День Арнольда, посвященный 89-му дню рождения Владимира Игоревича Арнольда (12 июня 1937 г. – 3 июня 2010 г.)

В программе:

15-30    Арнольдовская лекция
Николай Юрьевич Решетихин (Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications):

On geometry of superintegrable systems.

A superintegrable Hamiltonian system on a symplectic manifold M is a generalization of a Lagrangian fibration. As a geometric structure it is a co-isotropic fibration. It can also be casted as two Poisson projections, one is from M to a Poisson manifold P, the other is from P to a Poisson manifold B with trivial Poisson structure. The fibers of the second projection are symplectic leaves of P and dimensions of P and B add up to the dimension of M. A Hamiltonian system is superintegrable if its Hamiltonian is the pull-back of a function on B. It can be viewed as a refinement (degeneration) of a Liuoville integrable systems. The setting of a superintegrable systems goes back to work of Nikolai Nekhoroshev where they were called degenerate integrable systems. Such systems are also known as non-commutative integrable systems because superintegrable dynamics has lots of Poisson non-commuting itegrals of motion. After reviewing basic properties of superintegrable systems, several examples will be given including spin Calogero-Moser systems, generalized Toda systems and superintegrable systems on moduli spaces of flat connections on surfaces.

16-50    Арнольдовский экзамен для всех желающих

17-00    Кофе-брейк

18-00    Подведение итогов Арнольдовского экзамена

18-30    Лекция Арнольдовского стипендиата
Ирины Шатовой (НИУ ВШЭ):

Теория Брилля--Нётера на кривых и К3-поверхностях

Аннотация: Гладкая кривая рода g называется общей по Бриллю--Нётеру, если для любого линейного расслоения A на ней выполнено
                              g  \ge h^0(A)h^1(A).
Поляризованная К3-поверхность (X,H), где H – кривая рода g \ge 2, называется общей по Бриллю--Нётеру, если для любого  разложения H = D_1 + D_2, где D_i ненулевые эффективные дивизоры, выполнено
                              g \ge h^0(D_1)h^0(D_2).
Нетрудно показать, что если на К3-поверхности (X,H) в поляризующей линейной системе |H| есть общая по Бриллю--Нётеру кривая, то К3-поверхность (X,H) общая по Бриллю--Нётеру.
Оказывается, верно в некотором смысле обратное утверждение: если К3-поверхность (X,H) общая по Бриллю--Нётеру, то любая гладкая кривая в линейной системе |H| общая по Бриллю--Нётеру. Я более подробно напомню основные определения, расскажу про доказательства утверждений выше и, может быть, успею немного сказать о приложениях этих результатов в теории проективных моделей К3-поверхностей и трёхмерных многообразий Фано.