Семинар лаборатории 2023

16 марта 2023

Р.Феслер

Hurwitz numbers for reflection groups B and D . Ссылка на запись семинара

Classical Hurwitz numbers are defined as the number of ways to multiply transpositions so as to obtain a permutation of a given cyclic type.
It is now known that generating function of the Hurwitz numbers satisfies a second order parabolic PDE called the cut-and-join equation. Its right-hand side has Schur polynomials as eigenvectors, so the Hurwitz numbers can be expressed via them.
A result by Okounkov about Toda lattice implies that the same generating function is a solution of the KP hierarchy. Finally Hurwitz numbers are the numbers of ways to glue ribbons to a collection of disks so as to obtain a surface with a prescribed structure of the boundary.
In this talk we will show that there is a parallel theory of Hurwitz numbers for the reflection groups of series B and D : transpositions are replaced by reflections, the cut-and-join for the group B is actually a tensor square of the classical cut-and-join, and the cut-and-join for the D group is a direct sum of the cut-and-join for B and the classical cut-and-join rescaled. This leads to an expression of the Hurwitz numbers for B and D via Schur polynomials. The generating function for the Hurwitz numbers for the reflection group B is a 2-parameter family of tau-functions of the KP hierarchy, independently in 2 variables, and we have a similar result for D. Finally Hurwitz numbers for the group B involve ribbon decomposition of surfaces equipped with an involution.

9 марта 2023

Л.Рыбников

Подалгебры Бете в янгиане и их классические пределы . Ссылка на запись семинара

Янгиан $Y(g)$ -- это квантовая группа, являющаяся хопфовой деформацией универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли $g[t]$ для произвольной простой алгебры Ли g (определенная с помощью рационального решения уравнения Янга-Бакстера). Я расскажу о замечательном семействе
коммутативных подалгебр Бете в янгиане, параметризованном элементами присоединенной группы G. В частности, явно построю образующие этих алгебр в случае $G=PGL_n$, дам простой критерий принадлежности элемента подалгебре Бете и опишу классические пределы подалгебр Бете. Доклад основан на серии совместных работ с Алексеем Ильиным.

2 марта 2023

С. Хорошкин

Об обобщениях свойства ПБВ . Ссылка на запись семинара

Теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта гласит, что универсальная обертывающая алгебры Ли имеет естественную фильтрацию, такую, что присоединенно градуированная изоморфна симметрической алгебре от подлежащего векторного пространства.
Оказывается, что аналогичное свойство ПБВ может быть сформулирована и проверено для различных других алгебраических структур, таких, как, например, пара согласованных скобок Ли или прелиевских алгебр Ли и даже может быть проверена для гомотопических алгебр Ли.
Для этого оказывается очень удобен язык базисов Гребнера для операд. Все необходимые определения из теории операд будут даны.
Доклад основан на статьях arXiv:1807.05873 и arXiv:2003.06055, недавно опубликованных в IMRN и в LMP.

16 февраля 2023

М.Казарян

Нерегулярная топологическая рекурсия . Ссылка на запись семинара

Топологическая рекурсия — индуктивная процедура, позволяющая получить из сравнительно небольшого набора начальных данных последовательность симметричных мультидифференциалов на данной комплексной кривой (называемой спектральной), занумерованных целыми параметрами $g\ge0$ и $n\ge1$. В многочисленных приложениях коэффициенты разложений этих дифференциалов в ряды в подходящем образом подобранной точке рассматриваются как корреляторы той или иной модели математической физики, и топологическая рекурсия приводит к алгоритму их вычисления.

Начальные данные рекурсии задаются двумя мероморфными функциями x и y на спектральной кривой. В исходном определении Чехова-Эйнара-Орантена предполагается, что нули дифференциала dx простые, и в этих точках dy голоморфна и отлична от нуля. Эти предположения регулярности покрывают довольно большое количество важных приложений, но к настоящему времени накопилось также некторое количество ситуаций, когда они нарушаются.

