Математические олимпиады

Regular version of the site

Delivered by:: Faculty of Mathematics

Type:: Optional course (faculty)

When:: 1, 2 module

Instructor

Illarionov, Andrey

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Аналитическая теория чисел — это раздел теории чисел, который изучает количественные аспекты различных объектов арифметического происхождения при помощи аналитических методов, к числу которых, в частности, относится метод комплексного интегрирования и метод тригонометрических сумм. Мы обсудим доказательства таких классических фактов, как асимптотический закон распределения простых чисел и теорема Дирихле о простых в арифметических прогрессиях, рассмотрим связь между дзета-функцией Римана и распределением простых, научимся использовать метод комплексного интегрирования. Изучим основные свойства тригонометрических сумм и с их помощью докажем классические результаты о распределении квадратичных вычетов и первообразных корней, а также исследуем некоторые вопросы, связанные отклонением последовательностей от равномерного распределения. Также мы поймем, как теория чисел может использоваться для приближенных методов (теоретико-числовой метод Коробова).

Цель освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен знать основные формулы и методы суммирования; свойства теоретико-числовых функций; основные результаты о распределении простых чисел; методы исследования равномерного распределения последовательностей уметь выводить асимптотические формулы для сумм; получать точные оценки арифметических функций; использовать метод комплексного интегрирования; исследовать вопросы о равномерном распределении последовательностей; владеть навыками получения асимптотических формул и оценок для сумм значений арифметических функций; исследования сложности теоретико-числовых алгоритмов

Планируемые результаты обучения

Уметь применять метод тригонометрических сумм
Знать основные формулы и методы суммирования; свойства теоретико-числовых функций
Владеть методом комплексного интегрирования в исследовании теоретико-числовых задач
Владение методом контурного интегрирования для исследования задач аналитической теории чисел
Знание основных результатов о распределение простых чисел
Знать и уметь доказывать основные результаты о распределение простых чисел

Содержание учебной дисциплины

Формулы суммирования, средние значения арифметических функций. Функции Мёбиуса и Мангольдта, ряды Дирихле. Проблема круга Гаусса и проблема делителей Дирихле.
Характеры Дирихле и L-функции. Теорема Дирихле о бесконечности множества простых в арифметической прогрессии.
Дзета-функция Римана, распределение простых чисел (оценки Чебышева, постулат Бертрана, асимптотический закон о распределении простых чисел). Алгоритмы распознавания простых чисел (тесты простоты)
Тригонометрические суммы и их приложения
Теория равномерного распределения, суммы Вейля. Отклонение последовательностей от равно- мерного распределения. Теорема Рота.
Теоретико-числовые квадратурные формулы Коробова
Гипотеза Римана о нулях дзета-функции. Оценка остаточного члена для АЗРП.

Элементы контроля

Экзамен
Домашнее задание

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
0.5 * Домашнее задание + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Иконописцева Юлия Вахтанговна
Илларионов Андрей Анатольевич

Analytic Number Theory