Флаги, симмметрические функции, грассманианы и торическая геометрия

I-IV модуль

Лекторы проф. А.Л. Городенцев, доц. В.А. Кириченко

Занятия проходят по средам, с 17:00 до 18:20, ауд. 311-312

Примерная программа семинара

Семинар расчитан на студентов всех курсов. На нём можно выбрать себе тему курсовой работы, темы для докладов, а в конце года получить зачёт (для этого необходимо активно участвовать в работе семинара, например — сделать доклад).

Первые 3-4 занятия будут посвящены исчислительной геометрии и теории пересечений в примерах и задачах (многие задачи связаны с геометрией многообразий флагов). За это время слушателям предлагается выбрать темы для докладов и составить предварительное расписание. Ниже примерный список тем (каждая рассчитана на 1-2 лекции). Более полный список будет роздан на первом занятии.

1. Клеточное разбиение Брюа многообразия полных флагов. Многообразия Шуберта. Порядок Брюа на перестановках = порядок по включению на многообразиях Шуберта.
2. Кольцо когомологий многообразия полных флагов. Представление Бореля. Классы Чжэня и формула проективизации расслоения. Приложение: доказательство представления Бореля.
3. Кольцо когомологий грассманианов. Приложения к задачам исчислительной геометрии (число прямых на общей кубике в P₃ и общей квинтике в P₄, число плоскостей в P₄, пересекающих 6 заданных плоскостей и т.д.)
4. Группа Пикара многообразия полных флагов и неприводимые представления группы GL_n(C). Теорема Бореля-Вейля-Ботта.
5. Циклы Шуберта в представлении Бореля. Операторы разделённых разностей и гомоморфизмы Гизина. Теорема Бернштейна-Гельфада-Гельфанда и Демазюра.
6. Многочлены Шуберта и теорема Кириллова-Фомина. Приведённые диаграммы перестановок (pipe-dreams).
7. Исчисление Шуберта. Формула Пьери-Шевалле.
8. Критерий гладкости многообразий Шуберта. Разрешения Ботта-Самельсона многообразий Шуберта.
9. ^* Геометрическое правило Литтльвуда-Ричардсона для грассманиана (По статье: Ravi Vakil. A geometric Littlewood-Richardson rule.).

Литература:
Laurent Manivel. Symmetric Functions, Schubert Polynomials and Degeneracy Loci
William Fulton, Joe Harris. Representation theory. A first course.