В докладе будет приведено новое определение топологической рекурсии, которое применимо к произвольному набору начальных данных, без каких-либо ограничений на нули и полюса функций x и y. Мы также обсуждаем, насколько это определение согласовано с другими известными вариантами нерегулярной топологической рекурсии (и в чем наше определение имеет преимущество). Также мы коснемся вопроса непрерывности зависимости дифференциалов при изменении начальных данных и некоторых свойств КП интегрируемости. Часть из обнаруженных свойств в настоящее время являются гипотетическими и подтверждены лишь многочисленными компьютерными экспериментами.

Доклад основан как на опубликованных препринтах, так и на и текущих исследовагиях рабочей группы в составе А.Александрова, Б.Бычкова, П.Дунин-Барковского, С.Шадрина и докладчика.

09 февраля 2023

S.Dzhenzher, A.Skopenkov

A quadratic estimation for the K\"uhnel conjecture, arXiv:2208.04188 . Ссылка на запись семинара

The classical Heawood inequality states that if the complete graph $K_n$ on $n$ vertices is embeddable into the sphere with $g$ handles, then $g \ge \dfrac{(n-3)(n-4)}{12}$.
A higher-dimensional analogue of the Heawood inequality is the K\"uhnel conjecture.
In a simplified form it states that \emph{for every integer $k>0$ there is $c_k>0$ such that if the union of $k$-faces of $n$-simplex embeds into the connected sum of $g$ copies of the Cartesian product $S^k\times S^k$ of two $k$-dimensional spheres, then $g \ge c_k n^{k+1}$}.
For $k>1$ only linear estimates were known. We present a quadratic estimate $g \ge c_kn^2$. The proof is based on beautiful and fruitful interplay between geometric topology, combinatorics and linear algebra.

02 февраля 2023

В.Е. Лопаткин

Меандры и матрицы; туда и обратно . Ссылка на запись семинара

В данном докладе будет идти речь о том, как можно кодировать меандровые перестановки квадратными матрицами над полем из двух элементов.
Мы описываем такие матрицы и показываем, что они удовлетворяют квадратному уравнению над полем из двух элементов. Основой такого подхода является техника реализации диаграмм Гаусса и понятие образующих Тёрстона для групп кос. Фактически, каждому меандру ставится в соответствие диаграмма Гаусса. Далее мы заметим, что такая диаграмма может быть рассмотрена как образующая Тёрстона группы кос. Это позволит нам по произвольной перестановке построить квадратную матрицу, и, используя признаки реализуемости диаграмм Гаусса, мы и получаем необходимое и достаточное условие того, когда перестановка будет меандровой в терминах этой матрицы.

26 января 2023

Elise Goujard (Universit´e de Bordeaux)

Volumes of odd strata of quadratic differentials. Ссылка на запись семинара

I will present a formula giving the Masur-Veech volumes of ”completed” odd strata of quadratic differentials as a sum over stable graphs. This formula generalizes Delecroix-G-Zograf-Zorich formula in the case of principal strata. The coefficients of the formula are in this case intersection numbers of psi classes with the Witten-Kontsevich combinatorial classes; they naturally appear in the count of integer metrics on ribbon graphs with prescribed odd valencies. The study of the possible degenerations of these ribbon graphs allows to express the difference between the volume of the "completed" stratum and the volume of the stratum as a linear combination of volumes of boundary strata, with explicit rational coefficients. Several conjectures on the large genus asymptotics of volumes or distribution of cylinders follow from this formula. (work in progress with E. Duryev and I.Yakovlev).

19 января 2023

Денис Лысков

Торические многообразия, ассоциированные с графами, и Реконнектады. Ссылка на запись семинара

В докладе описан класс торических многообразий, ассоциированных с политопами, называемыми в литературе “Graph Associohedrons”. Известные в литературе Losev-Manin moduli spaces и Brick Manifolds являются частными случаями этой конструкции. Операция вырезания подграфов из графа индуцирует на классе торических многообразий алгебраическую структуру, которую мы назвали “Reconnectads ”. С помощью этой структуры мы опишем внутреннею геометрию и гомологии этого класса многообразий используя красивую комбинаторику графов. Во время доклада мы также обсудим общие конструкции и другие интересные примеры reconnectads.

Доклад основан на препринте докладчика совместно с В.Доценко и А.Келти arXiv:2211.15754.

Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.

Международная лаборатория кластерной геометрии

Семинар лаборатории 2023