1 курс. Геометрия

Лектор проф. А.Л.Городенцев, преподаватели доц. Н.С.Маркарян, доц. Йен Маршалл

Программа модуля I

Двумерное и трёхмерное координатное пространство:

точки, векторы, ориентированная площадь, ориентированный объём, скалярное произведение, вычисление расстояний и углов, взаимное расположение прямых и плоскостей.

Векторные пространства:

существование базисов, размерность и взаимное расположение подпространств; объёмы и определители; двойственность и геометрическая теория линейных уравнений.

Евклидова геометрия пространства Rⁿ:

вычисление длин, углов и объёмов, ортогональное проектирование; разложение евклидовой изометрии в ортогональную сумму поворотов; ортогональная группа порождается отражениями; группы отражений, системы корней и правильные многогранники.

Рекомендуемые учебники

Помимо записок лекций, которые мало-помалу будут появляться ниже, для подготовки к экзаменам и выполнения контрольных работ рекомендуются следующие учебники:

1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
2. В.В.Прасолов, В.М.Тихомиров. Геометрия. М., «МЦНМО», 1997 (или любое другое издание)
3. М.Берже. Геометрия. Т. 1, 2. М., «Мир», 1974 (или любое другое издание)

Записки лекций

• Неформальное введение [обновлено 03.10.2011]
• Лекция 1: координатная плоскость [обновлено 03.10.2011]
• Лекция 2: многомерные векторные и аффинные пространства и их подпространства [обновлено 19.10.2011]
• Лекция 3: объёмы, определители, матрицы переходов [обновлено 19.10.2011]
• Лекция 4: евклидова геометрия [обновлено 19.10.2011]
• Лекция 5: аффинные преобразования и движения евклидовых пространств [обновлено 29.10.2011]
• Лекция 6: топологии, метрики, нормы и выпуклость [обновлено 25.11.2011]
• Лекция 7: выпуклые многогранники и полиэдральные конусы, линейная оптимизация [обновлено 12.02.2012]
  • Лекция 8: двойственность Гейла и симплекс-метод [пока не готова]
  • Лекция 9: проективные пространства и проективные преобразования [обновлено 12.02.2012]
    • Лекция 10: проективные квадрики. [обновлено 22.02.2012]
    • Лекция 11: игры с кониками и соответствиями на прямых.

Задачи семинаров

Листок 1: векторы, точки и прямые на координатной плоскости. Выдаётся с 1 сентября.

Листок 2:  увеличиваем размерность. Выдаётся с 20 сентября.

Листок 3: примеры векторных пространств и базисов. Выдаётся с 28 сентября.

Листок 4 Евклидова геометрия (выдается с 7 октября)

Листок 5: аффинные и ортогональные преобразования. Выдаётся с 20 октября

• Листок 5½ (необязательный): правильные многогранники. Выдаётся с 18 ноября.
• Листок 6: топологии, метрики, выпуклость. Выдаётся с 15 ноября.
• Листок 7: ВМК и многогрнники. Выдаётся со 2 декабря.
• Листок 8: Словарик «Линейная алгебра – Проективная геометрия». Выдаётся с 16 января.
• Листок 9: Проективные пространства. Выдаётся с 23 января.
• Листок 10: Игры с кониками. Выдаётся с 14 февраля. [обновлено 09.02.2012]
• Листок 11: Аффинные и евклидовы коники. Выдаётся с 21 февраля. [обновлено 09.02.2012]

Контрольная работа № 1: евклидова геометрия в R² и в R³. Состоялась 27 сентября. Контрольную можно доделать дома и сдать 28 сентября перед семинаром по геометрии. Решения, сданные 28 сентября, оцениваются с весом 80% от номинала.

 Домашняя контрольная работа N2: евклидова геометрия в R³ и в R⁴. Выдана 8 ноября. Номер Вашего варианта — это Ваш порядковый номер в алфавитном списке всех студентов 1-го курса (см., к примеру, список с результатами коллоквиума). Работу необходимо сдать 15 ноября перед занятием по геометрии.

Домашняя контрольная работа N3: линейная оптимизация. Выдана 20 декабря. Номер Вашего варианта — тот же, что и в предыдущей контрольной (если он превышал 50, свяжитесь со мною лично). Работу необходимо сдать 27 декабря перед зачётом по геометрии.

• Домашняя контрольная работа N4 (исправленная версия): выпуклые многогогранные конусы. Выдана 2 марта. Номер Вашего варианта см. в этом списке. Работу необходимо сдать во вторник 6 марта перед семинаром по геометрии. Если в предыдущей версии контрольной в Вашем варианте была ошибка в условии второй задачи, сделайте новую версию этой же задачи из варианта с тем же номером. Задачу в исправленной версии необходимо сдать в среду 7 марта перед семинаром по геометрии.
• Домашняя контрольная работа N5: коники. Выдана 14 марта. Номер Вашего варианта см. в этом списке. Работу необходимо сдать во вторник 20 марта перед семинаром по геометрии.
• Домашняя контрольная работа N6: квадратичные формы. Выдана 21 марта. Номер Вашего варианта см. всё там же. Работу необходимо сдать во вторник 27 марта перед экзаменом по геометрии.

Коллоквиумы

• Коллоквиум по материалам 1-го модуля был в среду 2 ноября (на первой неделе 2-го модуля), в 12⁰⁰. Вот программа с точными ссылками на записки лекций (102 kB, PDF) и реальные билеты (58 kB, PS.GZ).

Зачёты и экзамены

По этому курсу происходят письменный зачёт (после 2-го модуля) и письменный экзамен (после 3-го модуля) и, соответственно, ставятся 2 итоговых отметки в зачётку (полсле 2-го и после 3-го модуля). Правила рассчёта итоговой отметки таковы. В каждом из 4-х видов деятельности — решение задач из листков, решение задач из контрольных, ответы на коллоквиумах, решение задач из зачётной (соотв. экзаменационной) работы — вычисляется процентная доля выполненных заданий от общего суммарного количества заданий дававшихся в этом виде деятельности за оцениваемый период (первые 2 модуля и 3-й модуль соответственно). Например, если за весь третий модуль Вы суммарно вы решили 30 задач из листков, а всего в третьем модуле было задано 100 задач без звёздочек, то Вы набираете за листки 30%. Пусть Вы успешно решили L% задач из листков, K% задач из контрольных, E% задач из экзаменционной (или зачётной) работы и справились с C% заданий коллоквиума. Максимальная оценка 10 баллов ставится во II модуле за L+K+E+C≥300, в III модуле — за L+K+E≥225. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно.

Письменный зачёт по материалам 1-го и 2-го модулей был 27 декабря. Вариант задания: (104 kB, PDF).

Итоговый письменный экзамен по курсу геометрии был 27 марта. Вариант задания: (57 kB, PDF).