Программа Мори

Ведущий семинара доцент М.С.Вербицкий (НИУ ВШЭ)

Программа Мори, она же "программа минимальных моделей", была предложена Мори в 1980-е, и с тех пор является центральной темой алгебраической геометрии. Эта программа -- гипотетическая процедура, позволяющая по заданному многообразию выяснить его бирациональный класс; ее традиционно оформляют в виде сложной блок-схемы. В последние 5 лет в программе минимальных моделей случился большой прогресс, связанный с доказательством конечной порожденности канонического кольца (кольца сечений степеней канонического класса) для многообразий общего типа в работе BCHM (Биркара-Кассини-Хакона-Маккернана). Полученные ими результаты сейчас активно применяются везде, где только можно.

Я изложу бирациональную классификацию комплексных поверхностей "(программу Мори в размерности 2)" и воспроизведу основные результаты и гипотезы Мори, а затем расскажу о BCHM, ее приложениях и дальнейших перспективах программы минимальных моделей.

От студентов желательно знакомство с основами алгебраической геометрии, в объеме первого тома Гриффитса-Харриса или третьей главы Хартсхорна, либо аналогов; все нужные определения будут даны на лекциях, но алгебраическую геометрию в любом случае надо знать.

Примерный список тем.

1. Бирациональная классификация поверхностей. Теория Кодаиры-Энриквеса.

    

2. Построение рациональных кривых на многообразиях Фано.

    

3. Особенности в программе Мори.
   Дискрепантность и индекс Лелона.

    

4. Теорема Каваматы-Фивега о занулении когомологий.

    

5. Экстремальный луч и теорема Мори о конусе.

    

6. Теорема о флипе.

    

7. Программа Мори для трехмерных многообразий.

Литература:

Хорошая библиография современной учебной литературы (статьи и учебник Оливье Дебарре) есть вот тут:
Alex Kuronya, study seminar for the finite generation of the canonical ring after Lazic

Построение схемы Гильберта хорошо изложено в записках лекций Аарона Бертрама,
"Construction of the Hilbert Scheme (Fall 1999)"

Каноническая ссылка на построение и свойства пространства модулей кривых на многообразии и приложения к программе Мори - Janos Kollar "Rational Curves on Algebraic Varieties"

Введение в программу Мори для начинающих - Клеменс, Коллар, Мори, "Многомерная комплексная геометрия" (1993, Мир); обе книги есть в "Колхозе" и gen.lib.rus.ec.

Полезный текст, где на пальцах рассказывается построение пространства модулей отображений: Stefan Kebekus, Stavros Kousidis, Daniel Lohmann, "Deformations along subsheaves"

Теорема Мори о конусе:
Olivier Debarre, Introduction to Mori theory

Мультипликаторные идеалы и их применения:

• Alessio Corti, Anne-Sophie Kaloghiros, Vladimir Lazic: Introduction to the Minimal Model Program and the existence of flips
• Robert Lazarsfeld: Positivity in algebraic geometry
• Jean-Pierre Demailly, Applicatio ns of pluripotential theory to algebraic geometry,
• Robert Lazarsfeld, "A short course on multiplier ideals",
• Manuel Blickle, Robert Lazarsfeld, "An informal introduction to multiplier ideals"

Экзаменационное задание