Критические точки функций

2022/2023

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Дисциплина общефакультетского пула

Когда читается:

1, 2 модуль

Преподаватель

Казарян Максим Эдуардович

Программа дисциплины

Аннотация

Критическая точка дифференцируемой функции — это точка, в которой обращается в 0 ее дифференциал. У типичной функции все критические точки – морсовские и описываются леммой Морса, но существует множество более сложных типов критических точек, неизбежно появляющихся в семействах функций, в частности при изучении особенностей волновых фронтов, каустик («солнечных зайчиков»), множеств уплощения поверхностей, и т.п. Многие важные функции математической физики задаются интегралами, зависящими от параметров. Их качественное поведение определяется изменением некритических множеств уровня комплексных гладких функций вблизи критических точек, и описывается т.н. операторами монодромии на группе контуров интегрирования, связанными с этими особыми точками и вычисляемыми в терминах локальных свойств функции в их окрестности. Ключевые понятия и факты, которые будут рассказаны: 1. Лемма Морса и функции общего положения 2. Неморсовские критические точки, их инварианты, начало классификации и нормальные формы. 3. Деформация критической точки. Бифуркационное множество деформации. Типичные особенности дискриминантов и волновые фронты. Фокальное множество гиперповерхности. Версальные деформации. 4. Геометрия и топология неособого множества уровня комплексной гладкой функции вблизи ее критической точки. Число Милнора. 5. Оператор монодромии и группа монодромии некритического множества уровня комплексной гладкой функции и ветвление интегралов, зависящих от параметра. Формула Пикара – Лефшеца. Форма пересечения и ее вычисление. Приложения в интегральной геометрии и математической физике. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: Для понимания достаточно материала первых двух курсов бакалавриата (анализ, алгебра, гладкие многообразия, элементарная топология, ТФКП). В случае необходимости (если окажется, что недостаточно сведений из курса «гладкие многообразия»), будут рассказаны простейшие дополнительные понятия теории гомологий.