Геометрия и группы (О.В.Шварцман) Весна 2023

1.           Рассмотрим на декартовой плоскости отрезок L, соединяющий точку (0,0) с точкой (2018,2017). Несамопересекающуюся  ломаную, вершины которой находятся в точках с целыми координатами, а звенья параллельны либо оси OX, либо оси OY, назовем пустой, если строго внутри себя она не содержит точек с целыми координатами.   Среди пустых ломаных, содержащих отрезок L, существует единственная ломаная минимальной площади. Чему равна эта площадь ?

2.            Найти расстояние между  орициклами  Фарея   0(4/5,1/25) и 0(7/8,1/64)

3.            Радуга соединяет корни квадратного уравнения    X^2+X-!=0. Найти расстояние от радуги  до орицикла  0(0,1)

4.            Рассмотрим на плоскости Лобачевского  сдвиг на расстояние 3 вдоль эквидистанты. Возьмем точку плоскости, лежащую вне этой эквидистанты. Доказать, что расстояние от этой точки до ее образа при сдвиге будет строго больше трех.

5.            На верхней полуплоскости Пуанкаре   из точки  8/17+(15/17) i  опущен перпендикуляр на радугу X=1/2. Найти  его длину.

6.    Рассмотрим композицию трех центральных симметрий в серединах сторон гиперболического треугольника ( ). Доказать, что полученное движение будет поворотом . Вокруг какой точки и на какой угол?

7.    Можно ли на плоскости Лобачевского нарисовать треугольник, у которого радиус  вписанной окружности равен $2023$?

8.    Нарисовать на плоскости Лобачевского треугольник, вокруг которого нельзя описать окружность.

9.    Рассмотрим гиперболический четырехугольник с углами ${\pi}/2,${\pi}/2,${\pi}/2,0$  (обратите внимание на то,что одна из его вершин лежит на абсолюте,  и, тем самым, две его стороны имеют бесконечную длину). Пусть длина одной из двух оставшихся "конечных " сторон равна $10$. Чему равна длина другой?

10.  Доказать, что плоскость Лобачевского можно замостить правильной  пятиугольной плиткой.