Факультет математики НИУ ВШЭ

АБB
АБB
АБB

Обычная версия сайта

Кто читает:: Факультет математики

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 2-й курс, 1-3 модуль

Преподаватели

Амбург Наталья Яковлевна

Калмынин Александр Борисович

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Алгебра является языком современной математики. Алгебраические структуры используются в геометрии, анализе, математической физике и других основных направлениях современной математики.В курсе Алгебры мы изучим основные понятия и концепции (кольца, поля, группы), необходимые для любого активно работающего математика.

Цель освоения дисциплины

Цель изучения дисциплины Алгебра 1 состоит в освоении базовых конструкций теории коммутативных колец, теории полей, линейной алгебры и теории групп. Предполагается, что студент, освоивший дисциплину, сможет уверенно пользоваться теоретическими основами теории и применять их для решения математических задач различного происхождения, использующих алгебраические структуры.

Планируемые результаты обучения

Знакомство с классификация конечнопорожденных абелевых групп. Понимание структуры модулей над евклидовыми кольцами.
Знание основ теории колец многочленов от нескольких переменных.
Знание основных опеределений и конструкций теории симметрических многочленов. Знакомство с основными приложениями.
Знание основных определений и примеров, умение строить конечные поля.
Знание основных понятий и конструкций линейной алгебры: векторные пространства, линейные отображения, двойственные пространства, определители.
Знание формулировок и доказательств теорем Гильберта о базисе и об инвариантах. Знакомство с основными приложениями.
Освоение алгоритма Евклида, умение находить наибольший общий делитель элементов кольца.
Освоение базовых определений и конструкций теории групп: подгруппы, нормальные делители, классы смежности, факторгруппы. Умение строить и описывать действия групп на множествах.
Умение работать с кольцами вычетов, умение пользоваться фактор конструкциями.

Содержание учебной дисциплины

Кольца вычетов
Поля
Многочлены многих переменных.
Симметрические многочлены и их приложения.
Модули над евклидовыми кольцами.
Метод Гаусса в области главных идеалов
Кольца и поля частных
Группы
Эрмитовы векторные пространства
Кватернионы

Элементы контроля

активность на семинарах первого семестра (S12)
Активность каждого студента на практических занятиях оценивается из 100 баллов по критериям, которые учитывают посещаемость, выходы к доске и домашние задания.
активность на семинарах третьего модуля (S3)
Активность каждого студента на практических занятиях оценивается из 100 баллов по критериям, которые учитывают посещаемость, выходы к доске и домашние задания.
контрольные работы в первом и втором модуле (K12)
письменные контрольные работы
контрольные работы в третьем модуле (K3)
письменные контрольные работы
задачи для самостоятельного решения в первом и втором модулях (L12)
Листочки с задачами для самостоятельного решения. Решения записываются и рассказываются устно преподавателю. Количество подходов по каждой задаче не ограничено. Задачи можно решать в любом порядке и сдавать вплоть до официального начала зимней сессии.
задачи для самостоятельного решения в третьем модуле (L3)
Листочки с задачами для самостоятельного решения. Решения записываются и рассказываются устно преподавателю. Количество подходов по каждой задаче не ограничено. Задачи можно решать в любом порядке и сдавать вплоть до официального начала весенней сессии после третьего модуля.
Устный экзамен за первый и второй модули (E12)
Устный экзамен. В билете на экзамене два теоретических вопроса по 30 баллов и задача 30 баллов. Дополнительные 10 баллов студент может получить за блестящий ответ на экзамене выходящий за рамки программы экзамена.
Устный экзамен, третий модуль (E3)
Устный экзамен. В билете на экзамене два теоретических вопроса по 30 баллов и задача 30 баллов. Дополнительные 10 баллов студент может получить за блестящий ответ на экзамене выходящий за рамки программы экзамена.

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
На итоговую оценку за 1 семестр влияют: оценка S12 за активность на семинарах, которую по 100-бальной шкале ставит ведущий семинары преподаватель, L12 = 100*(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач) из задач для самостоятельного решения в первом семестре, K12 = 100*(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач) в контрольных работах первого семестра, E12 оценка за устный экзамен в зимнюю сессию. В билете на экзамене два теоретических вопроса по 30 баллов и задача 30 баллов. Дополнительные 10 баллов студент может получить за блестящий ответ на экзамене выходящий за рамки программы экзамена. Итоговая оценка вычисляется по формуле min(10,(S12+L12+K12+E12)/34) и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
2025/2026 3rd module
На итоговую оценку за 3ий модуль и за весь курс влияют: оценка S3 за активность на семинарах в третьем модуле, которую по 100-бальной шкале ставит ведущий семинары преподаватель, L3 = 100*(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач) из задач для самостоятельного решения, K3 = 100*(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач) в контрольных работах третьего модуля, E3 это оценка за устный экзамен в сессию после третьего модуля. В билете на экзамене два теоретических вопроса по 30 баллов и задача 30 баллов. Дополнительные 10 баллов студент может получить за блестящий ответ на экзамене выходящий за рамки программы экзамена. Итоговая оценка вычисляется по формуле min(10,(S3+L3+K3+E3)/34) и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).

Список литературы

Авторы

Амбург Наталья Яковлевна
Львовский Сергей Михайлович
Америк Екатерина Юрьевна
Фейгин Евгений Борисович
Рыбников Леонид Григорьевич
Кириченко Валентина Алексеевна
Матушко Мария Георгиевна
Смирнов Евгений Юрьевич
Куюмжиян Каринэ Георгиевна

Алгебра