Геометрия и группы (О.В.Шварцман) Весна 2022

2)                 Вопросы для самопроверки.

1.         Дан код (n,1,n). Найти двойственный код

2.         Выбросим из кода Хемминга все слова нечетного веса. Найти параметры получившегося кода

3.        Что такое циклический код? Существует ли циклический код (8,5,3)?

4.         Что такое коды БЧХ? Как построить короткий код БЧХ, способный исправить 2 ошибки?

5.        Что такое код Рида-Соломона? Как построить дуальный к нему код.

6.        Что такое классический код Гоппа . Код Гоппа с проверочной матрицей Коши

7.        Почему определитель любой  квадратной подматрицы матрицы Коши отличен от нуля?

8.         Что такое граница Плоткина и кто ее охраняет?

3)  Если Вы твердо решили писать экзамен, то не позднее 13 июня пришлите, пожалуйста, пустое письмо на адрес  ossipsh@gmail.com (не нужно писать на корпоратив!)

Ну, вот и все.

Удачи,

ОВ

1.      Для вас 24 мая 2022 года с 11 до 13 состоится неповторимый дистанционный экзамен (3 задачи по 20 баллов за штуку)

Если Вы хотите его  писать, то  обязательно пришлите  не позднее 21 мая 2022 года пустое письмо на адрес  ossipsh@gmail.com

2.      Вот основные темы экзамена:

Эквивалентность кодов

Коды Хемминга

Полиномиальные коды

Циклические коды и их параметры

Вычисления в конечных полях

Производящие функции простых кодов

Простые примеры связи двоичных кодов  и евклидовых решеток

3.      Для слушателей 1 и 2 курсов 24 мая планируется лекция по расписанию, а письменный экзамен будет где-то  в июне 2022 года

4.      Понятно?

ОВ

Для нас это скорее повод поговорить о геометрии, алгебре и арифметике, отметившихся  в

теории передачи информации середины прошлого века/

Вот программа курса (повторение лекций 1980 года, прочитанных в Доме Культуры железнодорожников для студентов МИИТа и инженеров –путейцев)

1. Что такое линейный код. Параметры линейного кода.

2. Задание кода проверочной и порождающей матрицами. Простейшие конструкции. Двойственный код.

3. Метрика Хемминга. Кодовое расстояние .Корректирующие способности линейного кода.

4. Коды Хемминга.

5. Что такое совершенный код?

6. Конечное поле характеристики p  Модели и вычисления в конечных полях

7.  Кольцо многочленов над конечным полем

8. Циклические коды. Примеры

9. Коды Рида –Соломона. Примеры

10. Код Хемминга (7,4,3) и группа его автоморфизмов Проективная плоскость над полем из двух элементов

11. Несколько слов о конечных  проективных   геометриях и группах их автоморфизмов.

12. Коды и решетки

13. Осторожно  об алгебраической геометрии  и (на примерах) о  кодах Гоппа

Остановимся пока на этом

Для тех, кто любит читать:

Литература

1)     Классическая зеленая  книжка Питерсона Коды, исправляющие ошибки  (или ее поздний расширенный вариант Питерсон и Уэлдон с тем же названием, МИР 1976)

2)     Белая книга Мак-Вильямс,Слоэн Теория Кодов, исправляющих ошибки. Связь 1979

3)     Черная книга  Цфасман и Влэдуц Коды и алгебраическая геометрия. МЦМНО 2005

4)      Красная книга Касами,Токура,Ивадаре,ИнакагиТеория Кодирования. Мир 1978

5)      Много-много лекций  в сети на всех языках мира..

О контрольной работе 12 апреля в 14.50

1/  Каждый желающий поучаствовать должен накануне прислать мне  письмо на адрес ossipsh@gmail.com  Обязательно укажите в письме, на каком курсе Вы учитесь (бакалавр Вы или магистр?) ( педагог или обычный студент?)

2/ В ответ Вы  получите 3 задачи, стоимостью 20 баллов каждая .

3/ Ровно через 1час 20 минут  я рассчитываю получить PDF (Подчеркиваю!) файл со сканами решений. Пишите как можно подробнее

 Задачи для подготовки к контрольной (рассматриваются двоичные коды)

1.       Докажите,что  циклический код C(X+!)  с генератором X+!  способен обнаружить одну ошибку. Найдите остальные параметры такого кода, есл его длина равна 10.

2.      Найдите параметры циклического кода длины 15, если его генератор является неприводимым кубическим  многочленом над полем из двух элементов. Является ли найденный вами код совершенным?

3.      Сколько корней пятой степени из единицы лежит в поле из 16 элементов?

4.      Рассмотрим примитивный элемент поля из 16 элементов  и набор четырех его последовательных степеней, начиная с первой степени. Объясните, как по этим данным построить циклический код БЧХ длины 16 с кодовым расстоянием 5.