Эллиптические кривые, модулярные формы и представления Галуа

Лекторы проф. М.В. Финкельберг,  доц. А.И. Зыкин

Занятия проходят в ауд. 311-312, Вавилова 7, факультет математики по вторникам с 15:30 до 16:50

Эллиптические кривые – удивительно красивый математический объект. Они сочетают в себе наглядность (задаются очень простыми уравнениями) и необыкновенную сложность. Многие проблемы, связанные с эллиптическими кривыми не решены до сих пор (например, гипотеза Бёрча-Суиннертона-Дайера или гипотеза Ленга-Троттера) или решены совсем недавно (гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля, гипотеза Сато-Тейта).

Теория модулярных форм – необычайно богатая область математики. Чтобы оценить, насколько она многогранна, достаточно сказать, что в ней используются методы из таких далеких, на первый взгляд, частей математики как теория чисел, алгебраическая геометрия, теория алгебраических групп, теория представлений, функциональный анализ, уравнения с частными производными…

Между эллиптическими кривыми и модулярными формами имеется очень тесная и нередко весьма удивительная связь. Она может проявляться непосредственно: модулярных формы – это сечения пучков на пространствах модулей эллиптических кривых с дополнительной структурой. Такая интерпретация полезна во многих результатах, например, в теореме Мазура о группе кручения эллиптических кривых над Q. Иногда же связь эта предстает в очень тонком и неожиданном виде: гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля (т. е. теорема Тейлора-Уайлса), которая является ключом ко многим проблемам в современной теории чисел от теоремы Ферма, до результатов Загье, Колывагина и других.

Самым продуктивным инструментом для доказательства результатов, подобных теореме Тейлора-Уайлса (гипотезы Серра, гипотеза Сато-Тейта и т. д.) является теория представлений Галуа. Она служит своеобразным мостом между объектами геометрическими (такими как эллиптические кривые) и аналитическими (модулярные формы). Теория представлений Галуа является фундаментальной частью программы Ленглендса – удивительная теория, включающая в себя множество теоретико-числовых сюжетов от теории полей классов до гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля и её обобщений. Цель семинара – дать введение в этот круг вопросов. Первые занятия планируются обзорными и не повлияют на дальнейшее понимание.

Приблизительная программа

1.    Модулярные формы относительно фуксовых подгрупп SL_2(R). Размерность пространства модулярных форм.

2.    Примеры модулярных форм: ряды Эйзенштейна, ряды Пуанкаре, тета-функции.

3.    Операторы Гекке и теория Аткина-Ленера новых форм.

4.    Эллиптические кривые – набросок теории: групповой закон, точки на эллиптических кривых над C, F_p, Q_p, Q, редукция эллиптических кривых, модуль Тейта и соответствующее представление Галуа.

5.    Модулярные кривые – аналитика, алгебра, геометрия.

6.    Теория Эйхлера-Шимуры, представления Галуа, связанные с модулярными формами.

7.    Групповые схемы.

8.    Когомологии Галуа.

9.    Представления Галуа и их деформация.

10. Гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля

Список Литературы

1.    Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин “Введение в современную теорию чисел”

2.    П. Сарнак “Модулярные формы и их приложения”

3.    Ж.-П. Серр “Курс арифметики”

4.    Г. Шимура “Введение в арифметическую теорию автоморфных функций”

5.    N. Boston “The proof of Fermat’s last theorem”

6.    G. Cornell, J. H. Silverman, G. Stevens “Modular forms and Fermat last theorem”

7.    F. Diamond, J. Shurman “A first course in modular forms”

8.    H. Hida “Geometric modular forms and elliptic curves”

9.    H. Hida “Modular forms and Galois cohomology”

10. J. S. Milne “Modular functions and modular forms”

11.  J. H. Silverman “The arithmetic of elliptic curves”

Ближайшие занятия

• Семинар завершен. Спасибо всем за участие!

Прошедшие занятия.

• • 05.06.2012 Д. Кубрак. Соответствие Гекке и соотношение Эйхлера-Шимуры. 
  • 29.05.2012 Д. Кубрак. Соответствие Гекке и адели.
  22.05.2012 Д. Кубрак. Пространства модулей векторных расслоений, пополнение спектра Z и модулярные кривые.
• 15.05.2012 Л. Суханов. Модулряные формы и адели. II
• 23.04.2012 Л. Суханов. Модулряные формы и адели. I
• 17.04.2012 И. Фесенко. Дзета-функции арифметических поверхностей. III
• 10.04.2012 И. Фесенко. Дзета-функции арифметических поверхностей. II
• 03.04.2012 И. Фесенко. Дзета-функции арифметических поверхностей. I
• 13.03.2012 И. Машанова-Голикова. Модулярные кривые как кривые над Q. III
• 06.03.2012 И. Машанова-Голикова. Модулярные кривые как кривые над Q. II
• 28.02.2012 А. Зыкин. Операторы Гекке и теория Аткина-Ленера.

• 21.02.2012 И. Машанова-Голикова. Модулярные кривые как кривые над Q. I
• 14.02.2012 А. Зыкин. Операторы Гекке для конгруэнц-подгрупп SL_2(Z). II
• 07.02.2012 А. Зыкин. Операторы Гекке для конгруэнц-подгрупп SL_2(Z). I
• 31.01.2012 А. Зыкин. Функциональное уравнение и эйлерово произведение для L-функций модулярных форм.

• 13.12.2011 П. Соломатин. Операторы Гекке для SL_2(Z). II.
• 6.12.2011 П. Соломатин. Операторы Гекке для SL_2(Z). I.
• 29.11.2011 Ю. Быков. Ряды Пуанкаре и оценки коэффициентов модулярных форма.
• 22.11.2011 Ю. Быков. Ряды Эйзенштейна. II.
• 15.11.2011 Ю. Быков. Ряды Эйзенштейна. I.
• 08.11.2011 Ю. Быков. Тета-функции.
• 01.11.2011 Б. Цвелиховский. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп: размерности пространств модулярных форм.

• 18.10.2011 А. Зыкин. Модулярные кривые как римановы поверхности.
• 11.10.2011 Б. Цвелиховский. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп: напоминания из алгебраической геометрии.
• 04.10.2011 Б. Цвелиховский. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп: SL_2(Z) и конгруэнц-подгруппы, первые определения.

.

• 27.09.2011 А. Зыкин. Модулярные формы, эллиптические кривые и связь между ними: гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля.
• 20.09.2011 А. Зыкин. Модулярные формы, эллиптические кривые и связь между ними: модулярные кривые.
• 13.09.2011 А. Зыкин. Модулярные формы, эллиптические кривые и связь между ними: первые определения.