Соболевские пространства и геометрическая теория меры

III-IV модуль      Лектор доц. А.В.Колесников

В курсе будут рассказаны об основных классических результатах теории пространств Соболева и о современном развитии теории.

1.     Классическая изопериметрическая задача и изопериметрические множества.

Подходы: вариационные уравнения, симметризация, транспортировка масс. Неравенство Брунна-Минковского. Пространства Соболева на R^n.

2.     Теоремы вложения. Классические неравенства Соболева. Элементы теории регулярности эллиптических операторов (обзорно). Псевдодифференциальные операторы и интегральные представления.

3.     Гауссовские меры. Неравенства выпуклости.  Логарифмическое неравенство Соболева. Логарифмически вогнутые меры. Пространства Соболева и выпуклая геометрия.

4.     Соболевские классы на многообразиях. Кривизна Риччи. Многообразия с ограниченной снизу кривизной Риччи.  

5.     Тензор Бакри-Эмери. Теорема Леви-Громова. Неравенства Соболева и изопериметрические неравенства.

6.     Меры Хаусдорфа и размерность Хаусдорфа. Сходимость мер.  Липшицевы функции. Теорема Радемахера. Формулы площади и коплощади.

7.     Функции ограниченной вариации. Множества ограниченного периметра. Свойства границ (обзорно).

Записки лекций

• Лекция 1.
• Лекция 2.
• Лекция 3.
• Лекция 4.
• Лекция 5.
• Лекция 6.
• Лекция 7.
• Лекция 8.
• Лекция 9.
• Лекция 10.
• Лекции 11 и 12.