2 курс. Алгебра

Лектор А.Л. Городенцев, преподаватель Е.Б. Фейгин

Программа модуля I

Полилинейная алгебра

Тензорное произведение векторных пространств, примеры тензорных конструкций и канонических изоморфизмов. Тензорная алгебра векторного пространства, свёртки, действие симетрической группы, линейная оболочка тензора, многообразия Сегре. Симметрическая и грассманова алгебры, поляризация (грасмановых) многочленов, многообразия Веронезе и Грассмана.

Многочлены и ряды

Формальные экспонента, логарифм и бином. Техника производящих функций. Числа и многочлены Бернулли. Многоугольник Ньютона. Разложение корней алгебраических уравнений в дробно степенные ряды.

Симметрические функции

Целочисленные базисы модуля симметрических функций, их производящие функции и переходы между ними. Многочлены Шура. Техника вычислений с симметрическими функциями.

 

Учебные материалы к лекциям

Помимо представленных ниже специальных матермалов к отдельным лекциям рекомендуется учебник Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)

• Лекции 1-2 Тензорное произведение векторных пространств, тензорная алгебра, свёртки, линейная оболочка тензора.

•  Лекция 3 Симметричные и кососимметричные тензоры. Поляризация многочленов и грассмановых многочленов над полем характеристики нуль, частные производные. Многообразия Веронезе и Грассмана.

• Лекция 4  Напоминания из исчисления формальных степенных рядов: обращение и решение линеных реккурентных уравнений; дифференцирование, интегрирование, экспоненцирование, логарифмирование и бином Ньютона (с любым показателем из поля коэффициентов); действие Q[[d/dx]] на Q[x], ряд Тодда, числа Бернулли и обращение разностных операторов.

•  Лекция 5 Кольцо симметрических функций. Его базисы (как модуля над Z) из мономиальных, элементарных, полных многочленов и из многочленов Шура, а также базис как векторного пространства над Q из ньютоновых степенных сумм; производящие функции для этих базисов и матрицы переходов между ними. (См. §§1-4 в [2])

• Лекция 6 Исчисление массивов, диаграмм и таблиц. Комбинаторные соотношения на количества таблиц. Правило Литтлвуда-Ричардсона для перемножения многочленов Шура. Тождества Коши, Джамбелли-Якоби-Труди и Пьери.

Задачи семинаров

• Листок 1 Тензоры. Выдаётся с 1 сентября.

• Листок 2 Тензорные степени. Выдаётся с 13 сентября.

• Листок 3  Поляризация (грассмановых) многочленов. Выдаётся с 27 сентября

• Листок 4 Симметрические функции. Выдается с 6 октября

• Контрольная N1 (классная) была 28 сентября (образец варианта). Темы: тензоры, многочлены, симметрические функции.

Программа модулей II-III

Конечные группы

Действия, формула для длины орбиты. Полупрямые произведения. Теоремы Силова.

Категории и функторы

Примеры малых категорий. Категория функторов, представимость, лемма Ионеды. Сопряжённые функторы. Пределы. Диаграмный поиск.

Пространства с операторами

Приводимость, разложимость, полупростота. Лемма Шура. Теорема плотности и теорема о двойном коммутаторе.

Представления конечных групп

Полупростота групповой алгебры. Теория характеров. Кольцо представлений, индуцирование, двойственность Фробениуса. Представления симметрической группы, функторы Шура.

Учебные материалы к лекциям

Помимо представленных ниже специальных материалов к отдельным лекциям рекомендуются следующие учебники:

1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
2. Ж.-П.Серр. Линейные представления конечных групп. М., «Мир», 1970 (или любое другое издание)
3. W.Fulton, J.Harris Representation theory: a first course. B-H-NY., «Springer-Verlag», 1991 (есть в колхозе)
4. У.Фултон. Таблицы Юнга и ... М., «МЦНМО», 2008 (или любое другое издание)

• Лекция 7. Конечные группы в действии: длина орбиты, количество орбит, регулярное и присоединённое действие, действия p-групп, силовские подгруппы, полупрямые произведения.
• Лекция 8. Пространства с операторами: разложимость, приводимость, полупростота, лемма Шура, характеризация полупростых модулей, теорема плотности, теорема Бернсайда (над алгебраически замкнутым полем пространство с операторами неприводимо тогда и только тогда, когда эти операторы порождают всю алгебру эндоморфизмов)
• Лекция 9. Линейные представления конечных групп над замкнутым полем: разложение в сумму изотипных подмодулей, строение групповой алгебры, неприводимые идемпотенты, скалярное произведение, характеры.
• Лекция 10. Категории и функторы. Естественные преобразования. Лемма Ионеды. Представимые функторы. Сопряжённые функторы и (ко)индуцированные модули.

