Аналитическая теория чисел

2025/2026

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Дисциплина общефакультетского пула

Когда читается:

1, 2 модуль

Преподаватель

Илларионов Андрей Анатольевич

Программа дисциплины

Аннотация

Аналитическая теория чисел — это раздел теории чисел, который изучает количественные аспекты различных объектов арифметического происхождения при помощи аналитических методов, к числу которых, в частности, относится метод комплексного интегрирования и метод тригонометрических сумм. Мы обсудим доказательства таких классических фактов, как асимптотический закон распределения простых чисел и теорема Дирихле о простых в арифметических прогрессиях, рассмотрим связь между дзета-функцией Римана и распределением простых, научимся использовать метод комплексного интегрирования. Изучим основные свойства тригонометрических сумм и с их помощью докажем классические результаты о распределении квадратичных вычетов и первообразных корней, а также исследуем некоторые вопросы, связанные отклонением последовательностей от равномерного распределения. Также мы поймем, как теория чисел может использоваться для приближенных методов (теоретико-числовой метод Коробова).

Цель освоения дисциплины

• В результате освоения дисциплины студент должен знать основные формулы и методы суммирования; свойства теоретико-числовых функций; основные результаты о распределении простых чисел; методы исследования равномерного распределения последовательностей уметь выводить асимптотические формулы для сумм; получать точные оценки арифметических функций; использовать метод комплексного интегрирования; исследовать вопросы о равномерном распределении последовательностей; владеть навыками получения асимптотических формул и оценок для сумм значений арифметических функций; исследования сложности теоретико-числовых алгоритмов

Планируемые результаты обучения

• Уметь применять метод тригонометрических сумм
• Знать основные формулы и методы суммирования; свойства теоретико-числовых функций
• Владеть методом комплексного интегрирования в исследовании теоретико-числовых задач
• Владение методом контурного интегрирования для исследования задач аналитической теории чисел
• Знание основных результатов о распределение простых чисел
• Знать и уметь доказывать основные результаты о распределение простых чисел

Содержание учебной дисциплины

• Формулы суммирования, средние значения арифметических функций. Функции Мёбиуса и Мангольдта, ряды Дирихле. Проблема круга Гаусса и проблема делителей Дирихле.
• Характеры Дирихле и L-функции. Теорема Дирихле о бесконечности множества простых в арифметической прогрессии.
• Дзета-функция Римана, распределение простых чисел (оценки Чебышева, постулат Бертрана, асимптотический закон о распределении простых чисел). Алгоритмы распознавания простых чисел (тесты простоты)
• Тригонометрические суммы и их приложения
• Теория равномерного распределения, суммы Вейля. Отклонение последовательностей от равно- мерного распределения. Теорема Рота.
• Теоретико-числовые квадратурные формулы Коробова
• Гипотеза Римана о нулях дзета-функции. Оценка остаточного члена для АЗРП.

Элементы контроля

• Экзамен
• Домашнее задание

Промежуточная аттестация

• 2025/2026 2nd module
  0.5 * Домашнее задание + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Аналитическая теория чисел, Иванец, Х., 2014
• Бухштаб, А. А. Теория чисел : учебное пособие для вузов / А. А. Бухштаб. — 6-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 384 с. — ISBN 978-5-8114-9228-2. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/189329 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Виноградов, И. М., 1971
• Основы теории чисел : учебник для вузов, Виноградов, И. М., 1965
• Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, Коробов, Н. М., 2004
• Теория чисел, Арнольд, И. В., 2018
• Теория чисел, Бухштаб, А. А., 1966
• Тропин, М. П. Теория чисел : учебник для вузов / М. П. Тропин. — Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 240 с. — ISBN 978-5-8114-8506-2. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/193335 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Тропин, М. П. Теория чисел / М. П. Тропин. — 2-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2023. — 240 с. — ISBN 978-5-507-45436-5. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/269906 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

• Теория чисел, Боревич, З. И., 1964

Авторы

• Иконописцева Юлия Вахтанговна
• Илларионов Андрей Анатольевич