• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Контакты

Адрес: 119048, Москва,
ул. Усачёва, 6

тел. (495) 916-89-05
тел. (495) 772-95-90 *12720
тел. (495) 772-95-90 *12726 (декан)
E-mail: math@hse.ru

Учебный офис:
mathstudyoffice@hse.ru
тел. (495) 624-26-16
тел. (495) 772-95-90 *12713

ДПО факультета математики:
dpo-math@hse.ru

Руководство
Научный руководитель Ландо Сергей Константинович
Заместитель декана по административной работе Балаева Светлана Васильевна
Заместитель декана по по научной работе Горбунов Василий Геннадьевич
Заместитель декана по учебной работе Колесников Александр Викторович
Заместитель декана по работе с абитуриентами Пятов Павел Николаевич

Анализ Фурье

2022/2023
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
5
Кредиты
Статус:
Курс обязательный
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Курс анализ Фурье представляет собой последнюю часть двухгодичного курса анализа. Он посвящён изучению бесконечномерных пространств, снабженных топологией и их базисов. Преимущественно речь идёт о функциональных пространствах, таких, как L_1 и L_2. Мы изучим возможность разложения функции по ортонормированному базису Фурье, то есть разложения в ряды Фурье. Основное внимание уделим базисам, состоящим из тригонометрических функций. Коэффициенты разложение фукции в ряд Фурье многое говорят о её свойствах. Представление функции в виде ряда Фурье позволит нам решать некоторые основные уравнения математической физики, описывающие основные явления природы, такие как колебания струны, диффузия, стационарные процессы.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Освоение основ теории гильбертовых пространств, разложение в ряды Фурье по различным ортогональным системам.
  • Изучение рядов Фурье по тригонометрическим системам и условий их сходимости.
  • Применение рядов Фурье для решения основных уравнений математической (метод Фурье).
  • Освоение преобразования Фурье и его применений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знакомство с гилбертовыми пространствами
  • Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
  • Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
  • Знакомство с пространствами L1 и L2
  • Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
  • Различные типы сходимости
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
  • Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
  • Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
  • Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
  • Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
  • Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
  • Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
  • Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
  • Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
  • Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
  • Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
  • Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
  • Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Коллоквиум
    Устный коллоквиум за 3 модуль.
  • неблокирующий Сдача листков
    Листки сдаются устно преподавателям или учебным ассистентам. Задачи каждого необходимо сдавать до дедлайна.
  • неблокирующий Оценка за семинарские занятия.
    Оценка за семинары выставляется руководителями семинарских занятий. В оценку могут входить: активность на семинаре, контрольные работы, домашние задания, устные отчёты студентов.
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2022/2023 учебный год 4 модуль
    0.25 * Оценка за семинарские занятия. + 0.25 * Сдача листков + 0.25 * Экзамен + 0.25 * Коллоквиум
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Краткий курс функционального анализа : учеб. пособие, Люстерник, Л. А., 2009