•  Лекция 11  Пределы диаграмм

• Лекция 12 Целые расшиоения коммутативных колец
• Лекция 13. [обновлено 25.03.2010] Представления симметрических групп.

Задачи семинаров

Листок 5  Конечные группы. (выдается с 1 ноября) 

Листок 6 Группы в действии (выдается с 11 ноября)

Листок 7 Диаграмный поиск (выдается с 17 ноября)

Листок 8 Маленькие линейные представления (выдается с 23 ноября)

Листок 9 Выдается с 17 января

Листок 10  Индуцированные представления. Выдается с 16 февраля

Листок 11 Целые расширения коммутативных колец. Выдается с 9 марта

Программа модуля IV

Элементы коммутативной алгебры

Свойства целых элементов. Нормальные кольца. Лемма Гаусса. Строение конечно порождённых коммутативных алгебр над полем, степень трансцендентности. Теоремы Гильберта о базисе и о нулях. Антиэквивалентность категории конечно порождённых приведённых коммутативных алгебр с единицей над алгебраически замкнутым полем K и категории аффинных алгебраических многообразий над K.

Элементы теории Галуа

Поле разложения, примитивные элементы. Алгебраическое замыкание. Продолжение гомоморфизмов, нормальные расширения и соответствие Галуа. Техника вычисления групп Галуа. Разрешимость уравнений в радикалах.

Корни многочленов

Алгебраическая замкнутость поля дробно степенных рядов, разложение алгебраической функции в ряд Пюизо, многоугольники Ньютона. Дискриминанты и результанты, теорема Безу. Свойства колец целых в полях алгебраических чисел.

Учебные материалы к лекциям

Помимо представленных ниже специальных материалов к отдельным лекциям рекомендуются следующие учебники:

1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)

• Лекция 14. Целые расширения коммутативных колец. [обновлено 10.06.2011]
• Лекция 15. Системы полиномиальных уравнений и полиномиальные идеалы.
• Лекция 16. Алгебраические расширения полей. [обновлено 10.06.2011]
• Лекция 17. Группы Галуа. [обновлено 11.06.2011]

Задачи семинаров

• Листок 12. Симметрические функции –2. Выдаётся с 6 апреля.
• Листок 13. Представления симметрических групп. Выдаётся с 8 апреля.
• Листок 14. Многочлены и аффинные алгебраические многообразия. Выдаётся с 27 апреля.
• Листок 15. Многочлены и расширения полей. Выдаётся с 12 мая.
• Листок 16. Элементы теории Галуа. Выдаётся с 18 мая.

Коллоквиум по материалам II модуля состоится 22 декабря в 12⁰⁰ в ауд. 317-319

Вопросы к коллоквиуму

Контрольная работа 16 марта

Зачёты и экзамены

Итоговая отметка за каждый модуль, в котором таковая отметка предусматривается, с равными весами учитывает:

1. решённые задачи из листков, сданные Вами на семинарах (в процентах от суммарного числа всех задач из листков),
2. решённые задачи из контрольных работ (в процентах от суммарного числа всех задач из контрольных),
3. ответы на теоретические вопросы и решённые задачи на колоквиуме (в процентах от суммарного числа задач и вопросов Вашего билета),
4. решённые задачи из итоговой экзаменационной (или зачётной) письменной работы (в процентах от их количества)

Для получения максимальной оценки 10 баллов достаточно продемонстрировать суммарный результат, эквивалентный решению 75% задач в каждом из этих видов. Если сумма процентных долей выполненных Вами заданий меньше, то оценка уменьшается линейно.

Итоговая письменная работа за I модуль была 27 октября вариант 1 и вариант 2

Итоговая письменная работа за II–III модули была 28 марта (вариант 1 , вариант 2)