Algorithmic Algebra: from Gröbner Bases to Homology

2025/2026

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

6

ECTS credits

Delivered by:

Faculty of Mathematics

Type:

Optional course (faculty)

When:

3, 4 module

Instructor

Piontkovski, Dmitri

Программа дисциплины

Аннотация

Базисы Гребнера и их обобщения -- важные инструменты компьютерных методов в алгебре и в алгебраической геометрии. Сначала мы обсудим их теоретические основы и практическое применение, включая решение систем алгебраических уравнений и вычисления в коммутативных кольцах. Затем выйдем за пределы коммутативности, применяя их в более сложном и обширном мире ассоциативных алгебр --- например, для доказательства теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта об универсальных обертывающих. Мы научимся вычислять не только рост и размерность, но и гомологии коммутативных и некоммутативных алгебр, попутно обсудив гомологический смысл самих базисов Гребнера--Ширшова. Наконец, в теории квадратичных алгебр мы объединим комбинаторный и гомологический подход в теории козюлевой двойственности. Здесь мы дойдем и до открытых вопросов. Если останется время, обсудим применение формальных алгебраческих методов к дифференциальным уравнениям и операдам.

Цель освоения дисциплины

• освоение теоретических основ и практических приложений базисов Гребнера и их обобщений, таких как базисы Гребнера—Ширшова, для решения задач в области алгебры, алгебраической геометрии, гомологической алгебры и дифференциальных уравнений, а также понимания связи между комбинаторными структурами и гомологическими свойствами алгебраических объектов.

Планируемые результаты обучения

• развитие умения применять технику символьных вычислений на основе базисов Гребнера к решению дифференциальных уравнений, понимание концепции инволютивных базисов, освоение конструктивных подходов к работе с операдами
• навыки самостоятельного изучения литературы по обобщениям и применениям базисов Гребнера--Ширшова
• приобретение навыкoв алгоритмического решения систем полиномиальных уравнений, построения базисов Гребнера, анализа размерности аффинных алгебраических многообразий, осуществления операций над идеалами и модулей, а также овладение методами конструктивного доказательства теорем коммутативной алгебры
• изучение методов фильтрации и градуировки в алгебрах, понимание структуры рядов Гильберта и роста алгебраических многообразий, усвоение техники вычислений стандартных базисов и доказательств важных теорем, таких как теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта, а также приобретение опыта исследования базовых примеров и контрпримеров в некоммутативной алгебре
• изучение взаимосвязи между базисами Гребнера и гомологиями в коммутативных и некoммутативных алгебрах, понимание классической козюлевой двойственности

Содержание учебной дисциплины

• Базисы Гребнера в полиномиальных идеалах и системы алгебраических уравнений.
• Базисы Гребнера--Ширшова в ассоциативных алгебрах.
• Базисы Гребнера--Ширшова и гомологии.
• Обобщенные базисы Гребнера--Ширшова.

Элементы контроля

• Домашняя контрольная работа
  Домашняя контрольная работа с устным изложением решений
• Самостоятельный доклад
  Слушателям курса предлагается самостоятельно подготовить доклады по разделу "Обобщенные базисы Гребнера--Ширшова".
• Активность

Промежуточная аттестация

• 2025/2026 4th module
  Итоговая оценка = 0,5 кр1 + 0,5 кр2 + (Бонусные баллы), где бонусные баллы выставляются за подготовку самостоятельного доклада (до 5 баллов) и за активность на занятиях (до 2 баллов).

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Ideals, varieties, and algorithms : an introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra, Cox, D. A., 2015
• Базисы Гребнера и системы алгебраических уравнений, Аржанцев, И. В., 2003

Рекомендуемая дополнительная литература

• Grobner bases : a computational approach to commutative algebra, Becker, T., 1993

Авторы

• Пионтковский Дмитрий Игоревич