

Введение в теорию кластерных алгебр III. Ссылка на запись семинара

 

11 февраля 2021

Михаил Шапиро

Введение в теорию кластерных алгебр II. Ссылка на запись семинара

 

04 февраля 2021

Михаил Шапиро

Введение в теорию кластерных алгебр I. Ссылка на запись семинара

В этом мини-курсе мы рассмотрим понятие кластерной алгебры на примерах описания вполне положительных матриц и функций на пространствах Тейхмюллера. Мы опишем некоторые базовые результаты из теории кластерных алгебр и приложения этой теории к интегрируемым системам.


 

Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.